高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课时作业

第三章　3.1　3.1.1

A级——基础过关练

1．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为(　　)

A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1

C．＋y2＝1 D．＋y2＝1或x2＋＝1

【答案】D

【解析】由a2＝b2＋c2，得b2＝13－12＝1，分焦点在x轴和y轴上写标准方程，可知选D．

2．椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)

A．(0，±3) B．(±3,0)

C．(0，±5) D．(±4,0)

【答案】A

【解析】根据椭圆方程可知焦点在y轴上，且c2＝25－16＝9，所以焦点坐标是(0，±3)．

3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　)

A．＋＝1 B．＋＝1

C．x2＋＝1 D．＋＝1

【答案】D

【解析】由题意知a2－2＝4，所以a2＝6，所以所求椭圆的方程为＋＝1．

4．如图，椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

【答案】C

【解析】由|MF1|＝2，得|MF2|＝8，又因为ON是△F1MF2的中位线，所以|ON|＝4．

5．已知椭圆＋＝1(a＞5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为(　　)

A．10 B．20

C．2 D．4

【答案】D

【解析】因为a＞5，所以焦点在x轴上．因为|F1F2|＝8，所以a2＝b2＋c2＝41．故△ABF2的周长为4a＝4．

6．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]

C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]

【答案】A

【解析】根据题意得3－a＞4，所以a＜－1，所以a∈(－∞，－1)．

7．(多选)已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2一定不是(　　)

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．等边三角形

【答案】ACD

【解析】由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，且|MF1|－|MF2|＝1，所以|MF1|＝，|MF2|＝，又因为|F1F2|＝2c＝2，所以有|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2，因此∠MF2F1＝90°，△MF1F2为直角三角形．

8．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，实数m的取值范围是_________________________．

【答案】(1,3)∪(－3，－1)

【解析】根据题意得0＜|m|－1＜2，所以1＜|m|＜3，所以m∈(1,3)∪(－3，－1)．

9．已知椭圆的方程为＋＝1，若C为椭圆上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，并且|CF1|＝2，则|CF2|＝________．

【答案】8

【解析】根据椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为10，因为|CF1|＝2，所以|CF2|＝8．

10．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|．

(1)求此椭圆方程；

(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．

解：(1)由已知得|F1F2|＝2，所以|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，

所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，

所以椭圆的标准方程为＋＝1．

(2)在△PF1F2中，由余弦定理，得

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos120°，

即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1||PF2|，

所以4＝(2a)2－|PF1||PF2|＝16－|PF1|·|PF2|，

所以|PF1||PF2|＝12，

所以S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin120°＝×12×＝3．

B级——能力提升练

11．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：

则满足条件①②③的点A的轨迹方程按顺序分别是(　　)

A．C3，C1，C2 B．C2，C1，C3

C．C1，C3，C2 D．C3，C2，C1

【答案】A

【解析】如图，在平面直角坐标系中，因为B(－2,0)，C(2,0)，若①△ABC周长为10，则|AB|＋|AC|＝6＞4＝|BC|，所以点A的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为6的椭圆(去除与x轴的交点)，方程为＋＝1(y≠0)；若②△ABC的面积为10，设点A到BC所在直线的距离为d，则×|BC|×d＝10，即×4d＝10，d＝5，所以|y|＝5，y2＝25，所以点A的轨迹方程为y2＝25；若③△ABC中，∠A＝90°，则|OA|＝2，即＝2，x2＋y2＝4(y≠0)．所以满足条件①②③的点A的轨迹方程按顺序分别是C3，C1，C2．

12．(多选)下列命题是真命题的是(　　)

A．已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆

B．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段

C．到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆

D．若点P到定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的和等于点M到定点F1，F2的距离的和，则点P的轨迹为椭圆

【答案】BD

【解析】因为＜2，所以点P的轨迹不存在，A错误；因为|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2，B正确；到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)，C错误；因为点M到定点F1(－1,0)，F2(1，0)的距离的和为2＞2，所以点P的轨迹为椭圆，D正确．故选BD．

13．直线l：2x－3y＋12＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，则以A为焦点，经过B点的椭圆的标准方程是______________．

【答案】＋＝1

【解析】由题意可知A(－6,0)，B(0,4)，因为椭圆以A为焦点，所以c＝6，且焦点在x轴上，所以b2＝a2－36．设椭圆方程为＋＝1，把B点坐标代入，得＋＝1，所以a2＝52，b2＝16，所以椭圆方程为＋＝1．

14．已知点P(6,8)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若·＝0，则椭圆的方程是____________；sin∠PF1F2的值为__________．

【答案】＋＝1　

【解析】因为·＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，所以F1(－10,0)，F2(10,0)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝12，所以a＝6，b2＝80．所以椭圆方程为＋＝1．如图，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|＝8，|F1M|＝10＋6＝16，所以|PF1|＝＝＝8，所以sin∠PF1F2＝＝＝．

15．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．

解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．

因为F1A⊥F2A，所以·＝0．

而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，

所以(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，

所以c2＝25，即c＝5，

所以F1(－5,0)，F2(5,0)．

所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4，

所以a＝2，

所以b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15，

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．