高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算同步训练题，共5页。试卷主要包含了故选D，故选B，以下命题等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A.a＝bB.a＋b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|＝3
【答案】D 【解析】因为a＝－b且|b|＝3，所以|a|＝|－b|＝3.故选D.
2.(2023年大同检测)在空间四边形ABCD中，下列表达式结果与 eq \(AB,\s\up6(→))相等的是( )
A. eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))B. eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))
C. eq \(CA,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→))D. eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))
【答案】B 【解析】对于A， eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))；对于B， eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))；对于C， eq \(CA,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))；对于D， eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→)).故选B.
3.若空间中任意四点O，A，B，P满足 eq \(OP,\s\up6(→))＝m eq \(OA,\s\up6(→))＋n eq \(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，则( )
A.P∈直线AB
B.P∉直线AB
C.点P可能在直线AB上
D.以上都不对
【答案】A 【解析】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以 eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－n) eq \(OA,\s\up6(→))＋n eq \(OB,\s\up6(→))，即 eq \(OP,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝n( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))，即 eq \(AP,\s\up6(→))＝n eq \(AB,\s\up6(→))，所以 eq \(AP,\s\up6(→))与 eq \(AB,\s\up6(→))共线.因为 eq \(AP,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.故选A.
4.已知非零向量e1，e2不共线，如果 eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2， eq \(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2， eq \(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，那么四点A，B，C，D( )
A.一定共圆
B.恰是空间四边形的四个顶点
C.一定共面
D.一定不共面
【答案】C 【解析】因为非零向量e1，e2不共线， eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2， eq \(AC,\s\up6(→))＝2e2＋8e2， eq \(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，所以5 eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))＝5e1＋5e2－3e1＋3e2＝2e1＋8e2＝ eq \(AC,\s\up6(→)).所以 eq \(AC,\s\up6(→))＝5 eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))，由平面向量基本定理可知四点A，B，C，D共面.故选C.
5.以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.
其中正确命题的序号是( )
A.①③B.②④C.③④D.②③
【答案】B 【解析】对于①，由共线向量的定义知两个共线向量是指方向相同或相反的向量，不一定在同一直线上，故①错误；同理③错误；对于②④，由共线向量、共面向量的定义易知正确.故选B.
6.在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列关于 eq \(AC1,\s\up6(→))的表达式：
① eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \(A1B1,\s\up6(→))＋ eq \(A1D1,\s\up6(→))；② eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(CC1,\s\up6(→))＋ eq \(D1C,\s\up6(→))；
③ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(DD1,\s\up6(→))＋ eq \(D1C1,\s\up6(→))；④ eq \f(1,2)( eq \(AB1,\s\up6(→))＋ eq \(CD1,\s\up6(→)))＋ eq \(A1C1,\s\up6(→)).
正确的个数是( )
A.1 B.3 C.2 D.4
【答案】C 【解析】在长方体ABCDA1B1C1D1中，可知 eq \(AC1,\s\up6(→))＝ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \(A1B1,\s\up6(→))＋ eq \(B1C1,\s\up6(→))，又因为 eq \(B1C1,\s\up6(→))＝ eq \(A1D1,\s\up6(→))，故①正确；对于②， eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(CC1,\s\up6(→))＋ eq \(D1C,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DD1,\s\up6(→))＋ eq \(D1C,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))，故②错误；同理③错误；对于④，易得 eq \f(1,2)( eq \(AB1,\s\up6(→))＋ eq \(CD1,\s\up6(→)))＋ eq \(A1C1,\s\up6(→))＝ eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \(A1C1,\s\up6(→))＝ eq \(AC1,\s\up6(→))，故④正确，故共有2个正确.故选C.
7.(多选)在下列条件中，使点M与A，B，C不一定共面的是( )
A. eq \(OM,\s\up6(→))＝3 eq \(OA,\s\up6(→))－2 eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))
B. eq \(OM,\s\up6(→))＋ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝0
C. eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→))＋ eq \(MC,\s\up6(→))＝0
D. eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(OC,\s\up6(→))
【答案】ABD 【解析】对于选项C，因为 eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→))＋ eq \(MC,\s\up6(→))＝0，所以 eq \(MA,\s\up6(→))＝－ eq \(MB,\s\up6(→))－ eq \(MC,\s\up6(→))，所以点M与A，B，C必共面.其他选项均得不到点M与A，B，C一定共面.
8.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有 eq \(OD,\s\up6(→))＝t eq \(OA,\s\up6(→))－3 eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))，若D，A，B，C四点共面，则t＝________.
【答案】3 【解析】已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则A，B，C，D四点共面等价于t－3＋1＝1，所以t＝3.
9.已知四面体ABCD，设G是CD的中点，则 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→)))＝________.
【答案】 eq \(AG,\s\up6(→)) 【解析】如图，∵G是CD的中点，∴ eq \f(1,2)( eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→)))＝ eq \(BG,\s\up6(→))，∴ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→)))＝ eq \(AG,\s\up6(→)).
10.如图，在四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简 eq \(AG,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(BE,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))，并在图中标出化简结果.
解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，
∴ eq \(GE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(BE,\s\up6(→)).
∵ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(DC,\s\up6(→))－ eq \(DA,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2) eq \(DC,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(DA,\s\up6(→))＝ eq \(DE,\s\up6(→))－ eq \(DF,\s\up6(→))＝ eq \(FE,\s\up6(→))，
∴ eq \(AG,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(BE,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AG,\s\up6(→))＋ eq \(GE,\s\up6(→))－ eq \(FE,\s\up6(→))＝ eq \(AF,\s\up6(→))(如图所示).
B级——能力提升练
11.如图，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b， eq \(AA′,\s\up6(→))＝c，则下列与向量 eq \(A′C,\s\up6(→))相等的表达式是( )
A.－a＋b＋cB.－a－b＋c
C.a－b－cD.a＋b－c
【答案】D 【解析】在平行六面体ABCDA′B′C′D′中， eq \(A′C,\s\up6(→))＝ eq \(A′A,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝－ eq \(AA′,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝－c＋a＋b＝a＋b－c，所以 eq \(A′C,\s\up6(→))＝a＋b－c.故选D.
12.(多选)如图，四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且 eq \(CF,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(CB,\s\up6(→))， eq \(CG,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(CD,\s\up6(→))，则( )
A. eq \(FG,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(BD,\s\up6(→))B. eq \(EH,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(FG,\s\up6(→))
C. eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \(HG,\s\up6(→))D.四边形EFGH是梯形
【答案】ABD 【解析】∵E，H分别是AB，AD的中点，∴ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AH,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))，∴EH是△ABD的中位线，则 eq \(EH,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BD,\s\up6(→))，∵ eq \(FG,\s\up6(→))＝ eq \(CG,\s\up6(→))－ eq \(CF,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3)( eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→)))＝ eq \f(2,3) eq \(BD,\s\up6(→))，故A正确； eq \(EH,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)× eq \f(3,2) eq \(FG,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(FG,\s\up6(→))，故B正确；显然直线EF和直线HG相交，故C不正确，D正确.故选ABD.
13.给出命题：
①若a与b共线，则a与b所在的直线平行；
②若三个向量两两共面，则这三个向量共面；
③若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点， eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(OC,\s\up6(→))，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC的内部.
其中为真命题的是________.
【答案】③ 【解析】①中a与b所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②如三棱锥一个顶点上的三条棱看作三个向量，则它们不共面；③如图，A，B，C，M四点共面，因为 eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OM,\s\up6(→))，等式两边同时加上 eq \(MO,\s\up6(→))，则 eq \f(1,3)( eq \(MO,\s\up6(→))＋ eq \(OA,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,3)( eq \(MO,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,3)( eq \(MO,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，即 eq \(MA,\s\up6(→))＋ eq \(MB,\s\up6(→))＋ eq \(MC,\s\up6(→))＝0， eq \(MA,\s\up6(→))＝－ eq \(MB,\s\up6(→))－ eq \(MC,\s\up6(→))＝－( eq \(MB,\s\up6(→))＋ eq \(MC,\s\up6(→)))，设E为BC中点，则 eq \(MA,\s\up6(→))＝－2 eq \(ME,\s\up6(→))，即AM＝2ME，所以M是△ABC的重心，所以点M在平面ABC上，且在△ABC的内部，故③是真命题.
14.已知三棱锥OABC，D是BC中点，P是AD中点，设 eq \(OP,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))＋z eq \(OC,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝________，x＝________.
【答案】1 eq \f(1,2) 【解析】如图， eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OD,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→)))))＝ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(OC,\s\up6(→))＝x eq \(OA,\s\up6(→))＋y eq \(OB,\s\up6(→))＋z eq \(OC,\s\up6(→))，所以x＝ eq \f(1,2)，y＝ eq \f(1,4)，z＝ eq \f(1,4)，所以x＋y＋z＝1，x＝ eq \f(1,2).
15.已知正方形ABCD，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
(1) eq \(OQ,\s\up6(→))＝ eq \(PQ,\s\up6(→))＋x eq \(PC,\s\up6(→))＋y eq \(PA,\s\up6(→))；
(2) eq \(PA,\s\up6(→))＝x eq \(PO,\s\up6(→))＋y eq \(PQ,\s\up6(→))＋ eq \(PD,\s\up6(→)).
解：如图，(1)因为 eq \(OQ,\s\up6(→))＝ eq \(PQ,\s\up6(→))－ eq \(PO,\s\up6(→))＝ eq \(PQ,\s\up6(→))－ eq \f(1,2)( eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→)))＝ eq \(PQ,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(PA,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(PC,\s\up6(→))，所以x＝y＝－ eq \f(1,2).
(2)因为 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝2 eq \(PO,\s\up6(→))，
所以 eq \(PA,\s\up6(→))＝2 eq \(PO,\s\up6(→))－ eq \(PC,\s\up6(→)).
又因为 eq \(PC,\s\up6(→))＋ eq \(PD,\s\up6(→))＝2 eq \(PQ,\s\up6(→))，
所以 eq \(PC,\s\up6(→))＝2 eq \(PQ,\s\up6(→))－ eq \(PD,\s\up6(→)).
从而有 eq \(PA,\s\up6(→))＝2 eq \(PO,\s\up6(→))－(2 eq \(PQ,\s\up6(→))－ eq \(PD,\s\up6(→)))＝2 eq \(PO,\s\up6(→))－2 eq \(PQ,\s\up6(→))＋ eq \(PD,\s\up6(→)).
所以x＝2，y＝－2.