专题05 整式的加减压轴题-2023-2024学年七年级数学上册重难点题型分类高分必刷题（人教版）

这是一份专题05 整式的加减压轴题-2023-2024学年七年级数学上册重难点题型分类高分必刷题（人教版），文件包含专题05整式的加减压轴题真题分类原卷版2023-2024学年七年级数学上册重难点题型分类高分必刷题人教版docx、专题05整式的加减压轴题真题分类解析版2023-2024学年七年级数学上册重难点题型分类高分必刷题人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。

算类压轴题 。适合于培训机构的老师给优等生作压轴题专题培训时使用或者想冲击满分的尖子生考前刷题
时使用。
题型一 找规律
①等差数列型
1．（青竹湖）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为 ．
【解答】方法一：
解：第1个图形有8根火柴棒，
第2个图形有14根火柴棒，
第3个图形有20根火柴棒，
…，
第n个图形有6n+2根火柴棒．
故答案为：6n+2．
2．（雅礼）用棋子摆成的图案如图所示．按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．
【解答】解：根据题意可得，
第1个图形需要黑色棋子的个数是：3×1+2，
第2个图形需要黑色棋子的个数是：3×2+2，
第3个图形需要黑色棋子的个数是：3×3+2，
……
第n个图形需要黑色棋子的个数是：3×n+2＝3n+2，故答案为：3n+2．
3．（雅礼）按如下方式摆放的桌子和椅子
上表中所缺的数分别是 和 ．
【解答】解：由图可得1张桌子时，有4+2＝6把椅子；
2张桌子时，有4+2×2＝8把椅子；
3张桌子时，有4+3×2＝10把椅子；
4张桌子时，有4+4×2＝12把椅子；
…，
则n张桌子时，有（4+2n）把椅子．
故答案为：12，2n+4．
4.（麓山国际）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数
为 （用含n的代数式表示）．
【解答】解：第一个图案正三角形个数为6＝2+4；
第二个图案正三角形个数为2+4+4＝2+2×4；
第三个图案正三角形个数为2+2×4+4＝2+3×4；
…；
第n个图案正三角形个数为2+（n﹣1）×4+4＝2+4n＝4n+2．故答案为：4n+2．
②等比数列型
5．（雨花区）观察一列数：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，……，按你发现的规律写出第8个数是 ．
【解答】解：∵2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…；∴21＝2，﹣4＝﹣22，8＝23，﹣16＝﹣24，…
∴第8个数为：﹣28＝﹣256，故答案为：﹣256．
6．观察下列单项式：，，，，，，按此规律第个单项式是 ．（为正整数）
【详解】解：，，，，，，奇数项的系数为1，偶数项的系数为，次数为从1开始的正整数，∴第个单项式是，故答案为：．
7．观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，则第个单项式是 （是正整数）．
【详解】解：设单项式的通项公式是，则：
，，，，，
，故答案为：．
③累加数列型
8．（2020秋•天心区校级月考）如图图形都是由同样大小的“○”按一定的规律组成，其中第1个图形中一共有5个“○”，第2个图形中一共有12个“○”，第3个图形中一共有21个“○”，…，则第7个图形中“○”的个数是（ ）
A．60B．66C．77D．96
【解答】解：第1个图形中一共有5个，即1×（4+1），第2个图形中一共有12个，即2×（4+2），
第3个图形中一共有21个，即3×（4+3），∴第7个图形中“○”的个数是7×（4+7）＝77，
故选：C．
9．（2019秋•岳麓区校级月考）用棋子按下列方式摆图形，第一个图形有1个棋子，第二个图形有5个棋子，第三个图形有12个棋子，依次规律，第六个有（ ）枚棋子．
A．49B．50C．51D．52
【解答】解：∵第一个图形有1个棋子，第二个图形有1+4＝5个棋子，第三个图形有1+4+7＝12个棋子，
…∴第n个图形有1+4+7+…+（3n﹣2）＝n（3n﹣1）个棋子，∴第六个有×6×（3×6﹣1）＝51枚棋子．故选：C．
10．（明德）观察下列单项式：0，3a2，﹣8a3，15a4，﹣24a5，35a6，…按此规律，第n个单项式是 ．
【解答】解：∵一列单项式为：0，3a2，﹣8a3，15a4，﹣24a5，35a6，…，
∴这列单项式的第n个单项式为：（﹣1）n•（n2﹣1）an，故答案为：（﹣1）n•（n2﹣1）an．
11．（二十一中）观察如图所示图形构成的规律，根据此规律，第10个图中小圆点的个数为 ．
【解答】解：∵当n＝1时，图中小圆点的个数为：0+12＝1，
当n＝2时，图中小圆点的个数为：1+22＝5，
当n＝3时，图中小圆点的个数为：2+32＝11，
当n＝4时，图中小圆点的个数为：3+42＝19，
...，
∴第n个图中小圆点的个数为：n﹣1+n2．
∴第10个图中小圆点的个数为：10﹣1+102＝109．故答案为：109．
12．（明德）观察如图所示图形构成的规律，根据此规律，第15个图中小圆点的个数为 ．
【解答】解：∵当n＝1时，图中小圆点的个数为：0+12＝1，
当n＝2时，图中小圆点的个数为：1+22＝5，
当n＝3时，图中小圆点的个数为：2+32＝11，
当n＝4时，图中小圆点的个数为：3+42＝19，
•••，
∴第n个图中小圆点的个数为：n﹣1+n2．
∴第15个图中小圆点的个数为：14+152＝239．故答案为：239．
13．（立信）将一些大小相同的棋子按如图所示的规律摆放，第n个图形含有 枚棋子（用含n的代数式表示）．
【解答】解：根据第1个图形中棋子的个数为3；第2个图形中棋子的个数为7；第3个图形中棋子的个数为13；第4个图形中棋子的个数为21，
∵3＝1+1+12，7＝2+1+22，13＝3+1+33，21＝4+1+42…，
∴第n个图形有：n+1+n2＝（n2+n+1）个棋子，
故答案为：（n2+n+1）．
题型二 定义新运算类压轴题
14．（明德）对于一个数x，我们用＜x＞表示小于x的最大整数，例如：＜2.3＞＝2，＜﹣6＞＝﹣7；
（1）填空：〈12〉＝ ，〈﹣2009〉＝ ，＝ ．
（2）若2＜x＞+＜x﹣3＞＝6，求＜x＞的值；
（3）若a，b都是整数，且＜a＞与＜b＞互为相反数，求代数式2（a﹣2b）﹣（a﹣5b）的值．
【解答】解：（1）〈12〉＝11，〈﹣2009〉＝﹣2010，＝0；故答案为：11，﹣2010，0；
（2）已知等式整理得：2＜x＞+＜x＞﹣3＝6，整理得：3＜x＞＝9，解得：＜x＞＝3；
（3）∵a，b都是整数，且＜a＞与＜b＞互为相反数，∴a+b＝2，则原式＝2a﹣4b﹣a+5b＝a+b＝2．
15．（雅礼）定义：对于一个数，我们把称作的相伴数，若，则；若，则，例如：．
（1）求和的值；
（2）当，时，有，试求代数式的值；
（3）解方程：.
解：(1)有新定乂可知：，，
(2)∵，∴，∵，∴，∵，∴，则，
∴，∴原式；
(3)当时，，解得：(舍)，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
∴原方程的解为。
16.（师大）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如： ，；
（1）填空：________，__________，___________.
（2） 若，都为整数，且与互为相反数，求代数式 的值；
（3）若，求得取值范围.
解：（1）,,;
（2）都是整数，，，又与互为相反数，，即，
，原式 ；
（3）由题意可知： ，，，不妨设 ，
，即表示数y的点与表示数0，数2的距离之和为6，或即或，或。
17．（长郡）阅读型综合题
对于实数、我们定义一种新运算, （其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中、叫做线性数的一个数对，若实数、都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的、叫做正格线性数的正格数对．
（1）若，则，
（2）已知，，若正格线性数，（其中k为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由．
解：(1)5，3；
(2)有正格数对，∵，，∴，
则，∴，∵x，kx为正整数且k为整数，∴，，
正格数对为：2，6.
18.(周南)对于有理数，定义一种新运算“”，请仔细观察下列各式中的运算规律：，，
回答下列问题：
(1)计算：________，________；
(2)若，则________(填入“”或“”)
(3)若有理数，的取值范围在数轴上的对应点如图所示，且，求的值.
解：（1），，
故答案为：19，；
（2），，，
，，故答案为：；
（3）由数轴可得，，，则，，，，
，，
．
19．（青竹湖）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：
若x2+x＝0，则x2+x+1186＝ ；
我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（1）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2021＝ ；
（2）如果a+b＝3，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值；
（3）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求a2+2b2+6ab的值．
【解答】解：（1）∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1，∴原式＝1+2021＝2022，故答案为：2022；
（2）原式＝2（a+b）﹣4（a+b）+21＝﹣2（a+b）+21，∵a+b＝3，
∴原式＝﹣2×3+21＝﹣6+21＝15，∴2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值为15；
（3）原式＝a2+2ab+（2b2+4ab）＝a2+2ab+2（b2+2ab），∵a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，
∴原式＝20+2×8＝20+16＝36，∴a2+2b2+6ab的值为36．
20．（青竹湖）已知整式A＝m2+m﹣1，B＝m2﹣m+1，C＝﹣m2+m+1．若某个整式可以表示为aA+bB+cC（其中a，b，c为常数），我们约定如下分类：
①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为A型整式；
②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为AB型整式；
③若a≠0，b≠0，c≠0，则称该整式为ABC型整式．
…
（1）依上面的分类方式，请给出B型整式和AC型整式的定义．
若 ，则称该整式为B型整式；
若 ，则称该整式为AC型整式．
（2）例如：整式m2﹣5m+5可称为“AB型整式”，证明如下：
∵﹣2A+3B＝﹣2（m2+m﹣1）+3（m2﹣m+1）＝﹣2m2﹣2m+2+3m2﹣3m+3＝m2﹣5m+5．
即m2﹣5m+5＝﹣2A+3B，∴m2﹣5m+5是“AB型整式”．
问题：
（3）﹣3m2﹣m+3是什么型整式？请回答问题并仿照上述例子进行证明．
（4）若整式4m2+km+k是关于m的“ABC型整式”，请求出相应的a，b，c（用含k的代数式表示）．
【解答】解：（1）若b≠0，a＝c＝0，则称该整式为B型整式；
若a≠0，c≠0，b＝0，则称该整式为AC型整式，
故答案为：b≠0，a＝c＝0；a≠0，c≠0，b＝0；
（3）﹣3m2﹣m+3＝﹣2（m2+m﹣1）+（﹣m2+m﹣1）＝﹣2A+C，∴﹣3m2﹣m+3为AC型整式；
（4）∵4m2+km+k是关于m的“ABC型整式”，
∴4m2+km+k＝（m2+m﹣1）+（m2﹣m+1）+k（﹣m2+m﹣1）＝A+B+kC，
∴a＝，b＝，c＝k．
21．（雅礼）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：已知任意一个四位数m，若个位与百位上的数字之和为8，千位与十位上的数字之和也为8，则称m为“双雅数”．如：1276；
材料二：若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，如：9＝32，则9为完全平方数．
（1）判断下列四位数是不是“双雅数”，请在横线上填“是”或“不是”：
①3454 “双雅数”；
②2635 “双雅数”；
③7612 “双雅数”．
（2）一个“双雅数”，它的千位上的数是a，百位上的数是b，十位上的数是c，个位上的数是d，请证明它是为11的倍数；
（3）若四位数m为“双雅数”，记F（m）＝，当F（m）是完全平方数时，求出所有满足条件的数m．
【解答】解：（1）①3454，∵4+4＝8，5+3＝8，∴3454是“双雅数”；
②2635，∵5+6≠8，2+3≠8，∴2635不是“双雅数”；
③7612，∵2+6＝8，1+7＝8，∴7612是“双雅数”；故答案为：①是；②不是；③是；
（2）证明：记该数为n，则n＝1000a+100b+10c+d，其中a+c＝b+d＝8，
∴n＝1000a+100b+10（8﹣a）+（8﹣b）＝990a+99b+88＝11（90a+9b+8），
∵a，b都为整数，∴11（90a+9b+8）能被11整除，∴一个“双雅数”是11的倍数；
（3）设m的千位数上的数字为a，百位上的数字为b，由（2）知，m＝990a+99b+88，
∴＝＝5（10a+b），∵F（m）是完全平方数，
∴（10a+b）为完全平方数的5倍，∴10a+b＝20或45或80，
①a＝2，b＝0，m＝2068，②a＝4，b＝5，m＝4543，③a＝8，b＝0，m＝8008，
综上，满足条件的数m有2068，4543，8008．
22．（望城一中）定义新运算a∇b＝|a﹣b|﹣b，如4∇2＝|4﹣2|﹣2＝2﹣2＝0；
若a∇b＝0，则称a与b互为“望一”数；
若a∇b＝﹣a，则称a与b互为“望外”数；
（1）计算：（﹣4）∇（﹣2）＝ ．
（2）下列互为“望一”数的是 ．互为“望外”数的是 ．
①：6∇3；②：5∇2；③：3∇4；④：2.8∇1.4；⑤：1∇3；
（3）若（x∇1）+[x∇（﹣1）]＝2，则x可以取哪些整数？
（4）若（x∇1）﹣[x∇（﹣1）]＝﹣2，则x的值为多少？
【解答】解：（1）（﹣4）∇（﹣2）＝|﹣4+2|﹣（﹣2）＝2+2＝4，故答案为：4；
（2）①∵6∇3＝|6﹣3|﹣3＝0，∴6∇3是“望一数”，
②∵5∇2＝|5﹣2|﹣2＝1，∴5∇2既不是“望一数：，也不是”望外数“；
③∵3∇4＝|3﹣4|﹣4＝﹣3，∴3∇4是”望外数“；
④∵2.8∇1.4＝|2.8﹣1.4|﹣1.4＝0，∴2.8∇1.4是”望一数“；
⑤∵1∇3＝|1﹣3|﹣3＝﹣1，∴1∇3是”望外数“；故答案为：①④；③⑤；
（3）∵（x∇1）+[x∇（﹣1）]＝2，∴|x﹣1|﹣1+|x+1|+1＝2，∴|x﹣1|+|x+1|＝2，
当x≤﹣1时，1﹣x﹣x﹣1＝2，解得x＝﹣1，
当﹣1＜x＜1时，1﹣x+x+1＝2，解得﹣1＜x＜1的任意实数，
当x＞1时，x﹣1+x+1＝2，解得x＝2，综上，﹣1≤x≤1，∵x为整数，∴x＝﹣1或0或1；
（4）∵（x∇1）﹣[x∇（﹣1）]＝﹣2，∴|x﹣1|﹣1﹣（|x+1|+1）＝﹣2，∴|x﹣1|﹣|x+1|＝0，
∴|x﹣1|＝|x+1|，∴x﹣1＝x+1或x﹣1＝﹣x﹣1，解得x＝0．
23.（明德）已知为有理数，且不为0，则定义有理数对（）的“真诚值”为，如有理数数对（3，2）的“真诚值”为（3，2）=，有理数对（，4）的“真诚值”为．
（1）求有理数对（，2），（1，2）的“真诚值”；
（2）求证：有理数对（）与（）的“真诚值”相等；
（3）若（，2）的“真诚值”的绝对值为，若，求的值．
解：（1）根据题中的新定义得：d（﹣3，2）＝（﹣3）2﹣10＝9﹣10＝﹣1，d（1，2）＝21﹣10＝2﹣10＝﹣8；
（2）设a＜b，则d（a，b）＝ab﹣10，d（b，a）＝ab﹣10，即d（a，b）＝d（b，a）；
（3）当d（a，2）＝6，a＞2时，解得：a＝4或a＝2（舍去）；a＜2时，解得：a＝﹣4或a＝﹣2，
综上，a的值为﹣4，﹣2，4．
桌子数
1
2
3
4
…
n
可坐人数
6
8
10
…