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2023-2024学年青岛版（2012）九年级上册第二章解直角三角形单元测试卷(含答案)
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2023-2024学年 青岛版（2012）九年级上册 第二章� 解直角三角形单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，中，，于点D，若，则（ ）A． B． C． D．2．如图，已知直线l： ，过点，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点．过点作直线l的垂线交y轴于点；……；按此作法继续下去，则点的坐标为（ ）A． B． C． D．3．如图所示，小明爬一土坡，坡度为，他从A处爬到B处离地面高度为米，则这个土坡直线距离长为（ ）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米4．如图，在中，，M是直角边上一点，于点N，，，求的值为（ ）A． B． C． D．5．在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（ ）A．个 B．个 C．个 D．个6．在直角三角形中，，，，则的长为（ ）A．5 B．10 C．12 D．247．如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D．8．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．9．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（ ）A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定10．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为（ ）． A．3 B．5 C．2 D．411．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为 ．12．如图，己知点E是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点G、H都在边上，若,则 ,的值= ．13．中，D为边中点，，，若，，则 ．14．如图，在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当直线时， ．15．将放置在的正方形网格中，顶点、、都在格点上．则的值为 ．16．如图，在中，，点是边上的一动点（不与点重合），过点作交于点，将沿直线翻折，点落在射线上的点处．当为直角三角形时，则折叠后所得到的四边形的周长为 ．17．如图，在中，，其顶点为坐标原点，点在第二象限，点A在轴负半轴上，若于点，，．求点A，的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴于点、交轴于点A，已知点，点是线段的中点，，点是轴上的一动点．(1)求点A的坐标；(2)如果以点A，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；(3)平面上是否存在点，使得以点A，，，为顶点的四边形是菱形．如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、问答题参考答案：1．A【分析】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，求解锐角的正切，掌握正切的定义是解本题的关键，先证明，再利用定义解答即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴；故选：A2．C【分析】本题考查了一次函数的规律探索问题、锐角三角函数，利用锐角三角形函数得，同理得 ，进而可求解，准确找出规律是解题的关键．【详解】解：∵直线l的解析式为，当时，代入上式得，即，，∴点，，，，轴，，，，，同理可得 ，∴点的纵坐标为，，故选：C．3．B【分析】本题考查了坡度的定义与相关计算，属于基础题型，熟知概念是关键．设斜坡的水平宽度为x米，根据坡度的定义可求出x，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：设斜坡的水平宽度为x米，根据题意，得，解得，∴米，故选：B．4．D【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：，，，设故选：D．5．B【分析】本题考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是根据锐角的三角函数的定义分别表示出、、，从而逐一判断即可得．【详解】解：如图，∵，∴，故①错误；∵，∴，故②正确、④错误；∵，∴，故③正确，∴正确的有个．故选：B． 6．D【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦．【详解】解：∵，，∴，又，∴，∴，∴，故选D．7．D【分析】本题主要考查旋转与正方形的相关知识，根据旋转的性质以及正方形的性质可得到的度数，根据三角函数求得的长，则的面积即可求得，然后利用正方形的面积减去和的面积即可求解，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题的关键．【详解】解：如图，将与的交点记为，连接， 解：在和中，，∴，∴，又∵，，∴，在中，，∴，∴，又∵，∴，故选：．8．A【分析】本题考查网格中的锐角三角函数．利用勾股定理求出，勾股定理逆定理，得到，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．【详解】解：由图，可知：，∴，∴，∴，，，，综上：只有选项A是错误的，故选A．9．A【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，故选：．10．C【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是根据题意可得：在中，，从而可得，进行计算即可解答．【详解】解：滑坡的坡度是，在中，，，，故选：C．11．【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，连接，根据题意得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代入求解即可．解题的关键是正确作出辅助线．【详解】如图所示，连接，由网格可得，∴，∴．故答案为：．12． 5 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求∠的正切值转化为求∠的正切值是解题的关键.根据勾股定理求出，根据题意得知，由平行线的性质得到，结合相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答.【详解】解：在矩形中，，∴∵矩形，∴，，，∵正方形，∴，∴，，∴，∴， 设则，∴，∵，∴∠∠，∴.故答案为：5，13．【分析】延长到，使，连接，过作于, 得出，证 推出，求出，得出，设，在 中，根据勾股定理求出，即可求出和，根据勾股定理求出即可.【详解】如图, 延长到，使，连接, 过作于，∵在和中，，，，，，，设 ，，在中，由勾股定理得：，，解得：(舍去)， 即 ，，，即 ，故答案为: ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，勾股定理，平行线的性质和判定，解直角三角形等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力，此题难度偏大.14．或/或【分析】分两种情况：①延长交于，由，，，得，，，根据将沿翻折，使得点落在点处，有，，在中，可得，，即知，再用勾股定理即得；②与交于，同①方法可求出．【详解】解：分两种情况：①延长交于，如图：，，，，，，，，是边的中点，，将沿翻折，使得点落在点处，，，在中，，，，在中，；②与交于，如图：由题意知：，将沿翻折，使得点落在点处，，，在中，，，，在中，；综上所述，的长度为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、三角函数及解直角三角形的有关知识，解题的关键是明确翻折前后的对应角和边相等，在计算中利用等角的三角函数值相等解决问题．15．1【分析】如图所示，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而得到，问题即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，由网格的特点可知，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键．16．或【分析】本题主要考查的是翻折的性质和特殊角的三角函数值的应用．先求得的长、与的度数，然后分别从从与去分析求解，又由折叠的性质与三角函数的知识，即可求得的长，继而求得答案．【详解】解：中，，．，．由翻折的性质可知：，．为直角三角形，或．①时，点在边上．，．由翻折的性质可知：，，，，，四边形的周长；②时，点在的延长线上．．．又，．设．∵，∴，，即，解得，，则，四边形的周长．综上所述，折叠后所得到的四边形的周长为或．故答案为或．17．点A的坐标为：，点B的坐标为：．【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角形函数．根据题意得和是直角三角形，根据，设，，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，即，，即可求出点A，的坐标．【详解】解：∵，∴，∴和是直角三角形，∵，∴设，，在中，根据勾股定理得，，在中，根据勾股定理得，，在中，根据勾股定理得，，∴，解得（舍），，∴，，即点A的坐标为：，点B的坐标为：．18．(1)(2)或(3)存在，或或或．【分析】（1）根据正切函数及题意得出，即可得出结果；（2）分两种情况分析：当时，当时，根据相似三角形的判定和性质求解即可；（3）分两种情况分析：①当是菱形的边时，②当为菱形的对角线时，根据菱形的性质结合图形求解即可得出点的坐标．【详解】（1）解：∵， ,∴，∴点A的坐标为；（2）如图所示，满足条件的点P有2个，∵，∴，∴，∴，当时，如图中点所示，，∴，∵点是线段的中点，∴，∴，点是的中点，∴，∴点的坐标为；当时，如图中点所示，，∴，即，∴，∴，∴点的坐标为；综上可得：点的坐标为或；（3）解：存在．理由如下：①当是菱形的边时，如图所示， 在菱形中，，∴，∴的坐标为； 在菱形中，，∴，∴的坐标为； 在菱形中，，∴的坐标为； ②当为菱形的对角线时，如图所示的菱形， 设菱形的边长为x，则，，则在中，，即，解得， ∴． 综上可得，平面内满足条件的P点的坐标为：或或或．【点睛】题目主要考查正切函数的定义，相似三角形的判定和性质，菱形的性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出相应图形进行分类讨论是解题关键．
2023-2024学年 青岛版（2012）九年级上册 第二章� 解直角三角形单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，中，，于点D，若，则（ ）A． B． C． D．2．如图，已知直线l： ，过点，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点．过点作直线l的垂线交y轴于点；……；按此作法继续下去，则点的坐标为（ ）A． B． C． D．3．如图所示，小明爬一土坡，坡度为，他从A处爬到B处离地面高度为米，则这个土坡直线距离长为（ ）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米4．如图，在中，，M是直角边上一点，于点N，，，求的值为（ ）A． B． C． D．5．在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（ ）A．个 B．个 C．个 D．个6．在直角三角形中，，，，则的长为（ ）A．5 B．10 C．12 D．247．如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D．8．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．9．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（ ）A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定10．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为（ ）． A．3 B．5 C．2 D．411．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为 ．12．如图，己知点E是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点G、H都在边上，若,则 ,的值= ．13．中，D为边中点，，，若，，则 ．14．如图，在中，，，，是边的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当直线时， ．15．将放置在的正方形网格中，顶点、、都在格点上．则的值为 ．16．如图，在中，，点是边上的一动点（不与点重合），过点作交于点，将沿直线翻折，点落在射线上的点处．当为直角三角形时，则折叠后所得到的四边形的周长为 ．17．如图，在中，，其顶点为坐标原点，点在第二象限，点A在轴负半轴上，若于点，，．求点A，的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴于点、交轴于点A，已知点，点是线段的中点，，点是轴上的一动点．(1)求点A的坐标；(2)如果以点A，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；(3)平面上是否存在点，使得以点A，，，为顶点的四边形是菱形．如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、问答题参考答案：1．A【分析】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，求解锐角的正切，掌握正切的定义是解本题的关键，先证明，再利用定义解答即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴；故选：A2．C【分析】本题考查了一次函数的规律探索问题、锐角三角函数，利用锐角三角形函数得，同理得 ，进而可求解，准确找出规律是解题的关键．【详解】解：∵直线l的解析式为，当时，代入上式得，即，，∴点，，，，轴，，，，，同理可得 ，∴点的纵坐标为，，故选：C．3．B【分析】本题考查了坡度的定义与相关计算，属于基础题型，熟知概念是关键．设斜坡的水平宽度为x米，根据坡度的定义可求出x，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：设斜坡的水平宽度为x米，根据题意，得，解得，∴米，故选：B．4．D【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：，，，设故选：D．5．B【分析】本题考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是根据锐角的三角函数的定义分别表示出、、，从而逐一判断即可得．【详解】解：如图，∵，∴，故①错误；∵，∴，故②正确、④错误；∵，∴，故③正确，∴正确的有个．故选：B． 6．D【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是掌握锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦．【详解】解：∵，，∴，又，∴，∴，∴，故选D．7．D【分析】本题主要考查旋转与正方形的相关知识，根据旋转的性质以及正方形的性质可得到的度数，根据三角函数求得的长，则的面积即可求得，然后利用正方形的面积减去和的面积即可求解，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题的关键．【详解】解：如图，将与的交点记为，连接， 解：在和中，，∴，∴，又∵，，∴，在中，，∴，∴，又∵，∴，故选：．8．A【分析】本题考查网格中的锐角三角函数．利用勾股定理求出，勾股定理逆定理，得到，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．【详解】解：由图，可知：，∴，∴，∴，，，，综上：只有选项A是错误的，故选A．9．A【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，故选：．10．C【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是根据题意可得：在中，，从而可得，进行计算即可解答．【详解】解：滑坡的坡度是，在中，，，，故选：C．11．【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，连接，根据题意得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代入求解即可．解题的关键是正确作出辅助线．【详解】如图所示，连接，由网格可得，∴，∴．故答案为：．12． 5 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求∠的正切值转化为求∠的正切值是解题的关键.根据勾股定理求出，根据题意得知，由平行线的性质得到，结合相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答.【详解】解：在矩形中，，∴∵矩形，∴，，，∵正方形，∴，∴，，∴，∴， 设则，∴，∵，∴∠∠，∴.故答案为：5，13．【分析】延长到，使，连接，过作于, 得出，证 推出，求出，得出，设，在 中，根据勾股定理求出，即可求出和，根据勾股定理求出即可.【详解】如图, 延长到，使，连接, 过作于，∵在和中，，，，，，，设 ，，在中，由勾股定理得：，，解得：(舍去)， 即 ，，，即 ，故答案为: ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，勾股定理，平行线的性质和判定，解直角三角形等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力，此题难度偏大.14．或/或【分析】分两种情况：①延长交于，由，，，得，，，根据将沿翻折，使得点落在点处，有，，在中，可得，，即知，再用勾股定理即得；②与交于，同①方法可求出．【详解】解：分两种情况：①延长交于，如图：，，，，，，，，是边的中点，，将沿翻折，使得点落在点处，，，在中，，，，在中，；②与交于，如图：由题意知：，将沿翻折，使得点落在点处，，，在中，，，，在中，；综上所述，的长度为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、三角函数及解直角三角形的有关知识，解题的关键是明确翻折前后的对应角和边相等，在计算中利用等角的三角函数值相等解决问题．15．1【分析】如图所示，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而得到，问题即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，由网格的特点可知，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键．16．或【分析】本题主要考查的是翻折的性质和特殊角的三角函数值的应用．先求得的长、与的度数，然后分别从从与去分析求解，又由折叠的性质与三角函数的知识，即可求得的长，继而求得答案．【详解】解：中，，．，．由翻折的性质可知：，．为直角三角形，或．①时，点在边上．，．由翻折的性质可知：，，，，，四边形的周长；②时，点在的延长线上．．．又，．设．∵，∴，，即，解得，，则，四边形的周长．综上所述，折叠后所得到的四边形的周长为或．故答案为或．17．点A的坐标为：，点B的坐标为：．【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角形函数．根据题意得和是直角三角形，根据，设，，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得，即，，即可求出点A，的坐标．【详解】解：∵，∴，∴和是直角三角形，∵，∴设，，在中，根据勾股定理得，，在中，根据勾股定理得，，在中，根据勾股定理得，，∴，解得（舍），，∴，，即点A的坐标为：，点B的坐标为：．18．(1)(2)或(3)存在，或或或．【分析】（1）根据正切函数及题意得出，即可得出结果；（2）分两种情况分析：当时，当时，根据相似三角形的判定和性质求解即可；（3）分两种情况分析：①当是菱形的边时，②当为菱形的对角线时，根据菱形的性质结合图形求解即可得出点的坐标．【详解】（1）解：∵， ,∴，∴点A的坐标为；（2）如图所示，满足条件的点P有2个，∵，∴，∴，∴，当时，如图中点所示，，∴，∵点是线段的中点，∴，∴，点是的中点，∴，∴点的坐标为；当时，如图中点所示，，∴，即，∴，∴，∴点的坐标为；综上可得：点的坐标为或；（3）解：存在．理由如下：①当是菱形的边时，如图所示， 在菱形中，，∴，∴的坐标为； 在菱形中，，∴，∴的坐标为； 在菱形中，，∴的坐标为； ②当为菱形的对角线时，如图所示的菱形， 设菱形的边长为x，则，，则在中，，即，解得， ∴． 综上可得，平面内满足条件的P点的坐标为：或或或．【点睛】题目主要考查正切函数的定义，相似三角形的判定和性质，菱形的性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出相应图形进行分类讨论是解题关键．
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