新高考数学一轮复习专题三导数及其应用微专题四对称化构造解极值点偏移问题练习课件

这是一份新高考数学一轮复习专题三导数及其应用微专题四对称化构造解极值点偏移问题练习课件，共15页。

1.(2024广东湛江一模,18)已知函数f(x)=(1+ln x) .(1)讨论f(x)的单调性;(2)若方程f(x)=1有两个根x1,x2,求实数a的取值范围,并证明:x1x2>1.
  解析    (1)由题意可得x>0, >0,所以a>0,f(x)=(1+ln x) = 的定义域为(0,+∞),f '(x)= =- ,由f '(x)=0,得x=1,当00,则f(x)在(0,1)上单调递增,当x>1时, f '(x)<0,则f(x)在(1,+∞)上单调递减.(2)由 =1,得 =a,设g(x)= ,x>0,
则g'(x)= = ,由g'(x)=0,得x=1,当00,则g(x)在(0,1)上单调递增,当x>1时,g'(x)<0,则g(x)在(1,+∞)上单调递减.又g =0,g(1)=1,且当x>1时,g(x)>0,故g(x)= 的图象如图所示, 
由图知当01时, 与ln x同时大于0,故h'(x)≥0 所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,所以h(x1)=g(x1)-g <0,
即g(x1)1, >1,g(x)在(1,+∞)上单调递减,所以x2> ,故x1x2>1.
2.(2024湖南三湘创新发展联合体联考,19)已知函数f(x)=2ex+ax.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若方程f(x)=m有两个不相等的根x1,x2,且0  解析    (1)f(x)=2ex+ax,则f '(x)=2ex+a,当a≥0时, f '(x)>0,函数f(x)在R上单调递增;当a<0时,令f '(x)<0,得x0,得x>ln ,所以函数f(x)在 上单调递减,在 上单调递增.(2)证明:因为方程f(x)=m有两个不相等的根x1,x2,且0要证f '( )<0,即证2 +a<0,即证 <- ,即证 2·2 +2a=-2a+2a=0,所以函数g(x)在 上单调递增,所以g(x)所以f(x)ln ,2ln -x1>ln , f(x)在 上单调递增,所以x1<2ln -x2,所以f '( )<0.
3.(2024吉林省吉林市二模)在平面直角坐标系xOy中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上, 另一个顶点B在函数f(x)= 的图象上.(1)当顶点B在x轴上方时,求Rt△OAB以x轴为旋转轴,边AB和边OB旋转一周形成的面 所围成的几何体体积的最大值.(2)已知函数g(x)= ,关于x的方程f(x)=g(x)有两个不等实根x1,x2(x1 .
  解析    (1)因为顶点B在x轴上方,所以 >0⇒x>1.由题意知AB⊥x轴.设A(x,0),则B ,所得圆锥体积V= ·π ·x= · (x>1).设m(x)= (x>1),则m'(x)= ,由m'(x)>0⇒2ln x-ln2x>0⇒ln x(2-ln x)>0.因为x>1,所以2-ln x>0⇒x所以u(ax2)=u(ln(ex)),因为u(t)=et+t为增函数,所以ax2=ln(ex),即ax2=ln x+1,所以方程f(x)=g(x)有两个不等实根x1,x2等价于a= 有两个不等实根x1,x2,令h(x)= ,则h'(x)= ,当x∈ 时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈ 时,h'(x)<0,h(x)单调递减.所以h(x)max=h = e.
当x→0时,h(x)→-∞;当x→+∞时,y=ln x+1与y=x2均为增函数,且y=x2的增长速度更快,故 h(x)→0,所以a∈ .(ii)证明:由(i)知 两式作差得a -a =ln x1-ln x2,即 = ,令G(x)=ln x- ,x>1,则G'(x)= - = >0,故G(x)在(1,+∞)上单调递增,故G(x)>G(1)=0,即当x>1时,ln x> ,