四川省内江市东兴区东兴初级中学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份四川省内江市东兴区东兴初级中学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

试卷满分：160分 考试时间：120分钟
A卷（100分）
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．化简的结果是( )
A．B．C．3D．9
2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（ ）
A．B．C．D．
4．用配方法解方程的过程中，应将此方程化为（ ）
A．B．C．D．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知，，，的长为（ ）
A．B．C．D．
8．小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x，根据题意列出方程得( )
A．B．
C．D．
9．若x1，x2是方程x2+x-1=0的两个根，则的值为( )
A．2B．4C．5D．-2
10．如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）

A．B．C．或D．或
11．如图所示，在中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得；再分别取三边的中点，，，得；这样依次下去…，经过第2023次操作后得，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如果，那么 ．
14．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是 ．
15．如图，在中，，，D、E分别为边的中点，连结，若，则的面积为 ；
16．如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．完成下列各题：
(1)计算
(2)解方程
18．先简化，再求值：，其中，．
19．如图，在中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．

(1)求证：．
(2)若，，，求边的长度．
20．大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与大雁塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度．
21．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．

(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元?
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．已知直角三角形两边的长满足，则第三边长为 ．
23．已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 ．
24．如图，中，在上，且，为的中点，的延长线交于F，那么的值为 ．
25．如图，在中，，把沿斜边折叠，得到，过点D作交的延长线于点E，过点C作，分别交，于点M，N，若，，则 ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：
(2)已知是正整数，，，，求；
(3)已知，求的值．
27．已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，边与轴交于点，点的坐标分别为，，．
(1)求的面积；
(2)在轴上找一点，连接，使得（不包括全等），并求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，如分别是边和边上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由．
28．如图，在四边形中，对角线与相交于点，，，平分，交于点．

(1)如图1，求证：；
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，过点作，垂足为，若，，求的值．
参考答案与解析
1．C
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，由此即可得到答案．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
2．D
【分析】先把每一个二次根式化为最简二次根式，然后找出与2被开方数相同的二次根式．
【详解】解：=2；
A、=3，被开方数是2；故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，被开方数是30；故本选项不符合题意；
C、=4被开方数是3；故本选项不符合题意；
D、=3，被开方数是6；故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
3．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：∵与相似，且相似比为，
∴与的周长比为，
故选B．
4．A
【分析】将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
5．D
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减及乘法法则进行计算即可．
【详解】解：A、=4，故本选项错误；
B、3-2=，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查对二次根式的加减、乘除法则，同类二次根式，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算和化简是解此题的关键．
6．C
【分析】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．根据已知条件及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【详解】解：，
，
添加A选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；
添加B选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；
选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似；
添加D选项后，两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似．
故选：C．
7．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】∵AD：AF=3：5，
∴AD：DF=3：2，
∵AB∥CD∥EF，
∴，即，
解得，CE=4，
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8．A
【分析】根据该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，列方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
9．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=-，x1x2=，将原式整理即可得出答案．
【详解】∵x1，x2是方程x2+x-1=0的两个根，
∴x1+x2=-1，x1x2=-1，
则(x1-2)·(x2-2)=x1x2-2x1-2x2+4=x1x2-2(x1+x2)+4=-1-2×(-1)+4=-1+2+4=5．
故选C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2=-，x1x2=的值是解决问题的关键．
10．C
【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
当时，
则，
∵，翻折，使点落在直角边上某一点处，
∴，
解得；
当时，
则，
∵，翻折，使点落在直角边上某一点处，
解得；
由上可得，的长为或，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．
11．B
【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比，列出方程是解题的关键．设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解．
【详解】设点的横坐标为，则、间的横坐标的长度为，、间的横坐标的长度为．
放大到原来的倍得到，
，
解得：．
故选：B．
12．A
【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，勾股定理，三角形面积的计算．先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：过点A作于点D，如图所示：

∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵点、分别是的中点，
∴点是的中位线，
∴，
同理可得：，
……，
则，
∴一条边上的高为：，
∴．
故选：A．
13．##
【分析】根据分式的性质化简，再整体代入即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．
14．5
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，
∵该方程一个根为，令，
∴，解得：．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，．
15．
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理及三角形的面积，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．过点A作，根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理列出方程并求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点A作，
，分别是，的中点，，
，
设，则，
，
，
，
解得：，
即，
，
，
故答案为：
16．##4.8
【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案．
【详解】∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查实数的混合运算及解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．
（1）先利用立方根、二次根式、负指数幂及绝对值的性质进行化简，再计算加减即可；
（2）根据配方法的步骤求解可得．
【详解】（1）原式
（2）
解得：
18．，．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可．
【详解】原式＝
＝
＝
＝；
，原式＝.
【点睛】考查分式的混合运算-化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，得，且．然后根据相似三角形的判定可得结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，即可求得．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴
又∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定、平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质定理是解决此题关键．
20．AB=62米
【分析】易证△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，然后根据相似三角形的性质及等量代换可得＝，由此可得关于AC的方程，解方程即可求出AC，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵DC∥AB，HG∥AB，
∴△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴＝， ＝，
∵DC＝HG，
∴＝，
∴＝，解得： CA＝120（米），
∵＝，
∴＝，解得： AB＝62（米）．
答：大雁塔的高度AB为62米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意、灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21．(1)
(2)当天玩具的销售单位是40元或20元
【分析】（1）设一次函数的关系式为，采用待定系数法即可求解；
（2）设当天玩具的销售单位是x元，由题意得，，解方程即可求解．
【详解】（1）设一次函数的关系式为，
由题图可知，函数图象过点和点把这两点的坐标代入一次函数，得，
解得，
∴一次函数的关系式为．
（2）设当天玩具的销售单位是x元，
由题意得，，
解得：，，
∴当天玩具的销售单位是40元或20元．
【点睛】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程，是解答本题的关键．
22．或##或
【分析】本题主要考查勾股定理、非负数的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，“如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么”．根据绝对值、算术平方根的非负性分别求出x、y，分两种情况讨论，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：∵x、y为直角三角形的两边长，满足，
∴，，
解得：或（负值不合题意，舍去），或（负值不合题意，舍去），
当6为直角三角形的直角边时，则第三边长为：；
当6为直角三角形的斜边时，则第三边长为：；
综上分析可知，直角三角形的第三边长为或．
故答案为：或．
23．+##0.6875
【分析】设，则，，，可得；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．
【详解】解：设，则，，，
．
，，为非负实数，
，
解得：．
当时，取最大值，当时，取最小值．
，
．
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设是解题的关键．
24．##
【分析】本题考查了平行线分线段成比例．作平行于交于G，．由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得；然后根据为的中点，可得，所以由等量代换证得结论．
【详解】解：如图，作交于G，则 ，
∵，
∴，
根据比例的性质得：，
又E是的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
25．##
【分析】此题考查了折叠问题，全等三角形和相似三角形的性质和判定方法，连接，根据题意可得为等腰三角形，进而证明全等，然后根据相似即可求得的值．解题的关键是能够根据题意构造出相应的辅助线．
【详解】解：连接，如图，
由对称的性质可知，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，．
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
26．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】()根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果；
()互为倒数，分母有理化后可得的值，代入所求式子即可；
()设，，则，利用已知等式导出，根据完全平方公式计算出即是所求；
本题考查了分母有理化的技巧，熟练利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是解题的关键．
【详解】（1）解：原式，
，
，
；
（2）解：∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：设，，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，（不符合题意，舍去），
∴．
27．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）如图1，过点B作，交x轴于点D，可证，，可得，可证，可得，可求的长，即可求点D坐标；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，点B的横坐标为1，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴的面积为；
（2）解：如图1，过点B作，交x轴于点D，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为：；
（3）解：如图2，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：；
如图3，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：；
综上所述：当或时，与相似．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
28．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）利用角平分线的定义，通过等量代换求出，即可证明；
（2）先求出，由勾股定理得到，再证明，得到，即可证明；
（3）连接，先证明，可得，设，则，再推导出，可求，然后证明，得到，求出，即可求出．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，，
，
；
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接，

，
，
平分，
，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理是解题的关键．