甘肃省庆阳市西峰区西峰区黄官寨实验学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份甘肃省庆阳市西峰区西峰区黄官寨实验学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了一元二次方程x，已知方程的两个根是，则的值为，用配方法解方程，经过配方，得到，由二次函数可知，如图中∠BOD的度数是，①求证等内容，欢迎下载使用。

一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．
1．下列四个图形中属于中心对称图形的是（ ）.
A．B．C．D．
2．一元二次方程x（x+5）=0的根是（ ）
A．x1=0，x2=5B．x1=0，x2=﹣5C．x1=0，x2=D．x1=0，x2=﹣
3．已知方程的两个根是，则的值为（ ）
A．1B．C．6D．
4．用配方法解方程，经过配方，得到( )
A．B．C．D．
5．由二次函数可知（ ）
A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为
C．其最大值为D．当时，随的增大而减小
6．如图中∠BOD的度数是（ ）
A．150°B．125°C．110°D．55°
7．如图，在半径为10的中，垂直弦于点，则的长是（ ）
A．3B．4C．6D．8
8．若为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ）

A．B．C．D．
10．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )
A．B．C．D．
二．填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将答案直接填在答题纸中对应横线上．
11．点P（2，﹣1）关于原点的对称点坐标为P′（m，1），则m= ．
12．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的一个解，则这个三角形的周长是 ．
13．把函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是函数 的图象.
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是 ．
15．关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式： ．
16．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 ．
17．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91．设每个支干长出个小分支，根据题意列方程为 ．
18．如图，是圆的一条弦，是圆上一动点且分别是的中点，直线与圆交于点、．若圆的半径为2，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解一元二次方程：
(1)
(2)
20．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位．
（1）画出关于原点O的中心对称图形；
（2）在（1）的条件下，请分别写出点A、B、C的对应点、、的坐标．
21．某农场要建一个面积为长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长)，另外三边用木栏围成，木栏长，求养鸡场的长和宽各是多少？
22．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根：
(2)若该方程的一个根为1，求的值及另一个根．
23．已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离．
24．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
25．如图1，在中，点P为边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧， 直线a于点M，直线a于点N，连接、；

(1) 延长交于点E(如图2)．①求证：；②求证：；
(2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变．此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3) 若直线a绕点A旋转到与边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形的形状及此时还成立吗？不必说明理由．
26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
参考答案与解析
1．A
【详解】解：A、是中心对称图形，故选项正确；
B、不是中心对称图形，故选项错误；
C、不是中心对称图形，故选项错误；
D、不是中心对称图形，故选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查中心对称图形．
2．B
【详解】∵x（x+5）=0，
∴x=0或x+5=0，
解得：x1=0，x2=﹣5．
故选B．
3．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系即可得到，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：∵方程的两个根是，
∴，
故选D．
4．B
【分析】将常数项移到等号右边，等号两边都加上1，配方即可．
【详解】解：，
移项，得，
两边同时加1，得，
即，
故选：B．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法的计算方法是解题的关键．
5．D
【分析】根据二次函数的解析式进行逐项判断即可．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
函数有最小值，当时，随的增大而减小，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
6．C
【详解】如图，连接OC．
∵∠BOC=2∠BAC=50°，∠COD=2∠CED=60°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=110°，
故选C．
7．B
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，先由垂径定理得到，再利用勾股定理求出，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵垂直弦于点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选B．
8．C
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，把函数解析式化为顶点式，求出对称轴和开口方向，进而得到离对称轴越远，函数值越小，再求出各点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，离对称轴越远，函数值越小，
∵为二次函数的图像上的三点，，
∴，
故选C．
9．C
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵在平面内绕点A旋转到，
∴，
∴，
∴，
∴旋转角的度数为．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，求得的度数是解题的关键．
10．B
【分析】由点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，得到，则，再根据正方形的性质得，，然后根据“”可判断，所以，这样，于是，然后配方得到，最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．
【详解】解：根据题意，，
四边形为正方形，
，，
在和中
，
，
，
，
，
与的函数图象为抛物线一部分，顶点为，自变量为．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是掌握先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
11．﹣2．
【详解】试题分析：∵点P（2，﹣1）关于原点的对称点坐标为P′（m，1），
∴m=﹣2，
故答案为﹣2．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
12．10
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长．
【详解】解：由，解得：x＝2或x＝4
当第三边长为2时，
由三角形三边关系可知：2＋2＝4，
故不能组成三角形，
当第三边为4时，
由三角形三边关系可知：4＋2＞4，能够组成三角形，
∴这个三角形的周长为：2＋4＋4＝10，
故答案为：10
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是求出利用三角形三边关系求出第三边长，本题属于基础题型．
13．或
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．
【详解】解：函数y=ax2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得：
y=a（x-2）2-3．
故得到的抛物线是函数或的图象．
【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
14．（﹣4，3）
【详解】解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，
∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，
∴OA=OA′，∠AOA′=90°，
∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠A′OB′，
在△AOB和△OA′B′中，
，
∴△AOB≌△OA′B′（AAS），
∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，
∴点A′的坐标为（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
15．y=x2﹣3x+1
【详解】∵关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴k﹣2＞0，解得：k＞2，
故答案为：y=x2﹣3x+1（答案不唯一）．
16．x1=1，x2=﹣3
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（﹣3，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是：x1=1，x2=﹣3．
故答案为x1=1，x2=﹣3．
17．
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意列方程得：．
故答案为：．
18．##
【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，先由圆周角定理得到，则由勾股定理得到，由三角形中位线定理得到，则，故当为的直径时最大，即此时有最大值，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点E、F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴当为的直径时最大，即此时有最大值，
∴，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先去括号，然后移项，再利用因式分解法解方程即可；
（2）先把二次项系数化为1，然后把常数项移到方程右边，再利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
20．（1）答案见解析；（2），，．
【分析】（1）分别作出A、B、C三点关于原点的对称点A1、B1、C1，依次连接A1、B1、C1即得所要求作的图形；
（2）根据关于原点对称的两个点的坐标特征，即可得到A、B、C的对应点、、的坐标．
【详解】（1）如图所示：
（2）由图可知：，，．
【点睛】本题考查了作中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标特征是关键．
21．养鸡场的长为，宽为．
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出矩形的长与宽是解题关键．根据题意表示出矩形的长与宽，进而利用面积为，得出等式求出答案．
【详解】解：设，则，根据题意可得：
，
解得：，．
因为，
所以，
故．
所以，
则．
答：养鸡场的长为，宽为．
22．(1)证明见解析
(2)当时，方程的另一个根为；当时，方程的另一个根为
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．
（1）只需要证明恒成立即可；
（2）把代入原方程得到，解方程求出m的值，进而根据m的值解方程求出方程的另一根即可．
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根：
（2）解：∵关于的一元二次方程的一个根为1，
∴，
∴，
解得或；
当时，原方程为，解得或；
当时，原方程为，解得或；
综上所述，当时，方程的另一个根为；当时，方程的另一个根为．
23．和之间的距离为7或17
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案．
【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、．
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴和之间的距离为17；
如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时，
同理可得：，
∴，
∴和之间的距离为7；
综上所述，和之间的距离为7或17．
24．（1）y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数；（2）每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元.
【分析】（1）先求出每件商品的售价上涨x元后的月销量，再根据“月利润=每件利润月销量”列出等式即可；根据x为正整数，和每件售价不能高于65元写成x的取值范围；
（2）根据题（1）的结论，利用二次函数图象的性质求解即可.
【详解】（1）设每件商品的售价上涨x元，则商品的售价为元，月销量为件
由题意得：
整理得：
由每件售价不能高于65元得：，即
又因x为正整数
则x的取值范围为：，且x为正整数
综上，y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数；
（2）的对称轴为：
则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
因x为正整数，则当时，，y取得最大值；当时，，y取得最大值，比较这两个最大值即可得出最大利润
将代入得：，此时售价为
将代入得：，此时售价为
答：每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元.
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意建立等式是解题关键.需要注意的是，在根据函数的增减性求最大利润时，要考虑对称轴的两侧，避免漏解.
25．(1)证明见解析；(2)成立；理由见解析；(3)成立；
【分析】（1）①根据平行线的性质证得，再根据，即可得到； ②由，得到则，而在中，，即可得到；
（2）证明方法与②相同；
（3）四边形是矩形，只要证明三个角是直角即可，再证明即可；
【详解】证明：①如图2： ∵直线a于点M，直线a于点N，
∴，
∴，
∴，
又∵P为边中点，
∴，
又∵，
∴，
②∵，
∴
∴，
∴在中，，
∴．
(2) 解：成立，如图3．
证明：延长与的延长线相交于点E，
∵直线a于点M，直线a于点N，
∴
∴，
∴
∴，
又∵P为边中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴．
(3) 四边形是矩形，成立．如图4， 理由：
∵，，，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形．
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，旋转的性质，灵活运用以上知识解题是关键.
26．（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在，抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）△ACE的最大面积，此时E点坐标为（，）．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可．
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D．
（3）方法1：过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点C作，垂足为H．设点E的坐标为，则点F、G的坐标均可表示出来，且可得EF的长，由即可得关于x的二次函数，从而可求得结果；
方法2：过点E作∥x轴，并分别过点A，C作、于点P、Q，设点E的坐标为，则点P、Q的坐标均可表示出来，AP、CQ\、PQ、EP、EQ的长度均可表示出来，由即可得关于x的二次函数，从而可求得结果；
方法3：过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点E作，垂足为M．由已知得AC这定值， 设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为．可得AG=FG，为等腰直角三角形，从而得为等腰直角三角形，，由三角形面积公式即可得关于x的二次函数，从而可求得结果；
方法4：根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点、，代入得
，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）∵点A，B关于对称轴对称，
∴点D为直线与对称轴的交点时的周长最小．
设直线的解析式为，则，解得．
∴直线的解析式为．
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，当时，，
∴抛物线对称轴上存在点，使的周长最小．
（3）方法1：
如图所示，过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点C作，垂足为H．
由（2）得，直线AC的表达式为．
设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为．
∴．
∴
，
当，即点E的坐标为时，的最大面积为·
方法2：
如图所示，过点E作∥x轴，并分别过点A，C作、于点P、Q，设点E的坐标为，则点P的坐标为，点Q的坐标为．
∴，，，，．
∴
．
∴当，即点E的坐标为时，的最大面积为·
方法3：
如图所示，过点E作轴，垂足为G，交直线AC于点F，过点E作，垂足为M．
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴．
由（2）得，直线AC的表达式为．
设点E的坐标为，则点F的坐标为，点G的坐标为．
∴，．
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴
．
∴当，即点E的坐标为时，的最大面积为·
方法4：
如图，设过点E与直线AC平行的直线为，
∴由，得，
当，即时，点E到AC的距离最大，的面积最大，此时，，
∴点E的坐标为．
设过点E的直线与x轴交点为F，则点F的坐标为．
∴．
∵直线AC的解析式为，
∴．
∴点F到AC的距离为．
又∵，
∴的最大面积为，此时点E的坐标为．