安徽省合肥市2023-2024学年上学期期末教学质量监测九年级数学模拟试卷

这是一份安徽省合肥市2023-2024学年上学期期末教学质量监测九年级数学模拟试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分为150分，考试时间为120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线
3. 小明沿斜坡AB上行40m，其上升的垂直高度CB为20米，则斜坡AB的坡度为（ ）
A. 30° B. 1:2 C. D.
4. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为1，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
5. 已知二次函数向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数，则h和k的值分别为（ ）
A. 1，3B. 3，-4C. 1，-3D. 3，-3
6. 如图，点分别在边上，，且，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．80°B．130°C．100°D．125°
8.如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝3．在边AC，AB上分别取点D和点E，使DC＝1，∠BDE＝45°，则线段AE的长为（ ）
A．B．C．D．
10. 已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（ ）
A. ﹣1≤t≤0 B. ﹣1≤t C. D. t≤﹣1或t≥0
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.如果 的值是黄金分割数, 那么的值为 .
12.魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形.如果图中与的面积比为，那么的值为_________________.
13.如图，直线y＝3x与双曲线交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转45°，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若S△ABC＝70，则k＝ ．
14.如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在矩形内点处，折痕为．
（1）点恰好为中点时，的值为______．
（2）点在上且、、在同一条直线上时，的值为______．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15.计算：
16.如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点．
（1）以O为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的位似比为1：2；
（2）利用图中网格线的交点用直尺在线段上找到一点D，使．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点.
（1）求此抛物线的表达式及点的坐标；
（2）将此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，求的值.
18.已知：如图，在中，点在边上，且，边的垂直平分线交边于点，交于点．
（1）求证：；
（2）如果的面积为，且，，求的面积．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作轴于点B，，点C在线段上，且．
（1）求k的值及线段的长；
（2）点P为B点上方y轴上一点，当与的面积相等时，请求出点P的坐标．
20. 已知四边形内接于，对角线是的直径．
（1）如图1，连接，若，求证；平分；
（2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．
六、解答题（本题满分12分）
21. 居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏OB旋转到的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知三点在一条直线上，且（参考数据：）．
（1）求散热架底边AC的长；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少cm？
七、解答题（本题满分12分）
22.已知，如图1，在四边形中，，，．

（1）当时（如图2），求的长；
（2）连接，交边于点，
①设，，求关于的函数解析式并写出定义域；
②当是等腰三角形时，求的长．
八、（本题满分14分）
23.已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，为坐标原点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1.D 2.C 3.C 4.D 5.A 6.A 7.B 8.A
9.C
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，AB＝AC＝3，
∵∠BDE＝45°，
∴∠BDE＝∠A，
∵∠DBE＝∠DBA，
∴△BDE∽△BAD，
∴BD：BA＝BE：BD，
∵∠C＝90°，CD＝1，BC＝3，
∴BD＝＝，
∴：3＝BE：，
∴BE＝，
∴AE＝AB﹣BE＝．
故选：C．
10.A
【解析】
【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．
【详解】解：如图1所示，当t等于0时，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
当x＝0时，y＝3，
∴A（0，3），
当x＝4时，y＝﹣5，
∴C（4，﹣5），
∴当t＝0时，
D（4，5），
∴此时最大值为5，最小值为0；
如图2所示，当t＝﹣1时，
此时最小值为﹣1，最大值为4．
综上所述：﹣1≤t≤0，
故选：A．
二、填空题
11.【答案】 12.【答案】
13.【答案】12
【解答】解：作AH⊥x轴于H，OE⊥OA交AC于E，EF⊥x轴于F，CN⊥x轴于N，连接OC，设AC交x轴于M，
∵∠CAB＝45°，
∴△AOF为等腰直角三角形，
∴OA⊥OE，OA＝OE，
∴∠EOF+∠AOH＝90°，
∵∠OAH+∠AOH＝90°，
∴∠EOF＝∠OAH，
∴△EOF≌△OAH（AAS），
设OH＝EF＝x，
∵AB：y＝3x，
∴AH＝3x＝OF，
∴EF：AH＝1：3，
∵EF∥AH，
∴MF：MH＝1：4，即MF：（MF+4x）＝1：4，
∴MH＝2x，
∵CN∥EF，
∴NC：MN＝EF：MF＝1：2，
∵点C、A在反比例函数上，
∴NC•ON＝OH•AH，
设NC＝y，
∴MN＝2y，
∴y（2y+5x）＝x•3x，
解得：y＝x或y＝﹣3x（舍去），
∵OA＝OB，
∴S△OAC＝×70＝35，
即OM（AH+CN）＝35，
即×5x（3x+x）＝35，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴OH＝2，AH＝6，
∴k＝12．
故答案为：12．
14.【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积推出边的比即可得到结果；
（2）根据余弦的定义和勾股定理即可得到结果；
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
当点恰好为中点时，，则，
设，则，，
由题知：，
∴，
∴，
∵△ABC和△EBC的高都是BC，
设，
∴；
故答案是2．
（2）点在上且、、在同一条直线上时，
设，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，可得到：，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
解得：，
∴，
∴；
故答案是：．
三、解答题
15.【答案】
16.【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接并延长到点，使得，连接并延长到点，使得，连接并延长到点，使得，顺次连接、、即可；
（2）如图，，，根据平行线分线段成比例定理即可得到所求的点．
【小问1详解】
如图所示：即为所求；
【小问2详解】
如图，点D为所求，
如图，，，
由平行线分线段成比例定理即可得到，，
故点D满足题意．
四、解答题
17.【答案】（1）把和代入
，解得
∴抛物线的表达式为
∴点的坐标是
（2）
设平移后的抛物线表达式为
把代入得
解得
∵，∴
18.【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由得，由垂直平分线的性质得到，即可证明；
（2）根据相似三角形的性质得到，则，，作于点H，分别求得和，即可得到的面积．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵边的垂直平分线交边于点，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∵，
∴，
∴，，
作于点H，

，
∴，
∵，
∴，
∴
五、解答题
19.【答案】（1），的长为3；（2）（0，10）．
【解析】
【分析】（1）根据，求出A点坐标，用待定系数法求出k的值，设BC为a，勾股定理列出方程，即可求解；
（2）设P点坐标，根据面积相等列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴A点纵坐标为4，代入，得，解得，
则A点坐标为（8,4），代入，得，解得，
设BC为a，则，
，
解得，，则的长为3；
（2）设P点坐标为（0，m），
的面积=，的面积=，
由题意得，，
解得，，
P点坐标为（0，10）．
20.【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可．
(2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可．
【小问1详解】
∵对角线是的直径，
∴，
∴，
∴平分．
小问2详解】
∵对角线是的直径，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形平行四边形，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
六、解答题
21.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用计算即可；
（2）过点B作交的延长线于D，先计算，再解，计算，得到，再计算即可得解；
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
答：AC的长约为；
【小问2详解】
过点B作交的延长线于D，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
因为
所以显示屏顶部比原来升高了约．
七、解答题
22.【答案】（1）；
（2）的长为或．
【解析】
【分析】（1）在中，解直角三角形得，，再证即可得解；
（2）①先求得，，根据， 可得定义域，证明可得关于的函数解析式；②分两类讨论求解，当时，作于点Q，作于点P，证得解，当时，作垂直直线于点N， 证得解．
【小问1详解】
解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴；
【小问2详解】
解：①如图2，作于点N，
∵，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
②∵，
∴，
∴，
当时，作于点Q，作于点P，如下图，易知四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴；
当时，作垂直直线于点N，如下图，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∵⊥，
∴，，
∴，
解得或（舍去），
综上的长为或．
八、解答题
23.【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2）
（3）存在，，
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为，利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式，利用，得出方程，解方程即可求解；
（3）证明，分两种情况讨论，当时，当时，利用相似三角形的性质列式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为，
∵，，
∴
代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
则，
∵是平行四边形，
∴，即，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由题意得，，，
∴点D、A、Q在同直线上，
设，，
∴，，
作轴，故轴，则，
∴，
∵，
∴，
可知，
∴，
同理可得直线的解析式为，
解方程，得或，
∴，
连接，作轴，
可知：，
∴，
∵，
∴，
即，故在左侧，
此时：，
设，
∵，，，，
I．当时，
，
∴，，
∴，
II．当时，
，
∴，，
∴．