人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示一课一练

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1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
3．证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
4．求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
5．求距离(长度)问题
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
【题型1 空间向量基底的判断】
【方法点拨】
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个
基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条
棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
【例1】（2021秋•揭西县期末）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【变式1-1】（2021秋•贵池区校级期中）已知{，，}是空间的一个基底，若2，2，，，则下列可以为空间一个基底的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【变式1-2】（2021秋•河北月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，则下列向量能组成一组基底的为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级月考）已知是空间的一个基底，若，则（ ）
A．是空间的一组基底
B．是空间的一组基底
C．是空间的一组基底
D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底
【题型2 空间向量基本定理的应用（表示向量）】
【方法点拨】
用基底表示向量的步骤:
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等
向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，不能含有其他形式的向量．
【例2】（2022春•梅州期末）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，PN＝ND，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2021秋•石家庄期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，点M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN：CA1＝1：4，则向量可表示为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2022春•浙江月考）如图，在四面体OABC中，，点M、N分别在线段OA、BC上，且2OM＝MA，CN＝2NB，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】（2021秋•宜昌期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若，，，点P为A1C1与B1D1的交点，则（ ）
A．B．C．D．
【题型3 空间向量基本定理的应用（求参数）】
【例3】（2021秋•慈溪市期末）已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若64λ，则λ＝（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
【变式3-1】（2021秋•湖北期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若xyz，则x+y+z＝（ ）
A．1B．C．D．
【变式3-2】（2021秋•新化县期末）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若x2y3z，则x+y+z等于（ ）
A．1B．C．D．2
【变式3-3】（2021秋•思明区校级期中）如图，M，N分别是四面体O﹣ABC的棱OA，BC的中点，设，，，若，则x+y﹣z＝（ ）
A．B．C．D．
【题型4 利用空间向量基本定理解决几何问题】
【方法点拨】
利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．
【例4】（2022秋•中牟县月考）已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、M为空间任意两点，如果有764，那么点M必（ ）
A．在平面BAD1内B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内D．在平面AB1C1内
【变式4-1】（2021秋•三门县校级期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，设，，．
（1）用，，表示；
（2）求AC1的长．
【变式4-2】如图所示，在三棱锥 A－BCD 中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．
(1)证明：AE⊥BC ；
(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值．
【变式4-3】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.