人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品课时作业

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1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知实数x，y满足，其中常数，则动点的轨迹是（ ）
A．射线B．直线C．抛物线D．椭圆
【解题思路】利用两点的距离公式、绝对值的几何意义以及抛物线的定义进行判断.
【解答过程】因为表示动点到定点的距离与到定直线l：的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点的轨迹为抛物线．故A，B，D错误.
故选：C.
2．（3分）（2022·云南·高二期末）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【解题思路】根据抛物线的标准方程，得到准线方程与焦点坐标，根据抛物线的定义，可列方程，得到答案.
【解答过程】由，可得其焦点，准线方程为，
因为点到该抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为，
则，解得，
故选：C.
3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答.
【解答过程】依题意，设抛物线方程为，于是得，解得，
所以所求抛物线方程是.
故选：B.
4．（3分）（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知圆 与抛物线的准线相切，则（ ）
A．B．C．4D．8
【解题思路】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切即得．
【解答过程】因为圆 的圆心为，半径为，
抛物线的准线为，
所以，
∴，
故选：C.
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知A，F为抛物线的焦点，点M在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义，知 ，当在抛物线上移动时，当三点共线时，最小，由此即可求出结果.
【解答过程】如图所示，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义，知
当在抛物线上移动时，的值在变化，显然移动到时，三点共线，最小，此时，把代入，得，
所以当取最小值时，点的坐标为．
故选：D.
6．（3分）（2022·天津和平·二模）已知抛物线交双曲线的渐近线于两点（异于坐标原点），双曲线的离心率为的面积为64，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据双曲线的离心率可得渐近线的斜率，结合渐近线的方程及的面积可求的坐标，从而可求抛物线的方程，故可得其焦点坐标.
【解答过程】因为双曲线的离心率为，故，其中为半焦距，
故即，故渐近线的方程为：，
由抛物线、双曲线的对称性可设，
故，故，所以，
所以，故，即抛物线的方程为：，
故焦点坐标为：.
故选：B.
7．（3分）（2022·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥处各有一窗户，两窗户的水平距离为，如图2，则此抛物线顶端到连桥的距离为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】建立适当坐标系，设点与的坐标，设抛物线方程为：，列出方程组，求解，即可得出结果.
【解答过程】建系如图，设抛物线方程为：，
由题意设，，
则，
解得：，.
所以此拋物线顶端到连桥的距离为：.
故选：B.
8．（3分）（2022·江西·三模（文））已知抛物线的焦点为，、是抛物线上两动点，是平面内一定点，下列说法正确的序号为（ ）
①抛物线准线方程为；
②若，则线段中点到轴距离为；
③以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切；
④的周长的最小值为.
A．①②④B．②③C．③④D．②③④
【解题思路】根据抛物线的方程直接写出抛物线的准线方程，可判断①的正误；设点、，利用抛物线的定义可判断②的正误；利用抛物线的定义可判断③的正误；过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，利用抛物线的定义以及、、三点共线时，求出的周长的最小值，可判断④的正误.
【解答过程】对于①，易知点，抛物线的准线方程为，①错；
对于②，设点、，则，所以，，
所以，线段中点到轴距离为，②对；
对于③，由抛物线的定义可得，所以，线段的长为半径的圆与准线相切，③对；
对于④，过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，所以，，
当且仅当、、三点共线时，即当时，取得最小值，
又因为，所以，的周长的最小值为，④对.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021·全国·高二课时练习）(多选)顶点在原点，对称轴是轴，且顶点与焦点的距离等于的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】设抛物线的标准方程为：，根据已知条件求出的值即可求解.
【解答过程】因为抛物线的对称轴是轴，可设抛物线的标准方程为：，
因为顶点与焦点的距离等于，所以，可得，
所以抛物线的方程为，
故选：CD.
10．（4分）（2022·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A．的坐标为B．
C．D．
【解题思路】由抛物线的方程求出焦点的坐标，可判断A选项；利用抛物线的定义可求得、的值，可判断BC选项；利用平面内两点间的距离公式可判断D选项.
【解答过程】对于抛物线，，可得，则点，A错；
由抛物线的定义可得，可得，则，可得，B对C错；
，D对.
故选：BD.
11．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知点是抛物线C：上一动点，则（ ）
A．C的焦点坐标为B．C的准线方程为
C．D．的最小值为
【解题思路】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程可判断A，B；利用抛物线的定义可判断C；根据抛物线方程消元，得，构造基本不等式求出最小值可判断D.
【解答过程】由抛物线的方程知，焦点坐标为，准线方程为．故A错误，B正确．
根据抛物线的定义可得点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，即，故C正确．
因为，所以
（当且仅当，即时，等号成立），故的最小值为，故D正确．
故选：BCD.
12．（4分）（2022·福建泉州·高二期中）在平面直角坐标系中，，F为抛物线的焦点，点P在C上，轴于A，则（ ）
A．当时，的最小值为3
B．当时，的最小值为4
C．当时，的最大值为1
D．当轴时，为定值
【解题思路】根据抛物线的定义结合图象一一计算可得；
【解答过程】解：对于A：时抛物线，焦点，点在抛物线外，
所以，当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故A错误；
对于B、C：当时抛物线，焦点，准线方程为，点在抛物线内，
设与准线交于点，则，所以，
当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故B正确；
，
当且仅当、、三点共线且在之间时取等号（如下图所示），故C正确；
对于D：抛物线，焦点，准线方程为，
当，此时，则，解得，
即或，如图取，则，，
所以，故D正确；
故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为 .
【解题思路】设抛物线方程为，代入点求出即可得抛物线方程.
【解答过程】依题意，设抛物线方程为，于是得，解得，
所以所求抛物线方程是.
故答案为: .
14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是 8 ．
【解题思路】根据焦半径公式求.
【解答过程】由条件可知，，
所以，解得：，所以焦点到准线的距离为.
故答案为：.
15．（4分）（2022·全国·高二课时练习）若是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则 4 ．
【解题思路】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设的坐标，利用锐角三角函数求出，再根据抛物线的定义计算可得.
【解答过程】解：由抛物线的方程，可得准线方程为，焦点坐标为，
设的坐标，且，
又，
，整理得，解得或（舍去），
所以由抛物线的定义可得．
故答案为：.
16．（4分）（2022·全国·高二专题练习）设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则 ．
【解题思路】当P、A、F三点共线时，点P到点A的距离与到直线的距离之和最小，由两点间的距离公式可得M，当P、B、F三点共线时，最小，由点到直线距离公式可得.
【解答过程】如图所示，
过点作垂直于直线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
所以点到直线的距离为，
所以
当且仅当三点共线时，取到最小值，即．
如图所示，
过点作直线垂直于直线，垂足为点，
由抛物线的定义可得
点到直线的距离为，
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立，即，
因此．
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知动点P到点的距离与它到直线的距离相等，求点P的轨迹方程.
【解题思路】由题意可知的轨迹是以为焦点的抛物线，由此得到出，即可以求出的轨迹方程．
【解答过程】解：由抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点的抛物线，其开口方向向右，且，
解得，
所以其方程为．
18．（6分）（2021·江苏·高二课时练习）根据下列条件求抛物线的标准方程.
（1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；
（2）过点P(2，-4)；
（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.
【解题思路】(1)根据条件求出双曲线左顶点即可得解；
(2)根据给定条件设出抛物线方程，将给定点坐标代入即得；
(3)根据给定条件设出抛物线方程并设出点A坐标，结合抛物线定义列出方程即可作答.
【解答过程】（1）双曲线方程为，其左顶点为(-3，0)，
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)，则抛物线焦点为，，解得p=6，
所以所求抛物线方程为为y2=-12x；
（2）由于P(2，-4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2=mx或x2=ny，
将P点坐标代入方程求得m=8，n=-1，
所以所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y；
（3）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为：y2=2px(p≠0)，A(m，-3)，则抛物线准线为，
由抛物线定义得，又(-3)2=2pm，显然p，m同号，
从而得 或，解得p=±1或p=±9，
所以所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
19．（8分）（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线的焦点为 A ，以为圆心，长为半径画圆，在 x 轴上方交抛物线于 M、N 不同的两点，点 P 是 MN 的中点．求：
(1)的取值范围；
(2)的值．
【解题思路】（1）由题可得圆的方程为，然后联立抛物线与圆的方程，利用判别式，即得；
（2）利用韦达定理及抛物线的定义即得．
【解答过程】（1）
由题意知抛物线的焦点坐标为，又，
则，圆的方程为，
将代入上式，得，
∴，
解得，
即的取值范围为；
（2）
∵为焦点，设，，
根据（1）中的，
得，
∴.
20．（8分）（2022·全国·高二课时练习）如图，是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12m，镜深2m．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线的焦点位置；
(2)若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求容器的每根铁筋的长度．
【解题思路】（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径，则可求得点的坐标，设抛物线方程为，然后将点的坐标代入，可求出，从而可求出焦点坐标，
（2）根据抛物线的定义求解.
【解答过程】（1）
如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是，
设抛物线方程为，则，解得p＝9，
则抛物线的标准方程是，焦点坐标是，
所以焦点在经过抛物面顶点且与镜口圆面垂直的直线上，距顶点4.5m的抛物面内部，
（2）
因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长，
所以每根铁筋长为米.
21．（8分）（2022·重庆·高三阶段练习）如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．
(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；
(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．
【解题思路】（1）由抛物线的定义，O为坐标原点可建立平面坐标系，即可求抛物线C的方程
（2）由抛物线的定义，公路总长，即可求公路总长最小值
【解答过程】（1）
如图，建立平面直角坐标系，由题意得，，则抛物线．
（2）
如图，设抛物线C的焦点为F，则，
∵城镇P位于点O的北偏东30°处，，∴，
根据抛物线的定义知，公路总长．
当与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为．
22．（8分）（2022·全国·高二课时练习）设是抛物线上的一个动点，点是焦点．
(1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值．
【解题思路】（1）利用抛物线定义将问题转化为求抛物线上一点到点的距离与其到点的距离之和的最小值，连接交抛物线于点，即可求得答案；
（2）作垂直准线于点，交抛物线于点，连接，利用抛物线定义将转化为,即可求得答案.
【解答过程】（1）
抛物线的焦点为，准线是．
由抛物线的定义，知点到直线的距离等于点到焦点的距离，
所以问题转化为求抛物线上一点到点的距离与其到点的距离之和的最小值，
如图，当A，，共线时上述距离之和最小，
连接交抛物线于点，此时所求的最小值为．
（2）由题意，可知，故点B在抛物线内部（焦点所在一侧），
如图，作垂直准线于点，交抛物线于点，连接，
此时,当点与点重合时，的值最小，
此时，
即的最小值为4．