高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线优秀巩固练习

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1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）“”是“为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.
【解答过程】因为方程表示双曲线，所以，
又当时，方程表示双曲线，
因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.
故选：C.
2．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知平面上的定点，及动点，甲：（为常数），乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据双曲线的定义直接判断即可.
【解答过程】根据双曲线的定义，只有当时，点的轨迹才是双曲线，
所以乙甲，但甲乙，所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
3．（3分）（2022·陕西·研究室三模（文））已知双曲线：的离心率为2，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据双曲线离心率表达式，代入数据解出值即可.
【解答过程】由已知可得，∴，渐近线方程为.
故选：D.
4．（3分）（2022·全国·高二课时练习）双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（ ）
A．B．C．32D．42
【解题思路】根据已知条件求出焦距及，根据双曲线定义及余弦定理求出乘积，代入三角形面积公式即可求解.
【解答过程】根据、为双曲线的两焦点可得，
又直线、倾斜角之差为，所以，
根据余弦定理可得，
整理得①，
根据点P在双曲线上可得，
则②，
①-②得，，
则面积为.
故选：A.
5．（3分）（2022·江西鹰潭·二模（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．9
【解题思路】根据双曲线的渐近线方程，结合双曲线的定义，结合两点间线段最短进行求解即可.
【解答过程】由，所以有，
设圆的圆心为，半径为，
设该双曲线另一个焦点为，所以，
求的最小值转化为求的最小值，
因此当点依次共线时，有最小值，
即，
故选：B.
6．（3分）（2022·安徽·高三阶段练习（理））已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，离心率，过的直线与的两条渐近线的交点分别为为直角三角形，，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由题知的渐近线方程为：，两渐近线的夹角为，根据对称性，不妨设与直线垂直，垂足为，进而得，即可得答案.
【解答过程】解：双曲线的离心率，
，的渐近线方程为：，
∴两渐近线的夹角为，
不妨设与直线垂直，垂足为，
则
∴，即的方程为：
故选：B.
7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离340mB．东偏南45°方向，距离340m
C．西偏北45°方向，距离170mD．东偏南45°方向，距离170m
【解题思路】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.
【解答过程】如图，
以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则
设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故，
由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线左支上，
依题意得
故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即
故 .
故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处．
故选：A.
8．（3分）（2022·安徽省高二期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解题思路】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理、椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.
【解答过程】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，设F1，F2是椭圆和双曲线的左右两个焦点，且，设P在第一象限，，
由椭圆的定义可知：，
由双曲线的定义可知：，
由此可解得：，
由余弦定理可知：
即，
化简得：，即，
所以，即
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高三专题练习）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
【解题思路】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可
【解答过程】若为椭圆，则 ，且 ，故A错误
若为双曲线，则 ， ，故B正确
若为圆，则 ， ，故C正确
若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误
故选：BC.
10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A．M的离心率为B．M的标准方程为
C．M的渐近线方程为D．直线经过M的一个焦点
【解题思路】根据题意，过一三象限的渐近线的斜率为或两种情况，根据可求得双曲线方程，再逐个辨析即可
【解答过程】根据题意双曲线 的焦距为 4 ，两条渐近线的夹角为 ， 有 ，①， 双曲线的两条渐近线的夹角为 ，
则过一三象限的渐近线的斜率为 或 ， 即 或 ，②
联立①②可得： ， ， 或 ， ， ；
因为 ，所以 ， ， ，故双曲线的方程为
对A，则离心率为 ，故 A 正确 .
对B，双曲线的方程为 ，故 B 错误；
对C，渐近线方程为 ，故 C 正确；
对D，直线 经过 M 的一个焦点 ，所以 D 正确 .
故选： ACD.
11．（4分）（2022·江苏省高二期末）双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为；
B．若，则的面积为；
C．的最小值为2；
D．双曲线与C的渐近线相同.
【解题思路】由题知，双曲线方程，，再利用双曲线离心率，双曲线渐近线方程，点到直线的距离可以分别判断选项.
【解答过程】选项A，因为，所以，则离心率为，故A正确；
选项B，若，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在上，即，点到渐近线的距离为，则，所以的面积为，故B正确；
选项C，的最小值就是点F到渐近线的距离，故C错误；
选项D，它们的渐近线都是，渐近线相同，故D正确.
故选：ABD.
12．（4分）（2021·山东·高三专题练习）已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（ ）
A．若，的斜率分别为，，则B．
C．的最小值为D．的最小值为
【解题思路】写出渐近线方程，设，直接计算，然后判断各选项．
【解答过程】由题意双曲线的渐近线为，即，
设，不妨设在第一象限，在渐近线上，
则，，，A正确；
在双曲线上，则，，
，，∴ ，B正确；
，当且仅当时等号成立，即的最小值为，C错误；
渐近线的斜率为，倾斜角为，两渐近线夹角为，∴，，当且仅当时等号成立，∴，即最小值为，D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率 ．
【解题思路】根据双曲线的对称性不妨取双曲线的一条渐近线方程，根据点到直线的距离求得b，进而求得离心率.
【解答过程】由题意，根据双曲线的对称性不妨取双曲线的一条渐近线方程为，
故，即，解得，
又，故，
故答案为：.
14．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线E：的离心率为，若有一直线过E的右顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则△OAB的面积是 2 .
【解题思路】由双曲线的离心率求出，得到A点坐标，渐近线方程，从而求出过点且与渐近线平行的直线，从而求出，△OAB的面积.
【解答过程】双曲线E：的离心率为，解得，
所以E的右顶点A，双曲线E的渐近线方程为，
设过点的直线与渐近线平行，则其方程为，则，
所以
故答案为：2.
15．（4分）（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ．
【解题思路】作出图形，分析可知，，利用基本不等式可求得的最小值.
【解答过程】如下图所示：
在双曲线中，，，，
圆的圆心为，半径长为，
所以，双曲线的左、右焦点分别为、，
由双曲线的定义可得，，
所以，，
当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立，
故的最小值是.
故答案为：.
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：（，）的渐近线方程为，若动点P在C的右支上，，分别为C的左，右焦点，的最小值是2a（其中O为坐标原点），则的最小值为 8 .
【解题思路】根据的最小值是2a可得，进而结合渐近线方程可得方程组，进而求出的值，然后设，借助双曲线的定义可得，利用均值不等式即可求出结果.
【解答过程】设，且，，则,，因此，当时，取得最小值，且最小值为，即，
所以，解得，，
设（），则，
所以，（当即时取等号），
即的最小值为8.
故答案为：8.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s.已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.
【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，根据双曲线的定义，即可求得双曲线方程.
【解答过程】设爆炸点为P，由已知，得（m）.
因为，，
所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上.
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如下所示：
由，，得，，.
因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是（）.
18．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知1，当k为何值时：
(1)方程表示双曲线；
(2)表示焦点在x轴上的双曲线；
(3)表示焦点在y轴上的双曲线．
【解题思路】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．
【解答过程】（1）
∵1，即，方程表示双曲线，
∴(k－1)(|k|－3)＜0，
可得k＜－3或1＜k＜3；
（2）
∵1，即，焦点在x轴上的双曲线，
则，
∴1＜k＜3；
（3）
∵1，即，焦点在y轴上的双曲线，
则，
∴k＜－3．
19．（8分）（2022·全国·高三专题练习）在①左顶点为，②双曲线过点，③离心率这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：已知双曲线与椭圆共焦点，且______．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点P在双曲线上，且，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解题思路】（1）通过双曲线与椭圆共焦点，可知双曲线的焦点在x轴上并能求出的值，从三个条件中任选一个，结合，代入已知条件即可求出该双曲线的方程.
（2）根据双曲线定义的几何意义即可求解.
【解答过程】（1）
因为双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的焦点在x轴上，且．
选①，设双曲线的方程为，由双曲线的左顶点为得，，所以，所以双曲线的方程为．
选②，设双曲线的方程为，由双曲线过点，得，又，解得，所以，所以双曲线方程为．
选③，设双曲线的方程，由离心率得，，所以，所以双曲线方程为．
（2）
因为，，所以或.
20．（8分）（2022·江西·高二期末（文））若是双曲线的两个焦点.
(1)若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到另一个焦点距离；
(2)如图若是双曲线左支上一点，且，求的面积.
【解题思路】（1）利用双曲线的定义，根据点到一个焦点的距离求点到另一个焦点的距离即可；
（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.
【解答过程】(1)
是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于10，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或（舍去）
即点到另一个焦点的距离为；
(2)
P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，选择适当的平面直角坐标系.
(1)求此双曲线的方程；
(2)定义：以（1）中求出的双曲线的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线叫做的共轭双曲线，求双曲线的方程；
(3)对于（2）中的双曲线､的离心率分别为､，写出与满足的一个关系式，并证明.
【解题思路】（1）以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意知，所以，
，，可得答案；
（2）以（1）中方程中的互换位置可得答案；
（3）与满足的一个关系式为，分别求出、可得答案.
【解答过程】（1）以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意知，所以，，，所以，，所以，解得，所以双曲线的方程为.
（2）以（1）中求出的双曲线的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线为.
（3）与满足的一个关系式为，证明如下，双曲线的半焦距，所以双曲线的离心率为，双曲线的半焦距，所以双曲线的离心率为，所以，所以与满足的一个关系式为.
22．（8分）（2021·河北省高二期中）已知：双曲线（，）的离心率为且点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值；
（3）若M是双曲线左支上任意一点，为左焦点，写出的最小值.
【解题思路】（1）根据离心率及双曲线上的点联立方程求a,b即可求标准方程；
（2）设 ，写出向量，利用二次函数求最值；
（3）设为双曲线左支上任意一点，求，利用二次函数求最值.
【解答过程】（1）由题意有，解得，，
故双曲线的标准方程为；
（2）由已知得，，设 ，则，，
所以，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为-4.
（3）设为双曲线左支上任意一点，
因为左焦点 ，
所以，
由，对称轴为知，
当时，，
所以.