（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案5.3《平面向量的数量积及其应用》 (2份打包，原卷版+教师版)

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知识点一 平面向量的数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
[提醒] (1)数量积a·b也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cs θ的乘积，这两个投影是不同的．
(2)a在b方向上的投影也可以写成eq \f(a·b,|b|)，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ角的范围．
3．向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，e是单位向量，α是a与e的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：
(1)e·a＝a·e＝|a||e|cs α＝|a|cs α.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)a，b同向⇔a·b＝|a||b|；a，b反向⇔a·b＝﹣|a||b|.特别地a·a＝|a|2＝a2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)若θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5) |a·b|≤|a|·|b|.
4．谨记常用结论
(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2； a2﹣b2＝(a＋b)(a﹣b)．
以上结论可作为公式使用．
5．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[提醒] 对于实数a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但对于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
[重温经典]
1．设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2eq \r(3)，a与b的夹角的余弦值为sineq \f(17π,3)，则b·(2a﹣b)等于( )
A．2 B．﹣1 C．﹣6 D．﹣18
3．已知a·b＝﹣12eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为( )
A．12 B．6 C．3eq \r(3) D．3
4．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
5．已知两个单位向量e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，若向量b1＝e1﹣2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
6.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝________.
知识点二 平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
[重温经典]
1．(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则( )
A．|a|＝|b| B．(a﹣b)∥b C．(a﹣b)⊥b D．a与b的夹角为eq \f(π,4)
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(﹣1，k)，a·(2a﹣b)＝0，则k＝________.
3．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(﹣2，﹣6)，|b|＝eq \r(10)，则a·b＝________.
4．向量a＝(3,4)在b＝(1，﹣1)方向上的投影为________．
5．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于________．
6．已知向量a＝(2,7)，b＝(x，﹣3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为_____________．
7．向量a＝(1,2)，b＝(﹣1,1)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值为________．
第2课时 精研题型明考向——平面向量的数量积及应用
一、真题集中研究——明考情
1．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝﹣6，则cs〈a，a＋b〉＝( )
A．﹣eq \f(31,35) B．﹣eq \f(19,35) C.eq \f(17,35) D．eq \f(19,35)
2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b C．a﹣2b D．2a﹣b
3．已知eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up7(―→))|＝1，则eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝( )
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
4．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a﹣b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
[把脉考情]
[针对训练]
1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a﹣b)·b＝( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．设a，e均为单位向量，当a，e的夹角为eq \f(2,3)π时，a在e方向上的投影为________．
3．已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，若点D满足eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(―→))，则eq \(DB,\s\up7(―→))·eq \(DC,\s\up7(―→))＝________.
题型二 平面向量的夹角与垂直、模的计算
[典例] (1)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝eq \r(7)a＋eq \r(2)b，则sin〈a，c〉＝( )
A.eq \f(\r(7),3) B．eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(7),9) D．eq \f(\r(2),9)
(2)已知平面向量m，n的夹角为eq \f(π,6)，且|m|＝eq \r(3)，|n|＝2，在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝2m＋2n，eq \(AC,\s\up7(―→))＝2m﹣6n，D为BC的中点，则|eq \(AD,\s\up7(―→))|＝________.
[方法技巧]
(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．
(3)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
[针对训练]
1．若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(2π,3) B．eq \f(π,3) C.eq \f(4π,3) D．﹣eq \f(2π,3)
2．已知向量a＝(x，y)，b＝(﹣1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a﹣2b|等于( )
A．1 B．3 C．4 D．5
3．已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若eq \r(3)e1﹣e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
[方法技巧]
1．数量积的最值或范围问题的2种求解方法
2．求向量模的最值(范围)的3种方法
[针对训练]
已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，且m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且eq \(CA,\s\up7(―→))·(eq \(AB,\s\up7(―→))﹣eq \(AC,\s\up7(―→)))＝18，求边c的长．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．已知向量a＝(﹣1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a﹣b)⊥c，则c·(a＋b)＝( )
A．(2,12) B．(﹣2,12) C．14 D．10
2．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a﹣b|＝1，则|a|＝( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \r(2) D．2
3．已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a﹣b|＝1，a与a﹣b的夹角为eq \f(π,3)，则a·b＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(BD,\s\up7(―→))＝( )
A．2 B．3 C．6 D．12
5．(多选)已知向量a＝(6,2)，b＝(﹣2，k)，k为实数，则下列结论正确的是( )
A．若a·b＝6，则k＝9 B．若|a＋b|≤5，则﹣5≤k≤1
C．不存在实数k，使(a﹣b)⊥b成立 D．若a与b的夹角为钝角，则k<6
6．已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b﹣a的夹角为120°，则|a|的取值范围为________．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs B＝eq \f(5,13).
(1)若sin A＝eq \f(4,5)，求cs C；
(2)若b＝4，求eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))的最小值．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的
充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|
的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))
常规角度
1.平面向量数量积及其性质的应用：主要考查平面向量数量积的计算，以及利用数量积求向量的模、夹角等．
2.平面向量的综合应用：主要考查平面向量模或数量积的最值范围问题
创新角度
平面向量的数量积与解析几何、平面几何以及三角函数交汇，主要利用数量积证明垂直或利用数量积转化垂直的条件、求长度等
临界分析法
结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围
目标函数法
将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围
代数法
把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解
几何法
弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解
不等式法
利用绝对值三角不等式||a|﹣|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求模的最值(范围)