（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案5.2《平面向量基本定理及坐标表示》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．
2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的线性运算，凸显数学抽象的核心素养．
3．与向量的坐标表示相结合，考查向量共线，凸显数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a﹣b＝(x1﹣x2，y1﹣y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x2﹣x1，y2﹣y1)，|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2﹣x2y1＝0.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(基底的判断)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，﹣2) B．e1＝(﹣1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，﹣3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
答案：B
2．(数乘运算)已知向量a＝(﹣1,3)，b＝(2,1)，则3a﹣2b＝( )
A．(﹣7,7) B．(﹣3，﹣2) C．(6,2) D．(4，﹣3)
答案：A
3．(向量共线的应用)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，﹣2)，且a∥b，则m＝________.
答案：﹣6
二、易错点练清
1.(混淆基底的选择)如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若eq \(AE,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→))，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(1,2) B．﹣eq \f(1,2) C．1 D．﹣1
解析：选A 因为E为DC的中点，所以eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(DE,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AE,\s\up7(―→))，即eq \(AE,\s\up7(―→))＝﹣eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))，所以λ＝﹣eq \f(1,2)，μ＝1，所以λ＋μ＝eq \f(1,2).
2．(混淆单位向量的方向)已知A(﹣5,8)，B(7,3)，则与向量eq \(AB,\s\up7(―→))反向的单位向量为________．
解析：由已知得eq \(AB,\s\up7(―→))＝(12，﹣5)，所以|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝13，因此与eq \(AB,\s\up7(―→))反向的单位向量为﹣eq \f(1,13)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)，\f(5,13))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)，\f(5,13)))
3．(忽视基向量不共线)给出下列三个向量：a＝(﹣2,3)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，c＝(﹣1,1)，在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．
解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
答案：2
考点一 平面向量基本定理及其应用
[典例] (1)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝3eq \(EC,\s\up7(―→))，F为AE的中点，则eq \(BF,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))﹣eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up7(―→)) B．eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))﹣eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(―→))
C．﹣eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up7(―→)) D．﹣eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(―→))
(2)如图，在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得eq \(BM,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→))，则λ＋μ＝( )
A.eq \f(1,2) B．﹣eq \f(1,2) C．2 D．﹣2
[解析] (1)如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(GD,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))﹣eq \(AG,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))﹣eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))，所以eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \(AD,\s\up7(―→))－\f(1,2) eq \(AB,\s\up7(―→))))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(―→))，于是eq \(BF,\s\up7(―→))＝eq \(AF,\s\up7(―→))﹣eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up7(―→))﹣eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3) eq \(AB,\s\up7(―→))＋\f(2,3) eq \(AD,\s\up7(―→))))﹣eq \(AB,\s\up7(―→))＝﹣eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up7(―→))，故选C.
(2)法一：直接法
因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得eq \(BD,\s\up7(―→))＝teq \(BC,\s\up7(―→))＝t(eq \(AC,\s\up7(―→))﹣eq \(AB,\s\up7(―→)))(0≤t≤1)．
因为M是线段AD的中点，
所以eq \(BM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)(﹣eq \(AB,\s\up7(―→))＋teq \(AC,\s\up7(―→))﹣teq \(AB,\s\up7(―→)))＝﹣eq \f(1,2)(t＋1)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)teq \(AC,\s\up7(―→)).
又eq \(BM,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→))，所以λ＝﹣eq \f(1,2)(t＋1)，μ＝eq \f(1,2)t，所以λ＋μ＝﹣eq \f(1,2).故选B.
法二：特殊点法
由题意知，D为边BC上任意一点，不妨令点D与点B重合，则点M就是线段AB的中点．
显然此时eq \(BM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(―→))＝﹣eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋0eq \(AC,\s\up7(―→)).
又eq \(BM,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→))，且eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(AC,\s\up7(―→))不共线，所以λ＝﹣eq \f(1,2)，μ＝0，故λ＋μ＝﹣eq \f(1,2).故选B.
[答案] (1)C (2)B
[方法技巧]
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
[针对训练]
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(AN,\s\up7(―→))，则λ＋μ等于( )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D．eq \f(4,5)
解析：选D 因为eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(AN,\s\up7(―→))＋eq \(NB,\s\up7(―→))＝eq \(AN,\s\up7(―→))＋eq \(CN,\s\up7(―→))＝eq \(AN,\s\up7(―→))＋(eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(AN,\s\up7(―→)))＝2eq \(AN,\s\up7(―→))＋eq \(CM,\s\up7(―→))＋eq \(MA,\s\up7(―→))＝2eq \(AN,\s\up7(―→))﹣eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))﹣eq \(AM,\s\up7(―→))，所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(8,5)eq \(AN,\s\up7(―→))﹣eq \f(4,5)eq \(AM,\s\up7(―→))，所以λ＝﹣eq \f(4,5)，μ＝eq \f(8,5)，所以λ＋μ＝eq \f(4,5).
考点二 平面向量的坐标运算
[典例] (1)已知在平行四边形ABCD 中，eq \(AD,\s\up7(―→))＝(3,7)，eq \(AB,\s\up7(―→))＝(﹣2,3)，对角线AC与BD交于点O，则eq \(CO,\s\up7(―→))的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5))
(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] (1)因为在平行四边形ABCD 中，eq \(AD,\s\up7(―→))＝(3,7)，eq \(AB,\s\up7(―→))＝(﹣2,3)，对角线AC与BD交于点O，
所以eq \(CO,\s\up7(―→))＝﹣eq \(AO,\s\up7(―→))＝﹣eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)).故选C.
(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，﹣1)，B(6,2)，C(5，﹣1)，
∴a＝eq \(AO,\s\up7(―→))＝(﹣1,1)，b＝eq \(OB,\s\up7(―→))＝(6,2)，c＝eq \(BC,\s\up7(―→))＝(﹣1，﹣3)．
∵c＝λa＋μb，∴(﹣1，﹣3)＝λ(﹣1,1)＋μ(6,2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得λ＝﹣2，μ＝﹣eq \f(1,2)，∴eq \f(λ,μ)＝eq \f(－2,－\f(1,2))＝4.
[答案] (1)C (2)D
[方法技巧]
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
[针对训练]
1．(多选)已知点A(4,6)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))，与向量eq \(AB,\s\up7(―→))平行的向量的坐标可以是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(14,3)，3)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，\f(9,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(14,3)，－3)) D．(7,9)
解析：选ABC 由点A(4,6)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))，则eq \(AB,\s\up7(―→))＝(-7,﹣eq \f(9,2))，﹣7×3﹣(﹣eq \f(9,2))×eq \f(14,3)＝0，所以A选项正确；﹣7×eq \f(9,2)﹣(﹣eq \f(9,2))×7＝0，所以B选项正确；﹣7×(﹣3)﹣(﹣eq \f(9,2))×(-eq \f(14,3))＝0，所以C选项正确；﹣7×9﹣(﹣eq \f(9,2))×7≠0，所以D选项不正确．
2．如图所示的平面直角坐标系中，网格中小正方形的边长为1，若向量a，b，c满足c＝xa＋yb，且(ka﹣b)·c＝0，则eq \f(x＋y,k)＝________.
解析：结合图形得a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(4,4)，由c＝xa＋yb得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y＝4，,2x＋y＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(4,5)，))所以x＋y＝eq \f(12,5).由(ka﹣b)·c＝0得ka·c﹣b·c＝0，
即12k﹣16＝0，所以k＝eq \f(4,3)，所以eq \f(x＋y,k)＝eq \f(9,5).
答案：eq \f(9,5)
考点三 平面向量共线的坐标表示
[典例] (1)已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，﹣1)，且a﹣b与b共线，则x的值为________．
[解析] (1)法一：由O，P，B三点共线，可设eq \(OP,\s\up7(―→))＝λeq \(OB,\s\up7(―→))＝(4λ，4λ)，
则eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \(OP,\s\up7(―→))﹣eq \(OA,\s\up7(―→))＝(4λ﹣4,4λ)．
又eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))﹣eq \(OA,\s\up7(―→))＝(﹣2,6)，由eq \(AP,\s\up7(―→))与eq \(AC,\s\up7(―→))共线，得(4λ﹣4)×6﹣4λ×(﹣2)＝0，
解得λ＝eq \f(3,4)，所以eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(OB,\s\up7(―→))＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
法二：设点P(x，y)，则eq \(OP,\s\up7(―→))＝(x，y)，因为eq \(OB,\s\up7(―→))＝(4,4)，且eq \(OP,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))共线，所以eq \f(x,4)＝eq \f(y,4)，即x＝y.
又eq \(AP,\s\up7(―→))＝(x﹣4，y)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(﹣2,6)，且eq \(AP,\s\up7(―→))与eq \(AC,\s\up7(―→))共线，
所以(x﹣4)×6﹣y×(﹣2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．
(2)∵向量a＝(2,1)，b＝(x，﹣1)，∴a﹣b＝(2﹣x,2)．
又∵a﹣b与b共线，∴2x＝﹣2＋x，解得x＝﹣2.
[答案] (1)(3,3) (2)﹣2
[方法技巧]
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2﹣x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
[针对训练]
1．设向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(1，﹣2)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(2m，﹣1)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(﹣2n，0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为( )
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
解析：选A 由题意易知，eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(AC,\s\up7(―→))，其中eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))﹣eq \(OA,\s\up7(―→))＝(2m﹣1,1)，
eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))﹣eq \(OA,\s\up7(―→))＝(﹣2n﹣1,2)，所以(2m﹣1)×2＝1×(﹣2n﹣1)，解得2m＋1＋2n＝1.
又2m＋1＋2n≥2eq \r(2m＋n＋1)，当且仅当2m＋1＝2n，即m＋1＝n时取等号，所以2m＋n＋1≤2﹣2，即m＋n≤﹣3.
2．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(﹣1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b﹣a)，求实数k；
(2)若d满足(d﹣c)∥(a＋b)，且|d﹣c|＝eq \r(5)，求d的坐标．
解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b﹣a＝(﹣5,2)，
由题意得2×(3＋4k)﹣(﹣5)×(2＋k)＝0，解得k＝﹣eq \f(16,13).
(2)设d＝(x，y)，则d﹣c＝(x﹣4，y﹣1)，
又a＋b＝(2,4)，|d﹣c|＝eq \r(5)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3.))
∴d的坐标为(3，﹣1)或(5,3)．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．已知点M(5，﹣6)和向量a＝(1，﹣2)，若eq \(MN,\s\up7(―→))＝﹣3a，则点N的坐标为( )
A．(2,0) B．(﹣3,6) C．(6,2) D．(﹣2,0)
解析：选A 设N(x，y)，则(x﹣5，y＋6)＝(﹣3,6)，∴x＝2，y＝0.
2．已知点A(1,3)，B(4，﹣1)，则与eq \(AB,\s\up7(―→))同方向的单位向量是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))
解析：选A eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))﹣eq \(OA,\s\up7(―→))＝(4，﹣1)﹣(1,3)＝(3，﹣4)，
∴与eq \(AB,\s\up7(―→))同方向的单位向量为eq \f(eq \(AB,\s\up7(―→)),|eq \(AB,\s\up7(―→))|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))).
3．已知向量a＝(﹣1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝﹣6”是“a∥(a＋b)”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得﹣1×(2＋m)＝2×2，所以m＝﹣6，则“m＝﹣6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．
4．已知向量a＝(1﹣sin θ，1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1＋sin θ))，若a∥b，则锐角θ＝( )
A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D．eq \f(5π,12)
解析：选B 因为a∥b，所以(1﹣sin θ)×(1＋sin θ)﹣1×eq \f(1,2)＝0，得sin2θ＝eq \f(1,2)，所以sin θ＝±eq \f(\r(2),2)，故锐角θ＝eq \f(π,4).
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设eq \(AC,\s\up7(―→))＝a，eq \(BD,\s\up7(―→))＝b，则eq \(AF,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
解析：选B 如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF，∴eq \(DF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(eq \(OC,\s\up7(―→))﹣eq \(OD,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,6)(eq \(AC,\s\up7(―→))﹣eq \(BD,\s\up7(―→)))，eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(OD,\s\up7(―→))﹣eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(―→)).则eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DF,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2) eq \(BD,\s\up7(―→))＋\f(1,2) eq \(AC,\s\up7(―→))))＋eq \f(1,6)(eq \(AC,\s\up7(―→))﹣eq \(BD,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.故选B.
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1﹣e2，且mn≠0，若a∥b，则eq \f(m,n)＝( )
A．﹣ eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．﹣2 D．2
解析：选C 因为a∥b，所以a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1﹣e2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λn＝m，,－λ＝2，))得eq \f(m,n)＝﹣2.
2．已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(﹣k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．﹣eq \f(2,3) B．eq \f(4,3) C.eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
解析：选A eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))﹣eq \(OA,\s\up7(―→))＝(4﹣k，﹣7)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))﹣eq \(OA,\s\up7(―→))＝(﹣2k，﹣2)．
∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))共线，∴﹣2×(4﹣k)＝﹣7×(﹣2k)，解得k＝﹣eq \f(2,3).
3.如图，已知eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝4eq \(BD,\s\up7(―→))，eq \(CA,\s\up7(―→))＝3eq \(CE,\s\up7(―→))，则eq \(DE,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(3,4)b﹣eq \f(1,3)a B.eq \f(5,12)a﹣eq \f(3,4)b C.eq \f(3,4)a﹣eq \f(1,3)b D.eq \f(5,12)b﹣eq \f(3,4)a
解析：选D eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))＋eq \(CE,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)(eq \(AC,\s\up7(―→))﹣eq \(AB,\s\up7(―→)))﹣eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(5,12)eq \(AC,\s\up7(―→))﹣eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(5,12)b﹣eq \f(3,4)a.故选D.
4．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设eq \(AD,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→)) (λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝( )
A.eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3) C．3 D．2eq \r(3)
解析：选A 如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(1,0)，C(0,2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，eq \r(3)m)(m≠0)．
eq \(AD,\s\up7(―→))＝(m，eq \r(3)m)＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→))＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝eq \f(\r(3),2)m，所以eq \f(λ,μ)＝eq \f(2\r(3),3).
5．已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(3,1)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(﹣1,3)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝meq \(OA,\s\up7(―→))﹣neq \(OB,\s\up7(―→)) (m>0，n>0)，若m＋n＝1，则|eq \(OC,\s\up7(―→))|的最小值为( )
A.eq \f(\r(5),2) B．eq \f(\r(10),2) C.eq \r(5) D．eq \r(10)
解析：选C 设eq \(OC,\s\up7(―→))＝(x，y)．∵eq \(OA,\s\up7(―→))＝(3,1)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(﹣1,3)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝meq \(OA,\s\up7(―→))﹣neq \(OB,\s\up7(―→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3m＋n，,y＝m－3n，))∴|eq \(OC,\s\up7(―→))|＝eq \r(3m＋n2＋m－3n2)＝eq \r(10m2＋n2)≥ eq \r(10×\f(m＋n2,2))＝ eq \r(10×\f(1,2))＝eq \r(5)，
当且仅当m＝n时取等号，此时|eq \(OC,\s\up7(―→))|取得最小值eq \r(5)，故选C.
6．在△OAB中，若点C满足eq \(AC,\s\up7(―→))＝2eq \(CB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))＋μeq \(OB,\s\up7(―→))，则eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(2,3) C.eq \f(2,9) D．eq \f(9,2)
解析：选D 在△OAB中，∵eq \(AC,\s\up7(―→))＝2eq \(CB,\s\up7(―→))，
∴eq \(OC,\s\up7(―→))﹣eq \(OA,\s\up7(―→))＝2(eq \(OB,\s\up7(―→))﹣eq \(OC,\s\up7(―→)))，即3eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋2eq \(OB,\s\up7(―→))，∴eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up7(―→)).
又知eq \(OC,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))＋μeq \(OB,\s\up7(―→))，∴λ＝eq \f(1,3)，μ＝eq \f(2,3)，∴eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝3＋eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).故选D.
7.如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(BD,\s\up7(―→))，则λ＋μ＝( )
A.eq \f(4,3) B．eq \f(5,3) C.eq \f(15,8) D．2
解析：选B 以点A为坐标原点，分别以eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→))的方向为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．
设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，
所以eq \(AC,\s\up7(―→))＝(2,2)，eq \(AM,\s\up7(―→))＝(2,1)，eq \(BD,\s\up7(―→))＝(﹣2,2)，所以λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(BD,\s\up7(―→))＝(2λ﹣2μ，λ＋2μ)，
因为eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(BD,\s\up7(―→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ－2μ＝2，,λ＋2μ＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq \f(5,3).故选B.
8．在△ABC中，点D是AC上一点，且eq \(AC,\s\up7(―→))＝4eq \(AD,\s\up7(―→))，P为BD上一点，向量eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→)) (λ>0，μ>0)，则eq \f(4,λ)＋eq \f(1,μ)的最小值为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
解析：选A 由eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(AC,\s\up7(―→))及eq \(AC,\s\up7(―→))＝4eq \(AD,\s\up7(―→))得eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋4μeq \(AD,\s\up7(―→))，
又知点P在BD上，∴λ＋4μ＝1.∴eq \f(4,λ)＋eq \f(1,μ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,λ)＋\f(1,μ)))·(λ＋4μ)＝4＋4＋eq \f(16μ,λ)＋eq \f(λ,μ)＝8＋eq \f(16μ,λ)＋eq \f(λ,μ)，
又知λ>0，μ>0，∴eq \f(16μ,λ)＋eq \f(λ,μ)≥2eq \r(16)＝8，当且仅当eq \f(16μ,λ)＝eq \f(λ,μ)，即λ＝4μ时，等号成立，
故eq \f(4,λ)＋eq \f(1,μ)的最小值为16，故选A.
9．已知向量a＝(1，x＋1)，b＝(x,2)，若满足a∥b，且方向相同，则x＝________.
解析：∵a∥b，a＝(1，x＋1)，b＝(x,2)，∴x(x＋1)﹣2＝0，解得x＝1或x＝﹣2.当x＝1时，a＝(1,2)，b＝(1,2)满足题意；当x＝﹣2时，a＝(1，﹣1)，b＝(﹣2,2)，方向相反，不符合题意，舍去．∴x＝1.
答案：1
10.如图，在△ABC中，已知eq \f(4,3)eq \(BN,\s\up7(―→))﹣eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))，点P在线段BN上，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,16)eq \(AC,\s\up7(―→))，则实数λ的值为________．
解析：eq \f(4,3)BN―→﹣eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))可化为eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(NC,\s\up7(―→))，即eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))，
因为eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,16)eq \(AC,\s\up7(―→))，所以eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AN,\s\up7(―→)).由B，P，N三点共线可得λ＝eq \f(1,4).答案：eq \f(1,4)
11．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，eq \(CD,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(BC,\s\up7(―→))，求x＋y的值．
解：以O为原点，OB所在直线为x轴，过O点且垂直AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．不妨设圆O的半径为1，则A(﹣1,0)，B(1,0)，D(0,1)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，
所以eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1＋\f(\r(3),2)))，eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))).
又eq \(CD,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(BC,\s\up7(―→))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1＋\f(\r(3),2)))＝x(﹣1,0)＋yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))).
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＝－x－\f(1,2)y，,1＋\f(\r(3),2)＝－\f(\r(3),2)y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3＋\r(3),3)，,y＝－\f(3＋2\r(3),3)，))所以x＋y＝eq \f(3＋\r(3),3)﹣eq \f(3＋2\r(3),3)＝﹣eq \f(\r(3),3).