2024泸县一中高一上学期12月月考数学试题含解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用集合交集运算直接求解即可.
【详解】集合，故.
故选：B.
2. 全称量词命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】含有量词命题的否定，全称命题的否定是特称,第一步修改量词，第二步否定结论.
【详解】含有量词命题的否定，全称命题的否定是特称，第一步修改量词任意改存在，第二步否定结论大于等于改成小于等于即.
故选：C.
3. “”是“”成立的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，由对数函数的单调性，解对数不等式，结合对数函数定义域，判断充分性和必要性.
【详解】因为对数函数是增函数，定义域为
因为，所以，即，所以充分性成立；
因为，所以，即，所以必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，
故选：A
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题.
4. 若函数在处取最小值，则等于（ ）
A 3B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.
【详解】当时，，则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A.
【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
5. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当时的大小，利用特值法即可求得结果.
【详解】因为，函数是单调增函数，
所以比较a，b，c的大小，只需比较当时的大小即可.
用特殊值法，取，容易知，
再对其均平方得，
显然，
所以，所以
故选：B.
【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较指数式的大小关系，属基础题.本题解题的关键在于将问题转化为比较当时的大小，再通过特殊值法即可得答案.
6. 20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M.其计算公式为M=lgA-lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅.5级地震给人的震感已经比较明显，7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的（ ）
A. 20倍B. 1g20倍C. 100倍D. 1000倍
【答案】C
【解析】
【分析】
根据里氏震级M的计算公式，设7级地震最大幅度为，5级地震最大幅度为，代入公式，作差化简，即可求得答案.
【详解】设7级地震最大幅度为，则，
5级地震最大幅度为，则，
所以
所以，即，所以7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍
故选：C
【点睛】解题的关键是理解并灵活应用所给定义，根据对数的计算法则，求解即可，考查分析理解的能力，属基础题.
7. 已知为上的奇函数，为偶函数，若当，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据为上的奇函数可求出，又为偶函数，可推出为周期函数，利用周期性即可求解.
【详解】解：为上的奇函数，且当时，
，即，
，
当时，，
为偶函数，
，
，
又为上的奇函数，
，
，
，
是周期为4的周期函数，
，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是根据为上的奇函数和为偶函数，推出函数为周期函数，利用周期性求解.
8. 已知 ，若互不相等，且，则的取值范围为( )
A. (1，15)B. (10，15)C. (15，20)D. (10，12)
【答案】B
【解析】
【分析】画出函数的图象，根据(a)(b)(c)，不妨，求出的范围即可．
【详解】解：作出函数的图象如图，
不妨设，则
，
则．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力，是中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合作差法，即可判断.
【详解】若，则，故A正确；
，
因为，所以，，，
所以，即，故B正确；
因为，根据不等式的性质可知，，故C正确；
，
因，所以，，所以 ，即，故D错误.
故选：ABC
10. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 点在第二象限
C. 的最小值为2
D. 关于的不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，由原不等式的解集可得，，即可判断ABD，然后再由基本不等式即可判断C.
【详解】原不等式等价于，因为其解集为，所以且
，，故A正确；
因为，则点在第一象限，故B错误；
由可得，，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确；
由可得，不等式即为，化简可得
，则其解集为，故D正确；
故选：ACD
11. 已知，都是定义在上的增函数，则（ ）
A. 函数一定是增函数B. 函数有可能是减函数
C. 函数一定是增函数D. 函数有可能是减函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据单调性的定义即可判断各选项.
【详解】对于A，设，设，则
又由都是定义在上的增函数，则且，
所以，故函数一定是增函数，A正确；
对于B，设，此时为减函数，B正确；
对于C，设，此时，在上为减函数，C错误；
对于D，当时，函数为减函数，D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与y＝2相交．函数．下列关于函数的判断正确的有（ ）
A. 函数是偶函数
B. 函数在单调递减
C. 函数的最大值为2
D. 方程恰有两根
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先根据函数性质确定函数的解析式，再画出函数的解析式，结合选项，即可判断.
【详解】由条件可知，，当趋向正无穷时，趋向b，所以，
则，即，
令，即，得，
如图，画出函数的图象，

函数是偶函数，在区间单调递减，当时，函数取得最大值2，
，无实数根，故ABC正确，D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若函数的零点在区间，内，则________________．
【答案】
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理计算可得；
【详解】解：因为，所以在上单调递增，又，，，所以函数在上有唯一零点，所以；
故答案为：
14. 已知在上有解，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】令，依题意，，使成立，转化为求，从而利用一元二次函数的性质即可求得结果.
【详解】令，依题意，，使成立，
即，又，
则在上单调递增，所以，
所以.
故答案为.
【点睛】本题考查存在性问题和一元二次函数的性质，也考查了学生转化与化归的能力，存在性问题通常转化为求函数最值问题，属中档题.
15. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案.
【详解】幂函数在上单调递减，故，解得.
，故，，.
当时 ，不关于轴对称，舍去；
当时 ，关于轴对称，满足；
当时 ，不关于轴对称，舍去；
故，，函数在和上单调递减，
故或或，解得或.
故答案为：
16. 已知（且），则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算法则，将，转化为，再构造转化为求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
即，
所以，
解得 .
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查对数运算法则的简单应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）2；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质和换底公式求解即可；
（2）利用分数指数幂的运算性质求解
【详解】（1）原式
（2）原式
18. 设集合， ．
（1）若 ，求集合在中的补集；
（2）若 ，求实数的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据补集定义，可求得补集．
（2）根据集合的关系，可知集合A为集合B的子集，因而可得m的取值范围．
【详解】（1）
集合在中补集为
（2）

又，
实数的取值范围是
【点睛】本题考查了补集的定义，集合与集合的基本关系，属于基础题．
19. 已知函数在区间上的最小值为1.
（1）求的值；
（2）若存在使得不等式在成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】（1）二次函数写出对称轴，分，，三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值为1，写出（2）分离参数可得，令，换元后求最小值，只需k大于最小值即可.
【详解】（1）.
当时，，解得；
当时，，解得不符合题意；
当时，，解得，不符合题意.
综上所述，.
（2）因为，
可化为，
令，则.
因，故.故不等式在上有解.
记，，故，
所以的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中档题.
20. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元.
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？
（2）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
（3）当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）
【答案】（1）
（2）
（3）元
【解析】
【分析】（1）根据实际出厂单价恰好为元列出求解；
（2）根据题意求分段函数解析式；
（3）根据利润公式及分段函数入代求解即可.
【小问1详解】
解：设每个零件的实际出厂价恰好降为元时，一次订购量为个，
则.
【小问2详解】
当时，；
当时，；
当时，.
【小问3详解】
设工厂获得的利润为元，则，
即销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是元.
21. 已知函数对一切实数都满足且.
（1）求的值；（2）求的解析式；
（3）当时恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）结合已知的条件，令即可求出的值；
（2）根据已知等式令即可求出的解析式；
（3）常变量分离，求出二次函数在闭区间上的最大值，即可求出的取值范围.
【详解】（1）令 则；
（2）令， 即；
（3）因为，即
所以在上恒成立，
设，
即又在上递减，当，，所以，故.
22. 设，函数．
（1）若，判断并证明函数的单调性；
（2）若，函数在区间（）上的取值范围是（），求的范围．
【答案】（1）在上递增，证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义计算的符号，从而判断出的单调性.
（2）对进行分类讨论，结合一元二次方程根的分布来求得的范围.
【小问1详解】
，
当时，的定义域为，
上递增，证明如下：
任取，
由于，所以，所以在上递增.
【小问2详解】
由于，所以，，
由知，所以.
由于，所以或.
当时，由（1）可知在上递增.
所以，从而①有两个不同的实数根，
令，①可化为，
其中，
所以，，
，解得.
当时，函数的定义域为，
函数在上递减.
若，则，于，这与矛盾，故舍去.
所以，则，
于是，
两式相减并化简得，由于，
所以，所以.
综上所述，的取值范围是.