2024泸县四中高一上学期1月期末数学试题含解析

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本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题：，，则它的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】结合已知条件，利用命题否定的定义即可求解.
【详解】由全称命题的否定的概念可知，
命题的否定为：，.
故选：D.
2. 设集合，若，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的交并补混合运算即可得解.
【详解】因为，
而，，
所以，
所以.
故选： D.
3. 已知幂函数的图象过，则下列求解正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂函数过的点求出幂函数的解析式即可逐项判断正误
【详解】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，），
∴2α，解得α，
故f（x），即，
故选A
【点睛】本题考查了幂函数的定义，是一道基础题．
4. 不等式的解集是（ ）
A. 或B.
C 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接解分式不等式即可.
【详解】由或，
所以不等式的解集为：或，
故选：A.
5. 已知函数的最小正周期是，当时，函数取得最小值，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的最小正周期可求得的值，由当时，函数取得最小值，可求出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值.
【详解】因为函数的最小正周期是，则，则，
当时，函数取得最小值，则，
所以，，所以，，其中，
因此，.
故选：B.
6. 若且，则的最小值是
A. 6B. 12C. 24D. 16
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：，当且仅当时等号成立，所以最小值为16
考点：均值不等式求最值
7. 中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为，设茶水温度从开始，经过x分钟后的温度为．y与x的函数关系式近似表示为，那么在室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：）（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意代入数据，列出等量关系式，利用对数的运算性质化简即可求得.
【详解】由题意降至时口感最佳，即，带入函数关系式即得，
即，两边同时取对数，得，
所以.
故选：B
8. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A. 50B. 2C. 0D. -50
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件可判断函数是以4为周期的周期函数，从而求得．
【详解】解：是定义域为的奇函数，
的图象关于原点对称，
，
的图象关于对称，
是以4为周期的周期函数，
又， ， ， ，
，
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知集合，，若，则实数的值可以是（ ）
A. 1B. C. D. 3
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，分别讨论与，然后代入检验，即可得到结果.
【详解】因为，，且，
当时，即，此时,，满足；
当时，解得或，当时，，，满足；当时，，，满足；
综上所述，实数的值可以是.
故选：ABD
10. 关于的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】先求二次不等式恒成立的充要条件，得解集，则充分不必要条件是集合的非空真子集，验证选项即可.
【详解】当不等式对任意恒成立时，
有，解得，记.
当的取值范围是集合的非空真子集时，即为不等式对任意恒成立的充分不必要条件，
AB选项中的范围满足题意.
故选：AB
11. 将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是图象的一条对称轴
C. 是图象的一个对称中心D. 在上单调递减
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用三角函数图象变换得出函数的解析式，利用整体代入法结合正弦函数的基本性质可判断B、C、D的正误，计算的值可判断A选项的正误.综合可得出结论.
【详解】由题意知.
所以，故A项错误；
因为，所以是函数图象的一条对称轴，B项正确；
因为，故不是函数图象的对称中心，C项错误；
当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递减，D项正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了正弦型函数对称性与单调性的判断，一般利用整体代入法结合正弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
12. 定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（ ）
A. 的图象关于点对称B. 的图象关于直线对称
C. 的值域为D. 的实数根个数为6
【答案】BC
【解析】
【分析】利用可判断A；根据函数满足的性质推得直线和皆为的图象的对称轴，可判断B；数形结合判断C；数形结合，将的实数根个数问题转化为函数图象的交点问题，判断D.
【详解】对A，由题意可知当时，，
故，则，
即的图象不关于点对称，A错误；
由于函数满足，故4为函数的周期；
对B，函数为偶函数，则的图象关于直线对称，即有，
则，故的图象也关于直线对称，
由于4为函数的周期，故直线和皆为的图象的对称轴，
当时，，故B正确；
对C，由函数性质作出函数的图象如图，可知函数值域为，C正确；
对D，方程的根即与的图象的交点的横坐标，
因为当时，，当时，，当时，，
所以与 的图象共有7个交点，即方程的实数根个数为7，故D错误.
故选：.
【点睛】方法点睛：（1）抽象函数的奇偶性以对称性结合问题，往往要采用赋值法，推得函数周期性；（2）方程根的个数问题，往往采用数形结合，将根的问题转化为函数图象交点问题.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的面积为__________．
【答案】
【解析】
【详解】
14. 函数的值域为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式分段求出函数的值域，即可得解.
【详解】解：因为，
当时，则，
当时，则，
综上可得，
故答案为：．
15. 已知函数满足，当时，函数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由得函数的周期为2，然后利用周期和对化简可得，从而可求得结果
【详解】解：由题意，函数满足，化简可得，
所以函数是以2为周期的周期函数，
又由时，函数，且，
则
．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：
（1）求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；
（2）解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解．
16. 已知函数且在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知在两段上均为增函数，且在上的最小值大于或等于，作出和的图象，根据交点个数判断与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．
【详解】是上的单调递增函数，
在，上单调递增，
可得，
且，即，
作出和的函数草图如图所示：
由图象可知在上有且只有一解，
可得，或，即有△，
即有或；
由，解得，即时，有且只有一解．
则的范围是，．
故答案为，．
【点睛】本题考查分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解即可；
（2）利用指数的运算性质求解即可.
【小问1详解】
【小问2详解】

18. 已知.
（1）求；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）上下同除，将正余弦化成正切即可计算；
（2）借助，将原式化为齐次分式后上下同除，将正余弦化成正切后借助的值即可计算.
【小问1详解】
，，
解得；
【小问2详解】
19. 已知集合A＝， ．
（1）当m＝1时，求AB，(A)B；
（2）若AB＝A，求实数m的取值范围．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．
① 函数的定义域为集合B；② 不等式的解集为B．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合的运算求解即可.
（2）通过AB＝A得出，计算时注意讨论A为空集的情况.
【小问1详解】
选条件①：
（1）当时，，
选条件②：此时集合与①相同，其余答案与①一致；
【小问2详解】
若，则
当时，，解得
当时，，即，解得
综上，实数m的取值范围为
20. 定义在上的函数，满足，，当时，
（1）求的值；
（2）证明在上单调递减；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）0 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）取，计算即可.
（2）取任意且，则，得到，得到证明.
（3）计算，不等式转化为，根据函数的单调性结合定义域得到答案.
【小问1详解】
当时，，则.
【小问2详解】
取任意且，则，则
所以.
又因为时，所以，
所以在上单调递减.
【小问3详解】
因为，又，故，
.
不等式可化为，
即，
因为是上的减函数，故，解得，
故不等式的解集为.
21. 已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为,（单位：cm），且要求 ，部件的面积是．
（1）求y关于x的函数表达式，并求定义域；
（2）为了节省材料，请问x取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．
【答案】（1），；（2）时，面积最小，.
【解析】
【分析】（1）利用已知条件求出，然后求解函数的定义域即可．
（2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，求出R的表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可．
【详解】（1）由题意，利用矩形面积和正三角形的面积公式，
可得，整理得，
又由，解得，即函数的定义域为，
即，．
（2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，
过圆心O作CD垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则，
所以=，
因为x2＞0，由基本不等式，可得，
当且仅当，即时，取等号，
所以圆形铁片的最小面积为（cm2），
答：当x=2时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为（cm2）．
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，列出函数的解析式，通过基本不等式求解最小值是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
22. 设函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明函数在上是增函数；
（3）若是否存在常数，，使函数在上的值域为，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）偶函数，理由见解析
（2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】(1)利用偶函数的定义判断即可；(2)证明内层函数的单调性，再根据复合函数的单调性判断求解； (3)将问题转化为是方程的两个根，根据二次函数图象的性质证明求解.
【小问1详解】
由题意，∵，∴函数是偶函数；
【小问2详解】
令，设，且，
，
∵，∴，∴，，
∴，∴在上单调递增，
又∵在上单增，
∴在上增函数；
【小问3详解】
由第（2）问可得在上是增函数，
∴，∴，
即是方程的两根，
∴，
当时，令，则，
若方程有两个大于零的不等实数根，
即方程存在两个大于1的不等实根，
∵，，
方程是有一个大于0和一个小于0的实根，
∴方程不存在两个大于1的不等实根，
∴不存在常数m，n满足条件．