四川省泸州市泸县第一中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省泸州市泸县第一中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知A，B均为全集的子集，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据补集与交集定义进行计算得出结果.
【详解】已知全集，且，
所以，
又，所以，
若，则，所以，这与矛盾，
所以，同理.
所以.
故选：D.
2. 已知定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的定义域求解规则求解即可.
【详解】解：因为定义域为，
所以函数的定义域为，
所以，的定义域为需满足，解得.
所以，的定义域为.
故选：A
3. 已知集合，，则集合的真子集个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据集合的定义和集合中元素的互异性写出集合，然后根据真子集的性质求解.
【详解】依题意，集合中有个元素，则其真子集的个数有个.
故选：C
4. 若函数在上单调递减，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的单调性求解.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以,解得，
故选:C.
5. 方程x+sin x=0的根有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个
【答案】B
【解析】
【分析】设，方程的根的个数，转化为两个图像有几个交点的问题，由数形结合得出结果.
【详解】设 ，在同一直角坐标系中画出的图像，如图所示，由图知的图像仅有一个交点，则方程x+sin x=0仅有一个根.
故选B
【点睛】本题考查了方程的根有几个，转化为两个图像有几个交点的问题，属于基础题.
6. 下列函数中，周期为，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出各选项中函数的周期，并判断出各选项中函数在区间上的单调性，可出得出结论.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，当时，，该函数在区间上不单调；
对于B选项，函数的最小正周期为，当时，，
该函数在区间上单调递减；
对于C选项，函数的最小正周期为，当时，，
该函数在区间上不单调；
对于C选项，函数的最小正周期为，当时，，
该函数在区间上单调递减.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数周期的求解，以及在某区间上单调性的判断，解题时要充分利用正弦函数或余弦函数的基本性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.
7. 若，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】化简原式得，然后利用基本不等式求解
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故，的最小值为6．
故选：C．
8. 高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据高德纳箭头表示法即可求解，进而根据对数的运算与指数的互化即可求解.
【详解】因为，故，取对数得，故，故最接近的是，
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知角的终边与单位圆相交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据三角函数定义得到正弦，余弦及正切值，进而利用诱导公式进行计算，作出判断.
【详解】根据三角函数的定义得：，，，故AB正确；
，C正确；
，D错误.
故选：ABC
10. 已知集合，，则是的真子集的充分不必要条件可以是（ ）
A. B. m∈
C. m∈D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据集合是集合的真子集，求出的所有可能的值，再根据充分不必要条件的概念即可得到结果.
【详解】因为集合
若集合是集合的真子集，
当时，即集合，显然成立；
当时，则或，所以或
所以若集合是集合的真子集，则；
所以是的真子集的充分不必要条件可以是或.
故选：AD.
11. 已知，关于x的不等式的解集可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】分，，，，，利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】当时，不等式等价于，解得；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式等价于，解得或；
当时，不等式等价于，解得；
当时，不等式等价于，解得或.
故选：BCD
12. 定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ）
A. B. 是偶函数
C. 在上有最大值D. 的解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】赋值法可以求出，，判断出AB选项；C利用赋值法和题干中的条件可以得出的单调性，从而得到在上有最大值；D选项利用C选项中判断的函数的单调性进行解不等式，得到答案.
【详解】定义在R上的函数满足，令得：，解得：，A正确；
令得：，因为，所以，
故是奇函数，B错误；
任取，，且，则令，，代入得：，
因为当时，，而，所以，
故，即，从而R上单调递减，
在上有最大值为，C错误；
由A选项得到，而在R上单调递减，故，解得，解集为，D正确.
故选：AD
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知角的终边经过点，则______
【答案】
【解析】
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．
【详解】角的终边经过点，则，，，
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
14. 写出一个满足“图象既关于直线x=1对称又关于原点中心对称”的函数_________．
【答案】
【解析】
【分析】可取，根据正弦函数的对称性验证即可.
【详解】解：可取，
令，则，
所以函数得图象关于直线对称，
令，则，
则函数得对称中心为，即函数得图象关于原点中心对称，
所以符合题意.
故答案为：.（答案不唯一，符合条件即可）
15. 已知定义在实数集R上的偶函数在区间上是减函数，则不等式的解集是__________
【答案】
【解析】
【分析】通过奇偶性和单调性并结合对数不等式进行计算即可
【详解】因为定义在实数集R上的偶函数在区间上是减函数，
所以函数在区间上是增函数，
所以由不等式，得
所以，即或，解得或
即不等式的解集是
故答案为：.
16. 已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据在区间上的单调性，结合函数的周期，求得的取值范围，结合为的零点、为图象的对称轴，求得的最大值.
【详解】由于在区间上单调，所以，即.由于为的零点，为图象的对称轴，所以，两式相减并化简得，所以为奇数，由于，当时，，符合题意.所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性、零点和对称轴等知识，属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：；
（2）已知，试用表示.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂运算法则以及对数运算法则求解得结果；
（2）根据换底公式以及对数运算法则化简得结果.
【详解】（1）


（2）
.
【点睛】本题考查指数幂运算法则、对数运算法则、换底公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
18. 设，已知集合，．
（1）当时，求实数的范围；
（2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知，4是集合B的元素，代入可得答案；
（2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围.
【小问1详解】
由题可得，则；
【小问2详解】
由题可得是的真子集，
当，则；
当，，则（等号不同时成立），解得
综上：
19. 已知函数是定于在[-2，2]上的奇函数，当时，.
（1）当时，且函数的解析式；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性性质及可求解；
（2）根据奇偶性和单调性化简不等式解不等式即可.
【小问1详解】
解：由题意得：
当时，，
又因为函数是定义在上的奇函数
故，所以
所以函数
当时，且函数的解析式
【小问2详解】
由函数得解析式可得奇函数在上单调递增
所以即为
所以，解得：
又因为，且
解得：
故a的取值范围.
20. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
（1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
【解析】
【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果；
（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可.
【小问1详解】
当时，，
当时,，
所以.
【小问2详解】
当时，,
∴当时，，
当时,
,
当且仅当，即时，，
因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
21. 函数，若函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，且图象的一条对称轴是直线．
（1）求函数的解析式；
（2）设集合, 若，求实数的取值范围.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】（1）由函数图象与轴的两个相邻交点间的距离为，求得函数的周期，得到，再由图象的一条对称轴是直线，求得，即可得到函数的解析式；
（2）由，把不等式恒成立，转化为，结合三角函数的性质，求得函数的最值，即可求解.
【详解】（1）由题意知，函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，
可得, 解得，又由，所以，
又由图象的一条对称轴是直线，可得，
且，解得，
所以
（2）由集合，
因为若，即当时，不等式恒成立，
所以，
因为，则，
当，即，函数取得最小值，最小值为；
当，即，函数取得最大值，最大值为，
所以.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
22. 已知函数，记.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由.
【答案】（1）
（2）奇函数，证明见解析
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据真数大于0，分别求f(x)和g(x)定义域，F(x)为这两个定义域的交集；
(2)根据函数奇偶性的定义，即可判断；
(3)先根据定义域和值域求出m，n，a的范围，再利用单调性将问题转化为方程有解问题.
【小问1详解】
由题意知
要使有意义，则有
，得
所以函数的定义域为：
【小问2详解】
由(1)知函数F(x)的定义域为：，关于原点对称，
函数为上的奇函数.
【小问3详解】
，
假设存在这样的实数，则由
可知
令，则在上递减，在上递减，
是方程，即有两个在上的实数解
问题转化为：关于的方程在上有两个不同的实数解
令，则有
，
解得，又，∴
故这样的实数不存在.