人教版2023-2024学年六年级数学上册第四单元：寻找不变量问题专项练习（原卷版+答案解析）

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亲爱的同学，在做练习的时候一定要认真审题，完成题目后，记得养成认真检查的好习惯。祝你轻松完成本次练习！
【记录卡】 亲爱的同学，在完成本专项练习后，你收获了什么？掌握了哪些新本领呢？在这里记录一下你的收获吧！



年 月 日
1．甲、乙两人原有卡通图片的比6∶5，后来甲又得180张，乙又得30张，这时甲、乙两人的卡通图片的比为18∶11，原来两人各有多少张？
2．花园书屋和新苑书屋故事书的数量比是7∶11，周末他们各进了39本故事书后，这时花园书屋的故事书数量是新苑书屋的。花园书屋、新苑书屋原来各有多少本故事书？（请用方程解答）
3．修路队修一条路，已修的路程与剩下的路程比是2∶3，如果再修560米，已修路程正好是全长的，这条路一共多长？
4．有A、B两桶油，A桶油的质量与B桶油的质量比是3∶2，如果从A桶倒入B桶21千克的油，A桶油与B桶油的质量比是4∶5。原来A、B两桶油各多少千克？
5．某工厂有甲、乙两个车间，甲、乙两个车间职工人数的比是4∶3，把甲车间职工的调入乙车间，这时乙车间职工比甲车间多2人，原来甲、乙两车间各有职工多少人？
6．甲、乙两个车间原有人数比4∶3，从甲车间调48人到乙车间，甲、乙两个车间现有人数比2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人？
7．甲乙两桶汽油，汽油重量之比为3∶2，甲桶汽油向乙桶倒5千克，则甲乙汽油重量之比变为8∶7，则原来两桶汽油一共有多少千克？
8．未未和莱拉原有图书数量的比是2∶3，未未又买来24本书后，未未和莱拉现在图书数量的比是6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？
9．大宝和小宝一起喝汤圆，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2∶3，后来大宝想要减肥，又夹了4个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为1∶2，求两人一共有多少个汤圆？
10．甲、乙两袋淀粉的质量比是5∶2，从甲袋中取出130g放入乙袋中，甲乙两袋淀粉的质量比是6∶5，原来甲袋中有淀粉多少g？
11．六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有20人参加，这时参加的同学与未参加同学的人数比是3∶4。六年级一共有多少人？
12．湖滨新区两个学校教师流动，甲乙两学校教师人数之比为7∶3，如果从甲学校调出30人到乙学校，那么甲、乙两学校教师人数之比为3∶2，问这两个学校原来教师人数共多少人？
13．甲、乙两瓶药液质量的比是4∶1，如果从甲瓶中取出13g倒入乙瓶后，甲乙两瓶药液质量的比变成了7∶5，甲、乙两瓶药液原来各有多少克？
14．学校图书室故事书占总数的，再买进400本故事书，这时故事书与其他书本数比是4∶5，原来有多少本书？
15．某学校六年级加入公益活动和没加入公益活动的人数之比是8∶5，后来又有20名学生参与进来，这时参与公益活动与没参与的人数之比是10∶3，这个年级有多少名学生？
16．张丽同学看一本童话书，已看页数与未看页数的比是1∶5，如果再看60页，已看的页数就占总页数的一半。这本童话书共多少页？
17．甲、乙两筐苹果的质量比是。若从甲筐取放入乙筐，则甲、乙两筐苹果的质量比是。甲筐原来有苹果多少千克？
18．甲、乙两箱粉笔盒数的比是5∶1，如果从甲箱里取出12盒放入乙箱后，甲、乙两箱粉笔盒数的比是7∶5。甲箱原来有多少盒粉笔？
19．近年来网球运动越来越受欢迎，甲、乙两校网球俱乐部原来的球迷人数之比是2∶5。后来甲校球迷人数增加36人，乙校球迷人数不变，现在甲、乙两校球迷的人数比为5∶8。现在甲、乙两校各有网球球迷多少人？
20．黄桥小学六年级原有360名学生，男、女生人数的比是8∶7，后来又转来几名女生，这时，男、女生人数的比是16∶15，后来转进几名女生？
2023-2024学年六年级数学上册
第四单元：寻找不变量问题专项练习（解析版）
1．甲、乙两人原有卡通图片的比6∶5，后来甲又得180张，乙又得30张，这时甲、乙两人的卡通图片的比为18∶11，原来两人各有多少张？
【答案】原来甲有360张，乙有300张
【分析】设甲原来有6x张，乙有5x张，于是依据“甲后来的张数∶乙后来的张数＝18∶11”，据此即可列比例求解。
【详解】解：设甲原来有6x张，乙有5x张，
（6x＋180）∶（5x＋30）＝18∶11
18×（5x＋30）＝11×（6x＋180）
90x＋540＝66x＋1980
90x＋540－540＝66x＋1980－540
90x＝66x＋1440
90x－66x＝66x＋1440－66x
24x＝1440
24x÷24＝1440÷24
x＝60
6×60＝360（张）
5×60＝300（张）
答：原来甲有360张，乙有300张。
【点睛】解答此题的关键是弄清楚题目中的数量关系，列比例即可求解。
2．花园书屋和新苑书屋故事书的数量比是7∶11，周末他们各进了39本故事书后，这时花园书屋的故事书数量是新苑书屋的。花园书屋、新苑书屋原来各有多少本故事书？（请用方程解答）
【答案】花园书屋的故事书有91本，新苑书屋的故事书有143本
【分析】由题意可知，设花园书屋的故事书有7x本，新苑书屋的故事书有11x本，根据等量关系式：花园书屋的故事书＋39＝（新苑书屋的故事书＋39）×，据此列方程解答即可。
【详解】解：设花园书屋的故事书有7x本，新苑书屋的故事书有11x本。
7x＋39＝（11x＋39）×
7x＋39＝x＋
x＝
x＝13
7×13＝91（本）
11×13＝143（本）
答：花园书屋的故事书有91本，新苑书屋的故事书有143本。
【点睛】本题考查用方程解决问题，明确等量关系是解题的关键。
3．修路队修一条路，已修的路程与剩下的路程比是2∶3，如果再修560米，已修路程正好是全长的，这条路一共多长？
【答案】1600米
【分析】把这条路的全长看作单位“1”，已修的路程与剩下的路程比是2∶3，即已修的路程占全长的；再修560米，已修路程正好是全长的，得出560米占全长的（－），根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，用除法计算，求出这条路的全长。
【详解】560÷（－）
＝560÷（－）
＝560÷（－）
＝560÷
＝560×
＝1600（米）
答：这条路一共长1600米。
【点睛】把比转化成分数，利用分数除法的意义列式计算，找出560米占全长的几分之几是解题的关键。
4．有A、B两桶油，A桶油的质量与B桶油的质量比是3∶2，如果从A桶倒入B桶21千克的油，A桶油与B桶油的质量比是4∶5。原来A、B两桶油各多少千克？
【答案】81千克；54千克
【分析】将两桶油的总质量看作单位“1”，原来A桶油占总质量的；倒入B桶21千克的油后，A桶油占总质量的，A桶油减少了总质量的（－），用A桶油减少的质量÷对应分率＝两桶油的总质量；总质量÷原来总份数，求出一份数，一份数分别乘原来两桶油的对应份数，即可求出两桶油的质量。
【详解】21÷（－）
＝21÷（－）
＝21÷
＝135（千克）
135÷（3＋2）
＝135÷5
＝27（千克）
27×3＝81（千克）
27×2＝54（千克）
答：原来A、B两桶油各81千克、54千克。
【点睛】关键是确定单位“1”，理解比的意义，掌握按比分配问题的解题方法。
5．某工厂有甲、乙两个车间，甲、乙两个车间职工人数的比是4∶3，把甲车间职工的调入乙车间，这时乙车间职工比甲车间多2人，原来甲、乙两车间各有职工多少人？
【答案】甲：24人；乙：18人
【分析】结合题意，可把甲乙两个车间的职工总人数看作单位“1”，则甲车间职工人数占总人数的，乙车间职工人数占总人数的；因为把甲车间职工的调入乙车间，甲车间职工人数的就是：×＝；
此时，甲车间职工人数占总人数的（－），乙车间职工人数占总人数的（＋）；又已知乙车间职工比甲车间多2人，则2人对应的分率应是乙车间职工人数占比与甲车间职工人数占比之差，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可列式为：2÷[（＋）－（－）]，求得的结果是甲乙两个车间职工总人数，再分别乘原来甲乙车间职工人数占总人数的分率，可得到原来甲、乙两车间各有职工多少人。
【详解】4÷（4＋3）
＝4÷7
＝
3÷（4＋3）
＝3÷7
＝
×＝
2÷[（＋）－（－）]
＝2÷[－]
＝2÷
＝42（人）
42×＝24（人）
42×＝18（人）
答：原来甲车间有职工24人，乙车间有职工18人。
【点睛】综合考查了有关比的应用、分数除法的应用，其中，分数除法列式前，要先考虑单位“1”，以及把具体数量与分率相对应。
6．甲、乙两个车间原有人数比4∶3，从甲车间调48人到乙车间，甲、乙两个车间现有人数比2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人？
【答案】甲车间160人；乙车间120人
【分析】从甲车间调48人到乙车间，甲乙两车间的总人数不变，原来甲占两车间总人数的，现在甲占两车间总人数的，两个分率之差对应从甲车间调去乙车间的人数，根据“量÷对应的分率”求出两个车间的总人数，再根据比的应用求出甲、乙两车间原有的人数，据此解答。
【详解】48÷（－）
＝48÷（－）
＝48÷
＝280（人）
甲：280×＝160（人）
乙：280×＝120（人）
答：甲车间原有160人，乙车间原有120人。
【点睛】抓住题中的不变量，并利用分数除法求出两个车间的总人数是解答题目的关键。
7．甲乙两桶汽油，汽油重量之比为3∶2，甲桶汽油向乙桶倒5千克，则甲乙汽油重量之比变为8∶7，则原来两桶汽油一共有多少千克？
【答案】75千克
【分析】设原来两桶汽油一共有x千克，汽油从甲桶倒向乙桶，总质量没变，汽油总质量÷原来总份数×原来甲桶对应份数－汽油总质量÷现在总份数×现在甲桶对应份数＝5千克，据此列出方程解答即可。
【详解】解：设原来两桶汽油一共有x千克。
x÷（3＋2）×3－x÷（8＋7）×8＝5
x÷5×3－ x÷15×8＝5
x－x＝5
x×15＝5×15
x＝75
答：原来两桶汽油一共有75千克。
【点睛】关键理解比的意义，明白总质量不变，找到等量关系列出方程解答即可。
8．未未和莱拉原有图书数量的比是2∶3，未未又买来24本书后，未未和莱拉现在图书数量的比是6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？
【答案】84本；126本
【分析】设原来共有x本书，未未又买来24本书后，现在共有（x＋24）本，莱拉的图书数量没变，根据原来总本数÷原来总份数×原来莱拉对应份数＝现在总本数÷现在总份数×现在莱拉对应份数，列出方程，求出x的值是原来总本数，原来总本数÷原来总份数，求出一份数，一份数分别乘原来未未和莱拉的对应份数即可求出他们原来的本数。
【详解】2＋3＝5（份）
6＋7＝13（份）
解：设原来共有x本书。
x÷5×3＝（x＋24）÷13×7
x＝（x＋24）
x＝x＋
x－x ＝x＋－x
x×＝×
x＝210
210÷（2＋3）
＝210÷5
＝42（本）
42×2＝84（本）
42×3＝126（本）
答：原来未未有84本书，莱拉有126本书。
【点睛】关键是理解比的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
9．大宝和小宝一起喝汤圆，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为2∶3，后来大宝想要减肥，又夹了4个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为1∶2，求两人一共有多少个汤圆？
【答案】60个
【分析】两人的汤圆总数不变，开始时总数为5份，当大宝想要减肥，又夹了4个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为1∶2，总数为3份，进行份数统一，找3和5的最小公倍数15，则假设汤圆总数为15份，则原来两人汤圆数量之比为，现在两人汤圆数量之比为，大宝汤圆数量由原来的6份变为4份，减少1份，这一份是4个汤圆，据此解答即可。
【详解】
大宝汤圆数量由原来的6份变为4份，减少1份，这1份是4个汤圆
一共有：（个）
答：两人一共有60个汤圆。
【点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握两人汤圆总量不变。
10．甲、乙两袋淀粉的质量比是5∶2，从甲袋中取出130g放入乙袋中，甲乙两袋淀粉的质量比是6∶5，原来甲袋中有淀粉多少g？
【答案】550g
【分析】根据题意，发现甲、乙两袋淀粉的总质量不变，把两袋淀粉的总质量看作单位“1”；原来甲袋淀粉占总质量的，从甲袋中取出130g放入乙袋中，则后来甲袋淀粉占总质量的；取出的130g淀粉所对应的分率是（－），用除法计算，求出单位“1”的量，即两袋淀粉的总质量，再乘，即可求出原来甲袋的淀粉质量。
【详解】甲、乙两袋淀粉的总质量：
130÷（－）
＝130÷（－）
＝130÷（－）
＝130÷
＝130×
＝770（g）
甲袋原有淀粉：
770×
＝770×
＝550（g）
答：原来甲袋中有淀粉550g。
【点睛】抓住甲、乙两袋淀粉的总质量不变，以及求出130g淀粉所对应的分率是解题的关键。
11．六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有20人参加，这时参加的同学与未参加同学的人数比是3∶4。六年级一共有多少人？
【答案】210人
【分析】把六年级的学生总数看作单位“1”，原来参加兴趣小组的人数占总人数的，现在参加兴趣小组的人数占总人数的，后来又参加的20人对应的分率为两个分数的分率之差，利用“量÷对应的分率”即可求得六年级的总人数，据此解答。
【详解】20÷（－）
＝20÷（－）
＝20÷
＝210（人）
答：六年级一共有210人。
【点睛】题中六年级学生的总人数不变，找出后来又参加人数对应的分率是解答题目的关键。
12．湖滨新区两个学校教师流动，甲乙两学校教师人数之比为7∶3，如果从甲学校调出30人到乙学校，那么甲、乙两学校教师人数之比为3∶2，问这两个学校原来教师人数共多少人？
【答案】300人
【分析】把两个学校教师的总人数看作单位“1”，两个学校教师的总人数不变，原来甲学校老师人数占两个学校教师总人数的，现在甲学校老师人数占两个学校教师总人数的，两个分率之差对应甲学校调出的教师人数，根据“量÷对应的分率”即可求得两个学校教师的总人数。
【详解】30÷（－）
＝30÷（－）
＝30÷
＝300（人）
答：这两个学校原来教师人数共300人。
【点睛】抓住题中的不变量并找出甲学校调出人数占总人数的分率是解答题目的关键。
13．甲、乙两瓶药液质量的比是4∶1，如果从甲瓶中取出13g倒入乙瓶后，甲乙两瓶药液质量的比变成了7∶5，甲、乙两瓶药液原来各有多少克？
【答案】甲液原来有48克、乙药液原来有12克。
【分析】甲乙两瓶药液的质量之和没有发生变化，则原先甲乙两瓶药液的质量之和看做5份，现在甲乙两瓶药液的质量之和看做12份，统一成60份后，甲药液由原来的48份，变成现在的35份，少了13份，每一份是1克，据此求出甲、乙两瓶药液原来各有多少克即可。
【详解】4∶1＝（4×12）∶（1×12）＝48∶12
7∶5＝（7×5）∶（5×5）＝35∶25
13÷（48－35）
＝13÷13
＝1（克）
甲：1×48＝48（克）
乙：1×12＝12（克）
答：甲液原来有48克、乙药液原来有12克。
【点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配解决问题的方法。
14．学校图书室故事书占总数的，再买进400本故事书，这时故事书与其他书本数比是4∶5，原来有多少本书？
【答案】5000本
【分析】学校图书室故事书占总数的，把故事书看作2份，其他书本数是5－2＝3份，把其他书本数看作单位“1”，故事书占其他书本数的，再买进400本故事书，这时故事书占其他书本数的，400所对应的分率是（－），用400除以其所对应的分率就是其他书的本数，其他书的本数×＝故事书的本书，最后相加就是原来有多少本书。
【详解】其他书本数：400÷（－）
＝400÷（－）
＝400÷
＝3000（本）
原来故事书本数：3000×＝2000（本）
3000＋2000＝5000（本）
答：原来有5000本书。
【点睛】把其他书本数看作单位“1”，进而找出“再买进400本故事书”所对应的分率是解题的关键。
15．某学校六年级加入公益活动和没加入公益活动的人数之比是8∶5，后来又有20名学生参与进来，这时参与公益活动与没参与的人数之比是10∶3，这个年级有多少名学生？
【答案】130名
【分析】总人数没变，即单位“1”没变，用20名学生÷对应分率＝总人数，据此列式解答。
【详解】20÷（－）
＝20÷（－）
＝20÷
＝130（名）
答：这个年级有130名学生。
【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法和比的意义。
16．张丽同学看一本童话书，已看页数与未看页数的比是1∶5，如果再看60页，已看的页数就占总页数的一半。这本童话书共多少页？
【答案】180页
【分析】把这本书的总页数看成单位“1”，原来已看的页数与未看的页数比是1：5，那么原来已看的页数是总页数的，后来已经看得页数是总页数的，它们的差对应的数量是60页，用除法求出总页数。
【详解】
＝
＝
＝
＝ （页）
答：这本童话书共180页。
【点睛】本题的关键是找出单位“1”，并找出单位“1”的几分之几对应的数量，用除法就可以求出单位“1”的量。
17．甲、乙两筐苹果的质量比是。若从甲筐取放入乙筐，则甲、乙两筐苹果的质量比是。甲筐原来有苹果多少千克？
【答案】
【分析】因甲、乙两筐苹果的质量比是，可知乙筐苹果是总质量的，从甲筐取放入乙筐，则甲、乙两筐苹果的质量比是，这时乙筐苹果是总质量的，也就是20公斤对应着（－），用除法求出苹果的总质量，据此解答。
【详解】

＝20÷
＝90（kg）
答：甲筐原来有苹果。
【点睛】理解从甲筐中取中20千克放入乙筐后，乙筐苹果的质量由占总质量的变成占质量的，从而求出苹果的总质量是解答此题的关键。
18．甲、乙两箱粉笔盒数的比是5∶1，如果从甲箱里取出12盒放入乙箱后，甲、乙两箱粉笔盒数的比是7∶5。甲箱原来有多少盒粉笔？
【答案】40盒
【分析】先将前后两个比的总份数进行统一，再求出前后两个比的份数差，通过两个比份数差的变化，求出从甲箱取走的份数，求出一份数，用一份数×原来甲的份数即可。
【详解】5∶1＝10∶2
10－2＝8（份）
7－5＝2（份）
（8－2）÷2
＝6÷2
＝3（份）
12÷3×10＝40（盒）
答：甲箱原来有40盒粉笔。
【点睛】关键是理解比的意义，将两个比的总份数进行统一。
19．近年来网球运动越来越受欢迎，甲、乙两校网球俱乐部原来的球迷人数之比是2∶5。后来甲校球迷人数增加36人，乙校球迷人数不变，现在甲、乙两校球迷的人数比为5∶8。现在甲、乙两校各有网球球迷多少人？
【答案】甲校100人；乙校160人
【分析】因为乙校球迷人数不变，将前后两个比统一成后项相同的比，即每一份的多少相同，甲校增加36人，增加了25－16份，先求出一份数，再用份数分别乘现在两校的份数即可。
【详解】2∶5＝16∶40；5∶8＝25∶40
36÷（25－16）
＝36÷9
＝4（人）
4×25＝100（人）
4×40＝160（人）
答：甲校有网球球迷100人，乙校有网球球迷160人。
【点睛】关键是将两个比进行统一，再按比例进行分配。
20．黄桥小学六年级原有360名学生，男、女生人数的比是8∶7，后来又转来几名女生，这时，男、女生人数的比是16∶15，后来转进几名女生？
【答案】12名
【分析】根据题意可知，男生人数一直不变；原有360名学生，男、女生人数的比是8∶7，先求出男生人数，再求出原来女生人数，最后求出现在女生人数，再相减则可求出后来转进几名女生。
【详解】男生：（人）
原有女生：（人）
现有女生：
（人）
180－168＝12（人）
答：后来转进12名女生。
【点睛】本题考查按比例分配问题，解答本题的关键是理解男生人数一直不变。