北师大版六年级数学上册第六单元：比中的“不变量问题”专项练习(原卷版+解析)

这是一份北师大版六年级数学上册第六单元：比中的“不变量问题”专项练习(原卷版+解析)，共19页。

2．周口海洋馆的6大类表演节目精彩纷呈，吸引了许多观众。表演开始前，小明统计出海豚剧场与企鹅园的观众人数比为2∶3，后来有4名观众从海豚剧场去了企鹅园，此时海豚剧场与企鹅园的人数比变为1∶2，求两个场馆共有多少名观众？
3．一杯糖水，糖和水的质量比是1∶10。若再放2克糖，糖和水的质量比则是1∶8。杯中糖水里原有糖和水各多少克？
4．六（2）班有45名学生，女生人数是男生人数的。转走几名女生后，这时女生人数占全班的。转走了几名女生？
5．有甲、乙两个粮仓，甲粮仓存粮的质量是乙粮仓存粮质量的。若把甲粮仓中的1200千克粮食运进乙粮仓，这时甲、乙两个粮仓存粮的质量比是2∶5。甲、乙两个粮仓原来各有存粮多少千克？
6．甲、乙两箱粉笔的盒数之比是5∶2，如果从甲箱里取出18盒放入乙箱后，甲、乙两箱粉笔的盒数之比是8∶5。那么甲、乙两箱粉笔各有多少盒？
7．甲乙两包糖的块数比是4∶1，如果从甲包取出13块放入乙包，甲乙两包糖的块数比为7∶5，那么原来两包糖各有多少块？
8．一批水果，剩下的质量是卖出的质量的，又卖出50千克后，剩下的质量与卖出的质量的比是2∶8。这批水果共有多少千克？（列方程解答）
9．甲、乙两个车间原有人数比4∶3，从甲车间调48人到乙车间，甲、乙两个车间现有人数比2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人？
10．甲乙两桶汽油，汽油重量之比为3∶2，甲桶汽油向乙桶倒5千克，则甲乙汽油重量之比变为8∶7，则原来两桶汽油一共有多少千克？
11．未未和莱拉原有图书数量的比是2∶3，未未又买来24本书后，未未和莱拉现在图书数量的比是6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？
12．六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有20人参加，这时参加的同学与未参加同学的人数比是3∶4。六年级一共有多少人？
13．甲、乙两瓶药液质量的比是4∶1，如果从甲瓶中取出13g倒入乙瓶后，甲乙两瓶药液质量的比变成了7∶5，甲、乙两瓶药液原来各有多少克？
14．一个书架上层和下层的本数比4∶5，如果把上层拿120本到下层，这样下层刚好是上层的2倍，这个书架原来上层有多少本？
15．某学校六年级加入公益活动和没加入公益活动的人数之比是8∶5，后来又有20名学生参与进来，这时参与公益活动与没参与的人数之比是10∶3，这个年级有多少名学生？
16．学校阅览室里有36名学生在看书，其中男生和女生的比是5∶4，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的，问后来又有几名女生来看
书？
17．甲筐有苹果80千克，乙筐有苹果60千克，从乙筐取出多少千克给甲筐后，可以使甲、乙两筐苹果的质量比是5∶2？
18．甲、乙两袋糖果的质量之比是3∶2，如果从甲袋糖果中拿出5千克放入乙袋，这时甲、乙两袋糖果的质量之比是1∶1。两袋糖果一共重多少千克？
19．加工一批零件，已完成个数与零件总个数的比是1∶5，如果再加工15个，那么完成个数与剩下的个数同样多，这批零件共有多少个？
20．甲、乙两箱粉笔盒数的比是5∶1，如果从甲箱里取出12盒放入乙箱后，甲、乙两箱粉笔盒数的比是7∶5。甲箱原来有多少盒粉笔？
2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列
第六单元：比中的“不变量问题”专项练习
1．“双减”课后服务活动中，数学文化研究小组有42人，其中男、女生人数的比是6∶1。后来又加入一些女生，这时男、女生数的比为4∶3。这个小组增加了多少名女生？
【答案】21人
【分析】根据题意可知，男生人数不变，有42×＝36（名），女生有42－36＝6（名），后来女生人数占男生人数的，根据分数乘法的意义，用36×即可求出变化后的女生人数，再减去原来的女生人数即可。
【详解】42×＝36（名）
42－36＝6（名）
36×－6
＝27－6
＝21（名）
答：这个小组增加了21名女生。
【点睛】解答本题的关键是明确男生人数不变，进而根据分数乘法的意义求出后来女生人数。
2．周口海洋馆的6大类表演节目精彩纷呈，吸引了许多观众。表演开始前，小明统计出海豚剧场与企鹅园的观众人数比为2∶3，后来有4名观众从海豚剧场去了企鹅园，此时海豚剧场与企鹅园的人数比变为1∶2，求两个场馆共有多少名观众？
【答案】60名
【分析】据题意,表演开始前，小明统计出海豚剧场与企鹅园的观众人数比为2∶3，此时海豚剧场观众人数是总人数的，企鹅园观众人数是总人数的，后来有4名观众从海豚剧场去了企鹅园即海豚剧场观众人数少了4人而企鹅园观众人数多了4人，设两个场馆共有名观众，则此时海豚剧场观众人数是（）,企鹅园观众人数是（），根据比例的基本性质和此时海豚剧场与企鹅园的人数比变为1∶2，列式解答即可。
【详解】解：设两个场馆共有名观众。
答：两个场馆共有60名观众。
【点睛】本题考查比例的实际应用，找出题目中人数变化和比的变化的关系是解题的关键。
3．一杯糖水，糖和水的质量比是1∶10。若再放2克糖，糖和水的质量比则是1∶8。杯中糖水里原有糖和水各多少克？
【答案】糖：8克；水：80克
【分析】根据题意，水的重量始终没变，把水的质量看作单位“1”，原来糖的质量占水的分率：1÷10＝；放2克糖后，糖的质量占水的分率：1÷8＝；将两个分率相减得到2克糖对应的分率，再根据：单位“1”＝对应量÷对应量的分率，求出原来水的重量，再乘即可求出原来糖的质量。
【详解】1÷10＝
1÷8＝
2÷（－）
＝2÷
＝80（克）
80×＝8（克）
答：杯中糖水里原有糖8克和水80克。
【点睛】此题考查了比与分数的应用，关键能够将比转化为分率再解答。
4．六（2）班有45名学生，女生人数是男生人数的。转走几名女生后，这时女生人数占全班的。转走了几名女生？
【答案】3名
【分析】因为转走的是女生，所以男生人数不变。此题可采用抓不变量的方法解决。女生人数是男生人数的，说明女生人数与男生人数的比是2∶3，把45名按2∶3分配求出男生人数。几名女生转走后，男生占现在全班的（1－）。已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。据此用男生人数÷（1－）即可求出现在全班的人数。最后用原来全班的人数－现在全班的人数，即可求出转走的女生人数。
【详解】45×
＝45×
＝27（名）
27÷（1－）
＝27÷
＝27×
＝42（名）
45－42＝3（名）
答：转走了3名女生。
【点睛】在解决稍复杂的分数问题时，可以运用转化法把关于分数的问题转化为比的问题来解决。
5．有甲、乙两个粮仓，甲粮仓存粮的质量是乙粮仓存粮质量的。若把甲粮仓中的1200千克粮食运进乙粮仓，这时甲、乙两个粮仓存粮的质量比是2∶5。甲、乙两个粮仓原来各有存粮多少千克？
【答案】甲粮仓5600千克；乙粮仓9800千克
【分析】把甲、乙两粮仓的总存粮看作单位“1”，原来甲粮仓存粮占总存粮的，原来乙粮仓存粮占总存粮的，把甲粮仓中的1200千克粮食运进乙粮仓，甲、乙两粮仓的总存粮不变，此时乙粮仓存粮占总存粮的，1200千克粮食占总存粮的（－），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出两个粮仓的总存粮，最后用分数乘法求出甲、乙两个粮仓的存粮吨数，据此解答。
【详解】甲、乙两粮仓存粮：1200÷（－）
＝1200÷（－）
＝1200÷
＝15400（千克）
甲粮仓：15400×
＝15400×
＝5600（千克）
乙粮仓：15400×
＝15400×
＝9800（千克）
答：甲粮仓原来有存粮5600千克，乙粮仓原来有存粮9800千克。
【点睛】找出题目中的单位“1”，抓住不变量“两个粮仓的存粮总吨数”，并利用分数除法求出存粮总吨数是解答题目的关键。
6．甲、乙两箱粉笔的盒数之比是5∶2，如果从甲箱里取出18盒放入乙箱后，甲、乙两箱粉笔的盒数之比是8∶5。那么甲、乙两箱粉笔各有多少盒？
【答案】甲箱：130盒；乙箱：52盒
【分析】根据比的意义可知，甲箱的盒数是5份，乙箱的盒数是2份，即甲盒占了总份数的，当甲箱取出18盒后，由于两箱总盒数不变，此时甲箱的盒数占总份数的：，由此即可知道取出的18盒占的分率是：－，根据公式：对应量÷对应分率＝单位“1”，把数代入公式即可求出一共多少盒，之后再乘甲占总共的分率即可求出甲箱的盒数，之后用总盒数减去甲箱的盒数即可求出乙箱的盒数。
【详解】18÷（－）
＝18÷
＝182（盒）
182×
＝182×
＝130（盒）
182－130＝52（盒）
答：甲箱粉笔有130盒，乙箱粉笔有52盒。
【点睛】本题主要考查按比例分配解应用题，要找准对应量和对应分率是解题的关键。
7．甲乙两包糖的块数比是4∶1，如果从甲包取出13块放入乙包，甲乙两包糖的块数比为7∶5，那么原来两包糖各有多少块？
【答案】甲：48块；乙：12块
【分析】把甲、乙两包糖的块数看作单位“1”，则乙包糖的块数占总块数的，从甲包中取出13块糖放入乙包中，乙包糖的块数占总块数的，乙包糖的块数增加了（－），又因增加的分率对应的量是13块，用对应量除以对应分率就是两包糖的总块数；再分别乘原来甲、乙两包糖占总量的分率，即可求出原来两包糖各有多少块。
【详解】13÷（－）
＝13÷（－）
＝13÷（－）
＝13÷
＝60（块）
60×＝60×＝48（块）
60×＝60×＝12（块）
答：原来甲包糖有48块，乙包糖有12块。
【点睛】解答此题的关键是抓住甲、乙两包糖的总块数不变，求出取出13块糖所对应的分率是解题的关键。
8．一批水果，剩下的质量是卖出的质量的，又卖出50千克后，剩下的质量与卖出的质量的比是2∶8。这批水果共有多少千克？（列方程解答）
【答案】1000千克
【分析】开始剩下的质量是卖出的质量的，说明总质量有1＋3份，卖出质量有3份，卖出质量是总质量的，又卖出50千克后，剩下的质量与卖出的质量的比是2∶8，说明此时卖出质量占总质量的，设这批水果共有x千克，根据总质量×开始卖出质量对应分率＋又卖出的质量＝总质量×最终卖出质量的对应分率，列出方程解答即可。
【详解】解：设这批水果共有x千克。
x＋50＝x
x＋50＝x
x－x＝50
x×20＝50×20
x＝1000
答：这批水果共有1000千克。
【点睛】关键是理解分数乘法和比的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
9．甲、乙两个车间原有人数比4∶3，从甲车间调48人到乙车间，甲、乙两个车间现有人数比2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人？
【答案】甲车间160人；乙车间120人
【分析】从甲车间调48人到乙车间，甲乙两车间的总人数不变，原来甲占两车间总人数的，现在甲占两车间总人数的，两个分率之差对应从甲车间调去乙车间的人数，根据“量÷对应的分率”求出两个车间的总人数，再根据比的应用求出甲、乙两车间原有的人数，据此解答。
【详解】48÷（－）
＝48÷（－）
＝48÷
＝280（人）
甲：280×＝160（人）
乙：280×＝120（人）
答：甲车间原有160人，乙车间原有120人。
【点睛】抓住题中的不变量，并利用分数除法求出两个车间的总人数是解答题目的关键。
10．甲乙两桶汽油，汽油重量之比为3∶2，甲桶汽油向乙桶倒5千克，则甲乙汽油重量之比变为8∶7，则原来两桶汽油一共有多少千克？
【答案】75千克
【分析】设原来两桶汽油一共有x千克，汽油从甲桶倒向乙桶，总质量没变，汽油总质量÷原来总份数×原来甲桶对应份数－汽油总质量÷现在总份数×现在甲桶对应份数＝5千克，据此列出方程解答即可。
【详解】解：设原来两桶汽油一共有x千克。
x÷（3＋2）×3－x÷（8＋7）×8＝5
x÷5×3－ x÷15×8＝5
x－x＝5
x×15＝5×15
x＝75
答：原来两桶汽油一共有75千克。
【点睛】关键理解比的意义，明白总质量不变，找到等量关系列出方程解答即可。
11．未未和莱拉原有图书数量的比是2∶3，未未又买来24本书后，未未和莱拉现在图书数量的比是6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？
【答案】84本；126本
【分析】设原来共有x本书，未未又买来24本书后，现在共有（x＋24）本，莱拉的图书数量没变，根据原来总本数÷原来总份数×原来莱拉对应份数＝现在总本数÷现在总份数×现在莱拉对应份数，列出方程，求出x的值是原来总本数，原来总本数÷原来总份数，求出一份数，一份数分别乘原来未未和莱拉的对应份数即可求出他们原来的本数。
【详解】2＋3＝5（份）
6＋7＝13（份）
解：设原来共有x本书。
x÷5×3＝（x＋24）÷13×7
x＝（x＋24）
x＝x＋
x－x ＝x＋－x
x×＝×
x＝210
210÷（2＋3）
＝210÷5
＝42（本）
42×2＝84（本）
42×3＝126（本）
答：原来未未有84本书，莱拉有126本书。
【点睛】关键是理解比的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
12．六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有20人参加，这时参加的同学与未参加同学的人数比是3∶4。六年级一共有多少人？
【答案】210人
【分析】把六年级的学生总数看作单位“1”，原来参加兴趣小组的人数占总人数的，现在参加兴趣小组的人数占总人数的，后来又参加的20人对应的分率为两个分数的分率之差，利用“量÷对应的分率”即可求得六年级的总人数，据此解答。
【详解】20÷（－）
＝20÷（－）
＝20÷
＝210（人）
答：六年级一共有210人。
【点睛】题中六年级学生的总人数不变，找出后来又参加人数对应的分率是解答题目的关键。
13．甲、乙两瓶药液质量的比是4∶1，如果从甲瓶中取出13g倒入乙瓶后，甲乙两瓶药液质量的比变成了7∶5，甲、乙两瓶药液原来各有多少克？
【答案】甲液原来有48克、乙药液原来有12克。
【分析】甲乙两瓶药液的质量之和没有发生变化，则原先甲乙两瓶药液的质量之和看做5份，现在甲乙两瓶药液的质量之和看做12份，统一成60份后，甲药液由原来的48份，变成现在的35份，少了13份，每一份是1克，据此求出甲、乙两瓶药液原来各有多少克即可。
【详解】4∶1＝（4×12）∶（1×12）＝48∶12
7∶5＝（7×5）∶（5×5）＝35∶25
13÷（48－35）
＝13÷13
＝1（克）
甲：1×48＝48（克）
乙：1×12＝12（克）
答：甲液原来有48克、乙药液原来有12克。
【点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配解决问题的方法。
14．一个书架上层和下层的本数比4∶5，如果把上层拿120本到下层，这样下层刚好是上层的2倍，这个书架原来上层有多少本？
【答案】480本
【分析】根据“这样下层刚好是上层的2倍”可知，后来上层与下层的本数比为1∶2；原来上层本数是总本数的，后来上层本数是总本数的，据此可知，上层拿出的120本占总本数的－，根据分数除法的意义求出总本数，再乘原来上层本数占总本数的分率即可。
【详解】后来上层与下层的本数比为1∶2；
120÷（－）×
＝120÷×
＝480（本）；
答：这个书架原来上层有480本。
【点睛】先求出后来上层与下层的本数比是解答本题的关键，进而求出上层拿出的120本占总本数的分率，再根据分数乘除法的意义解答。
15．某学校六年级加入公益活动和没加入公益活动的人数之比是8∶5，后来又有20名学生参与进来，这时参与公益活动与没参与的人数之比是10∶3，这个年级有多少名学生？
【答案】130名
【分析】总人数没变，即单位“1”没变，用20名学生÷对应分率＝总人数，据此列式解答。
【详解】20÷（－）
＝20÷（－）
＝20÷
＝130（名）
答：这个年级有130名学生。
【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法和比的意义。
16．学校阅览室里有36名学生在看书，其中男生和女生的比是5∶4，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的，问后来又有几名女生来看书？
【答案】4名
【分析】根据题意，阅览室有36人，男生和女生比是5∶4，男生占总人数的，女生占总人数的，求出男生和女生人数；后来又来了几名女生，这时女生人数占所有看书人数的，就是说男生和女生人数一样多，用男生人数减去原来女生人数，就是后来几名女生，即可解答。
【详解】男生和女生一共有5＋4＝9（份）
男生占，女生占
男生人数有：36×＝20（人）
女生人数有：36×＝16（人）
20－16＝4（人）
答：后来又来了4名女生。
【点睛】本题考查按比例分配问题，以及求一个数的几分之几是多少，用乘法。
17．甲筐有苹果80千克，乙筐有苹果60千克，从乙筐取出多少千克给甲筐后，可以使甲、乙两筐苹果的质量比是5∶2？
【答案】20千克
【分析】乙筐取出一部分给甲筐后，总量不变，还是140千克，把140千克按比分配，求出最后的重量，然后求给了多少千克。
【详解】
（千克）
（千克）
（千克）
答：乙筐取出20千克给甲筐。
【点睛】见比设份是求解按比分配问题最常用的方法，先求出一份量是多少，再求出多份量。
18．甲、乙两袋糖果的质量之比是3∶2，如果从甲袋糖果中拿出5千克放入乙袋，这时甲、乙两袋糖果的质量之比是1∶1。两袋糖果一共重多少千克？
【答案】50千克
【分析】甲、乙两袋糖果的质量之比是3∶2，甲袋比乙袋多3－2份，甲袋拿出多出份数的一半放入乙袋，两袋质量相等，据此求出一份数，用一份数×总份数即可。
【详解】5÷[（3－2）÷2]
＝5÷（1÷2）
＝5÷0.5
＝10（千克）
10×（3＋2）
＝10×5
＝50（千克）
答：两袋糖果一共重50千克。
【点睛】关键是确定甲袋放入乙袋的质量的对应的份数，求出一份数。
19．加工一批零件，已完成个数与零件总个数的比是1∶5，如果再加工15个，那么完成个数与剩下的个数同样多，这批零件共有多少个？
【答案】50个
【分析】设这批零件共有x个，根据已完成个数与零件总个数的比是1∶5，可知完成的占总个数的，没完成的占1－，完成了x个，没完成（1－）x个，根据完成的个数＋15＝没完成的个数－15，列出方程解答即可。
【详解】解：设这批零件共有x个。
x＋15＝（1－）x－15
x＋15＝x－15
x＝30
x＝50
答：这批零件共有50个。
【点睛】关键是通过比确定完成和没完成的对应分率，找到等量关系，从而列出方程进行解答。
20．甲、乙两箱粉笔盒数的比是5∶1，如果从甲箱里取出12盒放入乙箱后，甲、乙两箱粉笔盒数的比是7∶5。甲箱原来有多少盒粉笔？
【答案】40盒
【分析】先将前后两个比的总份数进行统一，再求出前后两个比的份数差，通过两个比份数差的变化，求出从甲箱取走的份数，求出一份数，用一份数×原来甲的份数即可。
【详解】5∶1＝10∶2
10－2＝8（份）
7－5＝2（份）
（8－2）÷2
＝6÷2
＝3（份）
12÷3×10＝40（盒）
答：甲箱原来有40盒粉笔。
【点睛】关键是理解比的意义，将两个比的总份数进行统一。