高考数学一轮复习第4章第6课时函数y＝Asin(ωx＋φ)学案

这是一份高考数学一轮复习第4章第6课时函数y＝Asin(ωx＋φ)学案，共26页。

1．结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.
2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
1．简谐运动的有关概念
2．用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
提醒：两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是φω(ω＞0)个单位长度．
[常用结论]
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝sin (ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝kπω+π2ω-φω(k∈Z)，对称中心是点kπω-φω，0(k∈Z)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将y＝3sin 2x的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin 2x+π4．( )
(2)y＝sin x的图象上各点的纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x2．( )
(3)y＝sin x-π4的图象是由y＝sin x+π4的图象向右平移π2个单位长度得到的．( )
(4)函数y＝A cs (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T10改编)y＝2sin 12x-π3的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，4π，π3 B．2，14π，π3
C．2，14π，－π3 D．2，4π，－π3
C [由题意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝14π，初相为－π3.]
2．(人教A版必修第一册P239练习T2改编)为了得到函数y＝2sin 2x-π3的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象( )
A．向右平移π6个单位长度
B．向右平移π3个单位长度
C．向左平移π6个单位长度
D．向左平移π3个单位长度
A [y＝2sin 2x-π3＝2sin 2x-π6.]
3．(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)为了得到y＝3cs3x+π8的图象，只需把y＝3csx+π8图象上的所有点的( )
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变
D [因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3csx+π8图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的13，即可得到函数y＝3cs3x+π8的图象，故选D.]
4．(人教A版必修第一册P245例1改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B，A＞0，ω＞0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为________．
y＝5sin π8x+3π4＋10，x∈[6，14] [从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B的半个周期，则A+B=15，-A+B=5，
所以A＝12×(15－5)＝5，B＝12×(15＋5)＝10．
又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.
又π8×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，0<φ<π，所以φ＝3π4，
所以y＝5sin π8x+3π4＋10，x∈[6，14].]
考点一 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
[典例1] 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)A>0，ω>0，-π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要求列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
(4)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝cs x的图象经过怎样的变换得到？
[解] (1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2．
又因为当x＝π6时，f(x)取得最大值2，所以A＝2，
同时2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，
φ＝2kπ＋π6，k∈Z，
因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，
所以f(x)＝2sin 2x+π6.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋π6∈π6，13π6.
列表如下：
描点、连线得图象，如图．
(3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y＝sin x+π6的图象，再将y＝sin x+π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x+π6的图象，再将y＝sin 2x+π6上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin 2x+π6的图象．
(4)因为f(x)＝2sin 2x+π6＝2cs 2x+π6-π2＝2cs 2x-π3，将y＝cs x的图象上的所有点向右平移π3个单位长度，得到函数y＝cs x-π3的图象，再将y＝cs x-π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝cs2x-π3的图象，再将y＝cs 2x-π3上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到y＝2cs 2x-π3的图象，即为f(x)＝2sin 2x+π6的图象．
函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换的求解策略
(1)y＝A sin (ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
[跟进训练]
1．(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sin x-π4的图象，则f(x)＝( )
A．sin x2-7π12 B．sin x2+π12
C．sin 2x-7π12 D．sin 2x+π12
(2)(链接常用结论1，2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin ωx+π3(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A．16 B．14
C．13 D．12
(1)B (2)C [(1)由已知的函数y＝sin x-π4逆向变换，
第一步：向左平移π3个单位长度，得到y＝sin x+π3-π4＝sin x+π12的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin x2+π12的图象，
即为y＝fx的图象，所以fx＝sin x2+π12.故选B.
(2)由题意知：曲线C为y＝sin ωx+π2+π3＝sin ωx+ωπ2+π3，又C关于y轴对称，则ωπ2+π3＝π2＋kπ，k∈Z，
解得ω＝13＋2k，k∈Z，又ω>0，故当k＝0时，ω的最小值为13.故选C.]
考点二 确定y＝A sin (ωx＋φ)＋B的解析式
[典例2] (多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝( )
A．sin x+π3 B．sin π3-2x
C．cs 2x+π6 D．cs 5π6-2x
(2)已知函数f(x)＝A cs (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．
(1)BC (2) －3 [(1)由题图知T2＝2π3-π6＝π2，得T＝π，即2πω＝π，所以ω＝±2，又当ω＝－2时，与图象不符，故ω＝2．又图象过点π6，0，
由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，
所以sin (ωx＋φ)＝sin 2x+2π3，故A错误；
由sin 2x+2π3＝sin π-π3-2x＝sin π3-2x知B正确；
由sin 2x+2π3＝sin 2x+π2+π6＝cs 2x+π6知C正确；
由sin 2x+2π3＝cs 2x+π6＝cs π+2x-5π6＝－cs 5π6-2x知D错误．
综上可知，故选BC.
(2)由题意得，A＝3，T＝4＝2πω，ω＝π2.
又因为f(x)＝A cs (ωx＋φ)为奇函数，
所以φ＝π2＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝π2，
所以f(x)＝3cs π2x+π2，所以f(1)＝－3.]
y＝A sin (ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
[跟进训练]
2．(1)(2020·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝cs ωx+π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝cs -32x+π6
B．f(x)＝cs 32x+π6
C．f(x)＝cs 34x-π6
D．f(x)＝cs 34x+π6
(2)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式f(x)＝________．
(1)B (2)sin2x+2π3 [(1)由图象知π因为图象过点-4π9，0，所以cs -4π9ω+π6＝0，所以－4π9ω＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，
所以ω＝－94k－34，k∈Z.
因为1<|ω|<2，故k＝－1，得ω＝32，
所以f(x)＝cs 32x+π6.
(2)因为函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期是π，所以π＝2πω，∴ω＝2．
函数的图象向右平移π3个单位长度后得到y＝sin 2x-π3+φ，
因为y＝sin 2x-π3+φ关于原点对称，
所以－2π3＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝2π3＋kπ(k∈Z)．
∵0＜φ＜π，∴φ＝2π3，因此f(x)＝sin 2x+2π3.]
考点三 三角函数图象与性质的综合应用
[典例3] (1)(易错题)(多选)设函数f(x)＝csωx+π3(ω>0)，已知f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极小值点，则( )
A．f(x)在(0，2π)上有且仅有5个零点
B．f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极大值点
C．f(x)在0，π6上单调递减
D．ω的取值范围是73，103
(2)(多选)若关于x的方程23cs2x－sin2x＝3－m在区间-π4，π6上有且只有一个解，则m的值可能为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
(1)CD (2)AC [(1)因为x∈(0，2π)，所以ωx＋π3∈π3，2πω+π3.设t＝ωx＋π3∈π3，2πω+π3，画出y＝cs t的图象如图所示．
由图象可知，若f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极小值点，则5π＜2πω＋π3≤7π，故f(x)在(0，2π)上可能有5，6或7个零点，故A错误；f(x)在(0，2π)上可能有2或3个极大值点，故B错误；由5π<2πω＋π3≤7π，可得73<ω≤103，故D正确；当x∈0，π6时，ωx＋π3∈π3，π6ω+π3.因为73<ω≤103，所以13π18<π6ω＋π3≤8π9，故f(x)在0，π6上单调递减，故C正确．
(2)23cs2x－sin2x＝3－m整理可得cs 2x+π6＝－m2，令t＝2x＋π6，因为x∈-π4，π6，则t∈-π3，π2.
所以cs t＝－m2在区间-π3，π2上有且只有一个解，即y＝cs t的图象和直线y＝－m2只有1个交点．
由图可知，－m2＝1或0≤－m2<12，解得m＝－2或－1]
与三角函数性质有关的综合题的求解策略
(1)研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
[跟进训练]
3．(1)(多选)(2023·江苏南京模拟)声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝A sin ωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数fx＝sin x＋12sin 2x，则下列结论正确的是( )
A．fx的图象关于直线x＝π对称
B．fx在-π4，π4上是增函数
C．fx的最大值为334
D．若fx1fx2＝－2716，则x1-x2m＝2π3
(2)(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cs (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝32，x＝π9为f(x)的零点，则ω的最小值为________．
(1)BCD (2)3 [(1)对于A，因为f2π-x＝－sin x－12sin 2x＝－fx，则fx的图象关于π，0对称，不关于x＝π对称，A错误；对于B，因为y＝sin x与y＝12sin 2x在-π4，π4上都是增函数，则fx在-π4，π4上是增函数，B正确；
对于C，因为f-x＝－sin x－12sin 2x＝－fx，即fx是奇函数，又y＝sin x与y＝12sin 2x的最小正周期分别为2π与π，则fx的正周期为2π，当x∈(0，π)时，f′x＝cs x＋cs 2x＝2cs2x＋csx－1，令f′x＝0，得cs x＝12，即x＝π3，
当x∈0，π3时，f′x>0，当x∈π3，π时，f′x<0，则fx在0，π3上递增，在π3，π上递减，
因此，fx在[0，π]上的最大值为fπ3＝334，由fx是奇函数得fx在[－π，π]上的最大值为334，由fx的正周期为2π，则fx在R上的最大值为334，C正确；对于D，由选项C得，fxm＝fπ3 +2k1π＝334，fxm＝f-π3+2k2π＝－334，k1，k2∈Z，
又fx1fx2＝－2716＝－334×334，则x1-x2＝|(π3+2k1π)-(-π3+2k2π)|=|2π3＋2k1-k2π|，所以当k1－k2＝0时，x1-x2m＝2π3，D正确．故选BCD.
(2)因为f(x)＝cs (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，
所以最小正周期T＝2πω，因为f(T)＝cs ω·2πω+φ＝cs (2π＋φ)＝cs φ＝32，
又0<φ<π，所以φ＝π6，即f(x)＝cs ωx+π6，
又x＝π9为f(x)的零点，所以π9ω＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，解得ω＝3＋9k，k∈Z，
因为ω>0，所以当k＝0时ωmin＝3．]
考点四 三角函数模型的应用
[典例4] 如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0csπ3，sinπ3开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2．
(1)求t＝π4时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t>0)的函数关系式，并求当t∈0，π2时，y的取值范围．
[解] (1)连接AB，OA，OB(图略)，当t＝π4时，∠xOA＝π2+π3＝5π6，∠xOB＝π2，所以∠AOB＝2π3.
又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cs 2π3＝7，即A，B两点间的距离为7.
(2)依题意，y1＝sin 2t+π3，y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin 2t+π3－2sin 2t＝32cs 2t－32sin 2t＝3cs 2t+π3，
即函数关系式为y＝3cs 2t+π3(t>0)，
当t∈0，π2时，2t＋π3∈π3，4π3，
所以cs 2t+π3∈-1，12，
故当t∈0，π2时，y∈-3，32.
利用三角函数模型解决实际问题的步骤
(1)寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型．
(2)寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答．
解题思路如下：
[跟进训练]
4．(1)(2022·北京东城三模)如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30 min.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是( )
A．H＝55cs π15t-π2＋650≤t≤30
B．H＝55sin π15t-π2＋650≤t≤30
C．H＝－55cs π10t+π2＋650≤t≤30
D．H＝－55sin π10t+π2＋650≤t≤30
(2)(2022·北京朝阳一模)某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在BC上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈0，π3，则PQ＝________米(用α表示)；当P在BC上运动时，这块三角形绿地的最大面积是________平方米．
(1)B (2)60sin α 2253 [(1)根据题意设
Ht＝A sin (ωt＋φ)＋Bω＞0，0≤t≤30，
因为摩天轮最高点距离地面高度为120 m，转盘直径为110 m，所以，该摩天轮最低点距离地面高度为10 m，
所以A+B=120-A+B=10 ，解得A＝55，B＝65，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，
旋转一周需要30 min，
所以，T＝2πω＝30，解得ω＝π15，
因为t＝0时，H0＝10，故10＝55sin φ＋65，
即sin φ＝－1，解得φ＝－π2＋2kπ，k∈Z.
所以，Ht＝55sin π15t-π2＋650≤t≤30.故选B.
(2)在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈0，π3，AP＝60，
∴PQ＝AP sin α＝60sin α(米)，
在Rt△PAR中，可得PR＝60sin π3-α，
由题可知∠QPR＝2π3，
∴S△PQR＝12·PQ·PR·sin ∠QPR
＝12×60sin α×60sin π3-α×sin 2π3
＝9003sin αsin π3-α
＝450332sin2α+12cs2α-12
＝4503sin2α+π6-12，
又α∈0，π3，2α＋π6∈π6，5π6，
∴当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，△PQR的面积有最大值2253平方米，即三角形绿地的最大面积是2253平方米．]
课时分层作业(二十六) 函数y＝A sin (ωx＋φ)
一、选择题
1．函数y＝sin 2x-π3在区间-π2，π上的简图是( )
A B
C D
A [令x＝0得y＝sin -π3＝－32，排除B，D项，由f-π3＝0，fπ6＝0，排除C项，故选A.]
2．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin 3x+π5图象上所有的点( )
A．向左平移π5个单位长度
B．向右平移π5个单位长度
C．向左平移π15个单位长度
D．向右平移π15个单位长度
D [y＝2sin 3x+π5＝2sin 3x+π15，故选D.]
3．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，φ＜π2的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)＝3sin2x-π6＋1
B．f(x)＝2sin3x+π3＋2
C．f(x)＝2sin3x-π6＋2
D．f(x)＝2sin2x+π6＋2
D [根据图象知A+B=4，B-A=0，解得A＝2，B＝2．
f(x)的最小正周期T＝4×5π12-π6＝π，
∴ω＝2ππ＝2．∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋2．
又函数图象的一个最高点为π6，4，将其坐标代入f(x)＝2sin(2x＋φ)＋2得sin 2×π6+φ＝1．
∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin2x+π6＋2．]
4．(2023·福州模拟)已知P是半径为3 cm的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向做圆周运动，角速度为π2 rad/s.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系Oxy，若∠P0Ox＝π3，则点P的纵坐标y关于时间t(单位：s)的函数关系式为( )
A．y＝3sin 4t+π3 B．y＝3sin π2t+π3
C．y＝3sin 4t-π3 D．y＝3sin π2t-π3
D [设点P的纵坐标y关于时间t(单位：s)的函数关系式为y＝A sin ωt+φ，由题意可得A＝3，φ＝－π3，t s时，射线OP可视为角πt2-π3的终边，则y＝3sin πt2-π3.故选D.]
5．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数中是“互为生成”函数的是( )
A．f(x)＝sin x＋cs x
B．f(x)＝2(sin x＋cs x)
C．f(x)＝sin x
D．f(x)＝2sin x＋2
AD [f(x)＝sin x＋cs x＝2sin x+π4与f(x)＝2sin x＋2经过平移后能够重合．]
6．(多选)设函数f(x)＝sin 2x-π3的图象为曲线E，则下列结论中正确的是( )
A．-π12，0是曲线E的一个对称中心
B．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为π2
C．将曲线y＝sin 2x向右平移π3个单位长度，与曲线E重合
D．将曲线y＝sin x-π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E重合
BD [函数f(x)＝sin 2x-π3的图象为曲线E，
令x＝－π12，求得f(x)＝－1，为最小值，
故f(x)的图象关于直线x＝－π12对称，故A错误；
若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，
则|x1－x2|的最小值为T2＝12×2π2＝π2，故B正确；
将曲线y＝sin 2x向右平移π3个单位长度，
可得y＝sin 2x-2π3的图象，故C错误；
将曲线y＝sin x-π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y＝sin 2x-π3的图象，与曲线E重合，故D正确．]
二、填空题
7．(2021·全国甲卷)已知函数fx＝2cs (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则fπ2＝________．
－3 [由题意可得：34T＝13π12-π3＝3π4，∴T＝π，又T＝2πω，∴ω＝±2，由题意知，ω＝±2时都符合题意，故取ω＝2．
当x＝13π12时，ωx＋φ＝2×13π12＋φ＝2kπ，
∴φ＝2kπ－136πk∈Z，
令k＝1可得：φ＝－π6，
据此有：fx＝2cs 2x-π6，fπ2
＝2cs 2×π2-π6＝2cs 5π6＝－3.]
8．(2022·北京高考)若函数f(x)＝A sin x－3cs x的一个零点为π3，则A＝________；fπ12＝________．
1 －2 [fπ3＝A sin π3-3cs π3＝32A－32＝0，解得A＝1．
f(x)＝sin x－3cs x＝2sin x-π3，故fπ12＝2sin π12-π3＝2sin -π4＝－2.]
9．(2023·重庆南开中学模拟)李华以18 km/h的速度骑着一辆车轮直径为24寸(1米等于3尺，1尺等于10寸)的自行车行驶在一条平坦的公路上，自行车前轮胎上有一块红色的油漆印(图中点A)，则点A滚动一周所用的时间为________秒(用π表示)；若刚开始骑行时，油漆印离地面0.6米，在前行的过程中油漆印离地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)的函数关系式可以用h＝f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋bA>0，ω>0，-π2<φ<π2来刻画，则f(t)＝________．
4π25 25sin 252t+π6+25 [李华的时速为18 km/h ＝5 m/s，车轮直径为45米，周长为4π5米，故滚动一周所用时间为4π25秒，即最小正周期为T＝4π25，于是ω＝252，依题意知A＝25，b＝25，f(0)＝35⇒sin φ＝12，
又－π2<φ<π2，所以φ＝π6，
故f(t)＝25sin 252t+π6+25.]
三、解答题
10．已知函数f(x)＝23sin ωxcs ωx＋2cs2ωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈0，π2时，函数g(x)的最大值．
[解] (1)由题意知f(x)＝3sin2ωx＋1＋cs 2ωx＝2sin 2ωx+π6＋1，
∵最小正周期T＝π，2π2ω＝π，∴ω＝1，
∴f(x)＝2sin 2x+π6＋1，
令π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，
得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为π6+kπ，2π3+kπ，k∈Z.
(2)∵g(x)＝2sin 2x-π6+π6＋1
＝2sin 2x-π6＋1，
当x∈0，π2时，－π6≤2x－π6≤5π6，
∴当2x－π6＝π2，即x＝π3时，g(x)max＝2×1＋1＝3．
11．已知函数f(x)＝3sin 2x＋2cs2x＋a，其最大值为2．
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
[解] (1)f(x)＝3sin2x＋2cs2x＋a
＝3sin2x＋cs 2x＋1＋a
＝2sin 2x+π6＋1＋a的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝2π2＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin 2x+π6，列表：
画图如下．
12．将函数f(x)＝2sin x cs x－23cs2x＋3的图象向左或向右平移a(a＞0)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若gπ6-x＝g(x)对任意实数x都成立，则实数a的最小值为( )
A．5π24 B．π4
C．π3 D．π6
D [因为f(x)＝2sinx cs x－23cs2x＋3＝sin2x－3cs 2x＝2sin 2x-π3，
则g(x)＝2sin 2x-π3±2a，
由gπ6-x＝g(x)得函数g(x)的对称轴为x＝π12，
所以π6-π3±2a＝kπ＋π2，k∈Z，
所以±a＝k2π＋π3，k∈Z.
因为a＞0，所以当k＝－1时，可得－a＝－π6.
即a＝π6，即a的最小值为π6.]
13．(多选)(2023·湖南长郡中学模拟)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则下列叙述错误的是( )
A．f(x)在[0，2π)内有5个零点
B．f(x)的最大值为3
C．(2π，0)是f(x)的一个对称中心
D．当x∈0，π2时，f(x)单调递增
ABD [对于A，令f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x·(1＋cs x)＝0，
则sin x＝0或cs x＝－1，易知f(x)在[0，2π)上有2个零点，A错误；对于B，因为2sin x≤2，sin 2x≤1，由于等号不能同时成立，所以f(x)<3，B错误；对于C，易知f(x)为奇函数，关于原点对称，又周期为2π，故(2π，0)是f(x)的一个对称中心；对于D，f′(x)＝2cs x＋2cs 2x＝2(2cs x－1)·(cs x＋1)，
因为cs x＋1≥0，所以2cs x－1>0时，
即x∈2kπ-π3，2kπ+π3(k∈Z)时，
f(x)单调递增，x∈2kπ+π3，2kπ+5π3(k∈Z)时，
f(x)单调递减，故D错误．故选ABD.]
14．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮(简图如图所示)，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B其中A＞0，ω＞0，φ≤π2，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
[解] (1)H关于t的函数关系式为H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B，由B+A=145，B-A=21，解得A＝62，B＝83，
又函数周期为30，
所以ω＝2π30＝π15，可得H(t)＝62sin π15t+φ＋83，
又H(0)＝62sin π15×0+φ＋83＝21，|φ|≤π2，
所以sin φ＝－1，φ＝－π2，
所以摩天轮转动一周的解析式为：
H(t)＝62sin π15t-π2＋83，0≤t≤30．
(2)H(t)＝62sin π15t-π2＋83＝－62cs π15t＋83，所以－62cs π15t＋83＝52，cs π15t＝12，
所以t＝5．
故游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次达到52米.
y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝2πω
f＝1T＝ω2π
ωx＋φ
φ
ωx＋φ
0
π2
π
3π2
2π
x
0-φω
π2-φω
π-φω
3π2-φω
2π-φω
y＝A sin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
2x＋π6
π6
π2
π
3π2
2π
13π6
x
0
π6
5π12
2π3
11π12
π
f(x)
1
2
0
－2
0
1
x
0
π6
5π12
2π3
11π12
π
2x＋π6
π6
π2
π
3π2
2π
13π6
f(x)＝2sin 2x+π6
1
2
0
－2
0
1