高考数学一轮复习第2章第6课时指数与指数函数学案

这是一份高考数学一轮复习第2章第6课时指数与指数函数学案，共18页。

1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．
(2)式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(na)n＝a．
当n为奇数时，nan＝a；
当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，-a，a<0.
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂，amn＝nam(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，a-mn＝1amn＝1nam(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．
(2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
(3)指数函数的图象与性质
[常用结论]
指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．由此我们可得到规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)nan＝(na)n＝a.( )
(2)函数y＝a－x是R上的增函数．( )
(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P109习题4.1T1改编)化简3-5234
的结果为( )
A．5 B．5
C．－5 D．－5
B [原式＝35234＝52334＝523×34＝512＝5.]
2．(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点2，13，则f(－1)＝( )
A．1 B．2
C．3 D．3
C [依题意可知a2＝13，解得a＝33，
所以f(x)＝33x，所以f(－1)＝33-1＝3.]
3．(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编) 下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5＞1.73 B．1223＞2-43
C．1.70.3＞0.93.1 D．2334＜3423
BCD [因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A错误；243＝1243，y=12x 为减函数，所以1223＞1243=2-43，故B正确；因为1.70.3＞1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；y＝
23x为减函数，所以2334＜2323，又y＝x23在(0，＋∞)上单调递增，所以2323＜3423，所以2334＜2323＜3423．故D正确．]
4．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数fx＝a12|x|＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f-2＝________．
34 [因为fx的图象过原点，所以f0＝a120＋b＝0，即a＋b＝0．又因为fx的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以fx＝－12x＋1，
所以f-2＝－122＋1＝34.]
考点一 指数幂的运算
[典例1] (1)(多选)已知a＋a-1＝3，在下列各选项中，正确的是( )
A．a2＋a-2＝7 B．a3＋a-3＝18
C．a12＋a-12＝±5 D．aa+1aa＝25
(2)计算：14-12·4ab-130.1-1·a3·b-312＝________(a>0，b>0)．
(1)ABD (2)85 [(1)因为a＋a-1＝3，所以a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝9－2＝7，故选项A正确；因为a＋a-1＝3，所以a3＋a-3＝(a＋a-1)(a2－1＋a-2)＝(a＋a-1)·[(a＋a-1)2－3]＝3×6＝18，故选项B正确；因为a＋a-1＝3，所以(a12＋a-12)2＝a＋a-1＋2＝5，且a＞0，所以a 12＋a0-12＝5，故选项C错误；因为a3＋a-3＝18，且a＞0，所以aa+1aa2＝a3＋a-3＋2＝20，所以aa+1aa＝25，故选项D正确．
(2)原式＝2·432a32b-3210a32b-32＝85.]
指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一．
[跟进训练]
1．(1)已知x<0，y>0，化简49x8y4得( )
A．－3x2y B．3x2y
C．－3x2y D．3x2y
(2)计算：278-23＋0.002-12－10(5－2)-1＋π0＝________．
(1)B (2)－1679 [(1)由题意得 49x8y4＝914x814y414＝3x2|y|＝3x2y.
(2)原式＝32-2＋50012－105+25-25+2＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.]
考点二 指数函数的图象及应用
[典例2] (1)(多选)(链接常用结论)已知实数a，b满足等式2 022a＝2 023b，下列式子可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．aC．0(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．
(1)ABD (2)0，12 [(1)如图，观察易知，a(2)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图①，两个图象只有一个交点，不合题意；当0]
图① 图②
(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
[跟进训练]
2．(1)在同一直角坐标系中，指数函数y＝bax，二次函数y＝ax2－bx的图象可能是( )
A B
C D
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
(1)B (2)[－1，1] [(1)指数函数y＝bax图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数y＝ax2－bx＝(ax－b)x，有零点ba，0．A，B选项中，指数函数y＝bax在R上单调递增，故ba>1，故A错误，B正确．C，D选项中，指数函数y＝bax在R上单调递减，故0(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
]
考点三 指数函数的性质及应用
比较指数式的大小
[典例3] (1)(2023·广东福田外国语学校模拟)已知a＝234，b＝312，c＝413，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．a(2)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
(1)B (2)B [(1)因为y＝2x在R上单调递增，y＝x14在0，+∞上单调递增，所以c＝413＝423<234＝a＝814<914＝312＝b.故选B.
(2)设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数．
又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.]
解简单的指数方程或不等式
[典例4] (1)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a-x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
(2)设函数f(x)＝12x-7，x<0，x，x≥0，若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
(1)12 (2)(－3，1) [(1)当a<1时，41-a＝21，解得a＝12；
当a>1时，2a－(1-a)＝4a-1无解，故a的值为12.
(2)当a<0时，原不等式化为12a－7<1，
则2－a<8，解得a>－3，所以－3当a≥0时，则a<1，0≤a<1.
综上，实数a的取值范围是(－3，1)．]
指数函数性质的综合应用
[典例5] (1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
(3)不等式4x－2x+1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________．
(1)1 (2)(－∞，4] (3)(1，＋∞) [(1)法一(定义法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，
所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.
法二(取特殊值检验法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－a2-2＝2a－12，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
法三(转化法)：由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2-0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，+∞上单调递增，在区间-∞，m2上单调递减．而y＝2t是增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].
(3)原不等式可化为a>－4x＋2x+1对x∈R恒成立，
令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x+1＝－t2＋2t＝-t-12＋1≤1，当t＝1时，ymax＝1，∴a>1.]
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
[跟进训练]
3．(1)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝12-1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
(2)若函数f(x)＝13ax2＋2x＋3的值域是0，19 ，则f(x)的单调递增区间是________．
(1)D (2)(－∞，－1] [(1)y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，
∵y＝2x在定义域内为增函数，∴y1>y3>y2.
(2)∵y＝13t是减函数，且f(x)的值域是0，19，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，
则a>0且12a-224a＝2，解之得a＝1，
因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，
故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].]
课时分层作业(十) 指数与指数函数
一、选择题
1．化简94 12－(9.6)0－278-23＋232等于( )
A．32 B．1
C．12 D．23
C [原式＝322 12－1－323-23＋232＝32－1－49 +49＝12.]
2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．bC [由指数函数y＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，所以b3．若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则( )
A．a>1，b>1 B．a>1，0C．01 D．0D [根据图象，函数f(x)＝ax－b是单调递减的，
所以函数的底数a∈(0，1)，根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0，1)，解得b∈(0，1)，即a∈(0，1)，b∈(0，1)．]
4．若2x2＋1≤14x-2，则函数y＝2x的值域是( )
A．18，2 B．18，2
C．-∞，18 D．[2，＋∞)
B [因为2x2＋1≤14x-2＝24-2x，所以x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以函数y＝2x的值域是[2-3，2]，即18，2.故选B.]
5．(多选)(2022·潍坊三模)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是( )
A B C D
ABD [由指数函数图象知，函数为增函数，即a>1，且当x＝1时，y＝2，即a＝2，
则A项，y＝12x的图象，满足条件，
B项，y＝x-2＝1x2的图象，满足条件，
C项，y＝2|x|，当x>0时，为增函数，不满足条件．
D项，y＝|lg2x|的图象，满足条件，故选ABD.]
6．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2，1) B．(－4，3)
C．(－3，4) D．(－1，2)
D [原不等式变形为m2－m<12x，
因为函数y＝12x在(－∞，－1]上是减函数，
所以12x≥12-1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m<12x恒成立等价于m2－m<2，解得－1二、填空题
7．已知函数f(x)＝4＋2ax-1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(1，6) [由于函数y＝ax的图象过定点(0，1)，
当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，
故函数f(x)＝4＋2ax-1的图象恒过定点P(1，6)．]
8．设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________．
g(a)>g(b－1) [由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，
又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1.
则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，故g(a)>g(1)＝g(b－1)．]
9．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为54，则函数y＝3a2x-1在[0，1]上的最大值为________．
12 [因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域上是单调函数，又y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为54，所以a0＋a1＝1＋a＝54，解得a＝14，所以y＝3a2x-1＝3·142x-1＝12·116x，因为函数y＝116x在定义域上为减函数，所以y＝12·116x在[0，1]上为减函数，所以f(x)＝12·116x在[0，1]上的最大值为f(0)＝12.]
三、解答题
10．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式1ax＋1bx－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)因为f(x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，
所以b·a=6，b·a3=24.
所以a2＝4，
又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，12x＋13x－m≥0恒成立，
即m≤12x＋13x在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝12x与y＝13x在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝12x＋13x在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝12x＋13x有最小值56，所以m≤56，即m的取值范围是-∞，56 .
11．已知定义域为R的函数f(x)＝-2x+b2x+1+a是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
[解] (1)因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0，即-1+b2+a＝0，解得b＝1.
从而有f(x)＝-2x+12x+1+a.
又由f(1)＝－f(－1)知-2+14+a＝－-12+11+a，解得a＝2.
所以a＝2，b＝1．经验证满足f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)＝-2x+12x+1+2＝－12+12x+1，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－13.
故k的取值范围为-∞，-13.
12．(多选)已知函数f(x)＝ex+e-x2，则( )
A．f(x)为偶函数
B．f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减
C．f(x)没有零点
D．f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增
AC [对于A, 因为该函数的定义域为R，f(－x)＝e-x+ex2＝f(x)，所以函数f(x)＝ex+e-x2为偶函数，故A正确；对于C，由基本不等式可得f(x)≥12×2ex·e-x＝1，当且仅当x＝0时，等号成立，所以f(x)没有零点，故C正确，结合偶函数性质可知，B，D错误．故选AC.]
13．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝2x+32x+1，则函数y＝[f(x)]的值域为( )
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
D [f(x)＝2x+32x+1＝2x+1+22x+1＝1＋22x+1，
因为2x>0，所以1＋2x>1，
所以0<12x+1<1，则0<22x+1<2，
所以1<1＋22x+1<3，即1当1综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}，故选D.]
14．已知函数f(x)＝ex－1ex，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
[－2，1] [因为f(x)＝ex－1ex，定义域为R，
f(－x)＝e－x－1e-x＝1ex－ex＝－f(x)，
所以f(x)＝ex－1ex为奇函数．
又因为f(x)＝ex－1ex在R上为增函数，
所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)
≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)，
即a－2≤－a2，a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1.]
15．定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)＝14x+a2x＋1.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是不是有界函数，请说明理由；
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
[解] (1)设y＝f(x)＝14x+a2x＋1.
当a＝－1时，y＝f(x)＝122x－12x＋1(x＜0)，
令t＝12x，x＜0，则t＞1，
y＝t2－t＋1＝t-122＋34，
∴y＞1，即函数f(x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)，
∴不存在常数M＞0，使得|f(x)|≤M成立．
∴函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．
(2)由题意知，|f(x)|≤3对x∈[0，＋∞)恒成立，
即－3≤f(x)≤3对x∈[0，＋∞)恒成立，
令t＝12x，x≥0，则t∈(0，1].
∴－t+4t≤a≤2t－t对t∈(0，1]恒成立，
∴-t+4tm≤a≤2t -tm.
设h(t)＝－t+4t，p(t)＝2t－t，t∈(0，1]，
∵h(t)在(0，1]上单调递增，p(t)在(0，1]上单调递减，
∴h(t)在(0，1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0，1]上的最小值为p(1)＝1.
∴实数a的取值范围为[－5，1].
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数