高考数学一轮复习第2章第4课时函数性质的综合应用学案

这是一份高考数学一轮复习第2章第4课时函数性质的综合应用学案，共18页。

[典例1] (1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]
(2)(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是( )
A．f(b)－f(－a)B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
C．f(a)＋f(－b)D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)
(1)D (2)AC [(1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图①所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图②所示．
图① 图②
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.
(2)函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，
由a>b>0，得f(a)对于A，f(b)－f(－a)0上成立)，所以A正确；
对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与f(b)<0矛盾，所以B错误；
对于C，f(a)＋f(－b)对于D，f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]>0，这与f(a) 1．比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2．对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解．
[跟进训练]
1．(1)已知函数f(x＋2)是定义域为R的偶函数，若f(x)在(2，＋∞)上单调递减，则不等式f(ln x)＜f(1)的解集是( )
A．(0，1)∪(3，＋∞) B．(1，3)
C．(0，e)∪(e3，＋∞) D．(e，e3)
(2)(2023·广东深圳高三期中)已知函数f(x)满足：①∀x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，②∀x＞0，f(x)＞0，则( )
A．f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减
B．f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增
C．f(x)是奇函数且单调递减
D．f(x)是奇函数且单调递增
(1)C (2)D [(1)因为f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度得到f(x)的图象，且f(x＋2)的图象关于y轴对称，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．
由f(x)在(2，＋∞)上单调递减可得f(x)在(－∞，2)上单调递增，由f(ln x)＜f(1)，所以ln x＜1或ln x＞3，解得0＜x＜e或x＞e3.
(2)因为∀x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
所以，令x＝y＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
设x1＞x2＞0，则x1＝x2＋(x1－x2)，所以f(x1)＝f(x2)＋f(x1－x2)，
即f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)，
因为∀x＞0，f(x)＞0，x1－x2＞0，
所以f(x1－x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)在R上单调递增，
综上，f(x)是奇函数且单调递增．
故选D.]
【教师备选题】
已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－lg25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
C [易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又3＞lg25.1＞2＞20.8，且a＝g(－lg25.1)＝g(lg25.1)，
∴g(3)＞g(lg25.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.]
考点二 函数的奇偶性与周期性
[典例2] (1)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f92＝( )
A．－94 B．－32
C．74 D．52
(2)(2022·陕西安康模拟)已知偶函数f(x)对任意的x∈R都有f(x＋2)－f(x)＝f(1)，且f(0)＝8，则f(99)＋f(100)＝( )
A．0 B．6
C．8 D．16
(1)D (2)C [(1)由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0 ①.由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6 ②.
根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2.
根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f92＝f12＝－f32＝2×322－2＝52.
(2)因为f(x)为偶函数，f(x＋2)－f(x)＝f(1)，
所以f(－1＋2)－f(－1)＝f(1)，解得f(1)＝0，
所以f(x＋2)＝f(x)，那么f(x)的周期为2，
所以f(100)＝f(0)＝8，f(99)＝f(1)＝0，
f(99)＋f(100)＝8，故A，B，D错误．
故选C.]
周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
[跟进训练]
2．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(x＋8)＋f(x)＝0，且f(5)＝5，则f(2 019)＋f(2 024)＝( )
A．－5 B．5
C．0 D．4 043
B [由f(x＋8)＋f(x)＝0，得f(x＋8)＝－f(x)，所以f(x＋16)＝－f(x＋8)＝f(x)，故函数y＝f(x)是以16为周期的周期函数．在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝0，得f(8)＋f(0)＝0，因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0．故f(8)＝0．故f(2 024)＝f(16×126＋8)＝f(8)＝0．又在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝－3，得f(5)＋f(－3)＝0，得f(5)＝－f(－3)＝f(3)＝5，则f(2 019)＝f(16×126＋3)＝f(3)＝5，所以f(2 019)＋f(2 024)＝5．故选B.]
考点三 函数的奇偶性与对称性
[典例3] (1)(2023·沈阳模拟)已知函数f(x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[－1，1]时，f(x)＝ax－1，则f(2 023)＝( )
A．－1 B．－2
C．0 D．2
(2)定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则( )
A．f(11)B．f(21)C．f(11)D．f(21)(1)B (2)A [(1)根据题意，函数f(x－1)(x∈R)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为x＝－1，则有f(x)＝f(－2－x)，又由函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(x)＝－f(2－x)，则有f(－2－x)＝－f(2－x)，则f(x＋4)＝－f(x)，则有f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为8的周期函数，又f(1)＝0，则a－1＝0，即a＝1，则当x∈[－1，1]时，f(x)＝x－1，f(－1)＝－2，则f(2 023)＝f(－1＋253×8)＝f(－1)＝－2．故选B.
(2)函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，
所以－f(－x)＝f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0), f(21)＝f(1)，
∵f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，
则f(x)在(－2，2)上单调递增，∴f(－1)即f(11) 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
[跟进训练]
3．(2022·海口二模)已知函数fx是定义在R上的奇函数，函数gx＝x-2fx的图象关于直线x＝2对称，若f-1＝－1，则g3＝( )
A．5 B．1
C．－1 D．－5
B [因为gx的图象关于直线x＝2对称，则
gx+2＝g2-x，
又g2-x＝-xf2-x＝xf2-x，
且gx+2＝xfx+2，
所以xf2-x＝xf2+x对任意的x∈R恒成立，
所以f2-x＝f2+x，因为f-1＝－1且fx为奇函数，所以f3＝f2+1＝f2-1＝－f-1＝1，
因此，g3＝3-2f3＝f1＝1．故选B.]
考点四 函数的对称性与周期性
[典例4] (多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是( )
A．f(x)为偶函数
B．f(x)在[－6，－3]上单调递减
C．f(x)的图象关于直线x＝3对称
D．f(100)＝9
ACD [f(x)的图象关于直线x＝－3对称，
则f(－x)＝f(x－6)，
又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6，
∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故A正确；
当x∈[0，3]时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，
∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B错误；
∵f(x)的图象关于直线x＝－3对称且T＝6，
∴f(x)的图象关于直线x＝3对称，故C正确；
f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝9，故D正确．]
函数的周期性与对称性的关系
(1)如果f(x)的图象关于点(a，0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，则函数f(x)的周期T＝4|a－b|.(类比y＝sin x的图象)
(2)如果f(x)的图象关于点(a，0)对称，且关于点(b，0)(a≠b)对称，则函数f(x)的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sin x的图象)
(3)若函数f(x)关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sin x的图象)
[跟进训练]
4．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④f(x)的图象关于直线x＝1对称．
其中所有正确命题的序号是________．
①②④ [在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，
则有f(t＋2)＝f(t)，
因此2是函数f(x)的周期，故①正确；
当x∈[0，1]时，f(x)＝2x单调递增，
根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上单调递减，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增，故②正确；
由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误；
f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又T＝2，∴f(x)＝f(x＋2)，∴f(－x)＝f(x＋2)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称，故④正确．]
课时分层作业(八) 函数性质的综合应用
一、选择题
1．(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f-13＝13，则f53＝( )
A．－53 B．－13
C．13 D．53
C [因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f(1＋(1＋x))＝f(－(1＋x))＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，f53＝f53-2＝f-13＝13.故选C.]
2．已知函数fx＝1x-1x-2，则( )
A．fx在-∞，2上单调递增
B．fx在2，+∞上单调递减
C．y＝fx的图象关于直线x＝1对称
D．y＝fx的图象关于点1，0对称
C [因为f(－2)＝1-2-1-2-2＝－14，f(－1)＝－1－1-1-2＝－23，
所以f(－2)>f(－1)，所以A错误；
因为f(3)＝13－1＝－23，f(4)＝14-14-2＝－14，
所以f(3)因为f(2－x)＝12-x-12-x-2＝12-x+1x＝1x-1x-2＝f(x)，
所以y＝fx的图象关于直线x＝1对称，故C正确；
在f(x)＝1x-1x-2的图象上取一点-2，-14，则其关于点(1，0)对称的点为4，14，因为f(4)＝－14≠14，所以点4，14不在函数f(x)的图象上，故y＝fx的图象不关于点1，0对称，故D错误．故选C.]
3．(2023·临沂模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有( )
A．f32＜f-14＜f14
B．f14＜f-14＜f32
C．f32＜f14＜f-14
D．f-14＜f32＜f14
C [因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知f32＜f14＜f-14.故选C.
]
4．函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时f(x)＝mx＋n.若f(2)＋f(3)＝5，则f72＝( )
A．72 B．52
C．－52 D．－32
C [由f(x＋2)为偶函数，则f(x＋2)＝f(2－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f3＝f1＝m＋n ，由f(x＋2)＝－f(x)，
令x＝1，可得f(3)＝－f(1)，
所以f1＝－f1，则f1＝0，即m＝－n ，
由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0，可得f(2)＝－f(0)，
又f0＝n，所以f(2)＝－n，
所以f(2)＋f(3)＝－n＝5，则n＝－5，m＝5.
因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f72＝f12＝12m＋n＝12×5－5＝－52.故选C.]
5．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
C [法一：∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
法二：由题意可设f(x)＝2sin π2x，作出f(x)的部分图象如图所示．
由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.]
6．已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：
甲：f(x)是奇函数；
乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；
丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减；
丁：函数f(x)的周期为2.
如果只有一个假命题，则该命题是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
D [由函数f(x)的特征可知，函数在区间[－1，1]上单调递减，其中该区间的宽度为2，所以函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减与函数f(x)的周期为2互相矛盾，即丙和丁中有一个为假命题．若甲、乙成立，故f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x＋2)＝f(1－(1＋x))＝f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期为4．即丁为假命题，由于只有一个假命题，故选D.]
7．(多选)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x＋3)是偶函数 D．f(x)＝f(x＋4)
CD [∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2)．
∵f(x－1)是偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)，
从而f(－x)＝f(x－2)．
∴f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∵f(－x－1)＝f(x－1)，
∴f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，
即f(－x＋3)＝f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数．]
8．(多选)(2022·盐城三模)已知函数fx为R上的奇函数，gx＝fx+1为偶函数，下列说法正确的有( )
A．fx图象关于直线x＝－1对称
B．g2 023＝0
C．gx的最小正周期为4
D．对任意x∈R都有f2-x＝fx
ABD [由fx的对称中心为0，0，对称轴为x＝1，
则fx的图象也关于直线x＝－1对称，且f(x)＝f(2－x)，A，D正确；由A分析知：f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，故f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
所以fx的周期为4，则g2 023＝f2 024＝f0＝0，B正确；但不能说明gx最小正周期为4，C错误．
故选ABD.]
二、填空题
9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，
f(3－x)＝f(x)，则f(2 025)＝________．
0 [用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以T＝6，所以f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)．因为f(3－x)＝f(x)，所以f(3)＝f(0)＝0．所以f(2 025)＝0.]
10．(2022·全国乙卷)若fx＝ln a+11-x＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
－12 ln 2 [因为函数fx＝ln a+11-x＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由a＋11-x≠0可得，1-xa+1-ax≠0，所以x＝a+1a＝－1，解得a＝－12，即函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，1)∪(1，+∞)，再由f0＝0可得，b＝ln 2．即fx＝ln -12+11-x＋ln 2＝ln 1+x1-x，在定义域内满足f-x＝－fx，符合题意．]
11．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：
①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
①②③ [∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，故①正确；又f(4－x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．]
12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1，0)对称．以下关于f(x)的结论：
①f(x)是周期函数；
②f(x)在(0，2)上单调递减；
③f(x)满足f(x)＝f(4－x)；
④f(x)＝cs πx2是满足条件的一个函数．
其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．
①③④ [因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，故有f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故①正确．由f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替换成－x可得f(x)＝f(4－x)，故③正确．f(x)＝cs πx2是定义在R上的偶函数，(1，0)是它的图象的一个对称中心，可得④正确．取f(x)＝－cs πx2时满足题设条件，但它在(0，2)上单调递增，故②错误．]
13．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7．若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则
k=122fk＝( )
A．－21 B．－22
C．－23 D．－24
D [因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以g(2－x)＝g(x＋2)，
因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)，
因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，
代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，
所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，
f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10.
因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3.
因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7，又因为f(x)＋g(2－x)＝5，
联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12，
所以y＝g(x)的图象关于点(3，6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g(3)＝6，
因为f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1.
所以k=122fk
＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋f(6)＋…＋f(22)]＝－1－3－10－10＝－24.
故选D.]
14．已知函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，若实数a满足f(a)＋f(1－2a)>0，则a的取值范围是________．
(0，1) [对于函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，
有1+x>0，1-x>0，解得－1则函数y＝f(x)的定义域为(－1，1)，定义域关于原点对称，
f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)为奇函数，
由于函数y＝ln (1＋x)在区间(－1，1)上单调递增，
函数y＝ln (1－x)在区间(－1，1)上单调递减，
所以函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)在(－1，1)上单调递增，
由f(a)＋f(1－2a)>0，得f(a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，
所以-12a-1，解得0因此，实数a的取值范围是(0，1)．]