高考数学统考一轮复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性学案

　函数的奇偶性与周期性

[考试要求]　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.

3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

1．函数的奇偶性

提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．

(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：

①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1.

②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1.

2．函数的周期性

(1)周期函数

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．

提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．

1．函数奇偶性的四个重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

(4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．

2．周期性的几个常用结论

对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．

3．函数的图象的对称性

(1)函数y＝f(x)，若其图象关于直线x＝a对称(a＝0时，f(x)为偶函数)，则

①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)．

(2)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a,0)中心对称(a＝0时，f(x)为奇函数)，则

①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)；

③f(2a－x)＝－f(x)．

(3)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则

①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x)＝2b.

(4)函数f(x)与g(x)的图象关于直线x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)．

(5)函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f(x)．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数． (　　)

(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． (　　)

(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(　　)

(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、教材习题衍生

1．下列函数中为偶函数的是(　　)

A．y＝x3　　　　　　　　 B．y＝x2

C．y＝|ln x|   D．y＝2－x

B　[A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B．]

2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.

－2　[f(1)＝1×2＝2，

又f(x)为奇函数，

∴f(－1)＝－f(1)＝－2.]

3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.

1　[f＝f＝－4×＋2＝1.]

4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．

(－2,0)∪(2,5]　[由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；

当2＜x≤5时，f(x)＜0，

又f(x)是奇函数，

∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.

综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．]

考点一　函数奇偶性的判断              

[典例1]　(1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

(2)判断下列函数的奇偶性：

①f(x)＝＋；

②f(x)＝；

③f(x)＝

(1)C　[令F1(x)＝f(x)·g(x)，

则F1(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)

＝－F1(x)，

∴f(x)g(x)为奇函数，故A错误．

令F2(x)＝|f(x)|g(x)，则F2(－x)＝|f(－x)|g(－x)

＝|f(x)|g(x)＝F2(x)，∴F2(x)为偶函数，故B错误．

令F3(x)＝f(x)|g(x)|，则F3(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F3(x)，∴F3(x)为奇函数，故C正确．

令F4(x)＝|f(x)g(x)|，则F4(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|＝F4(x)，∴F4(x)为偶函数，故D错误．]

(2)[解]　①由得x2＝3，解得x＝±，

即函数f(x)的定义域为{－，}，

从而f(x)＝＋＝0.

因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，

∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．

②由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.

又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数．

③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

∵当x＜0时，－x＞0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x＞0时，－x＜0，

则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．

点评：(1)本例T(2)第②小题求出定义域后，利用定义域去掉绝对值号是解题的关键．

(2)y＝ln，y＝lg(＋x)都是奇函数．

1．下列函数既是奇函数又是增函数的是(　　)

A．y＝－x2＋1   B．y＝

C．y＝－   D．y＝x|x|

D　[对于A，f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，函数f(x)是偶函数，不是奇函数，排除A．

对于B，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，函数为非奇非偶函数，排除B．

对于C，函数是奇函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增函数，排除C．

对于D，f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，函数为奇函数，又y＝x|x|＝，则函数为增函数，故选D．]

2．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　)

A．|f(x)|是偶函数   B．－f(x)是奇函数

C．f(x)|f(x)|是奇函数   D．f(|x|)f(x)是偶函数

D　[∵f(x)＝，

则f(－x)＝＝－f(x)．

∴f(x)是奇函数．

∵f(|－x|)＝f(|x|)，

∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．]

考点二　函数奇偶性的应用                 

　利用函数的奇偶性求值

[典例2－1]　(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝_________________________.

(2)(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.

(1)－3　(2)－2　[(1)法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，

∴x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，

则f(ln 2)＝e－aln 2＝8，

∴－aln 2＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.

法二：由f(x)是奇函数可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln 2)＝－f＝－(－e)＝8，∴aln ＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.

(2)∵f(a)＋f(－a)＝ln(－a)＋1＋ln(＋a)＋1

＝ln(1＋a2－a2)＋2＝2.

∴f(－a)＝2－f(a)＝2－4＝－2.]

点评：本例T(2)中含有奇函数的解析式，解答此类题目时可先求f(x)＋f(－x)的值，再求所求．

　求函数解析式

[典例2－2]　(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)

A．e－x－1   B．e－x＋1

C．－e－x－1   D．－e－x＋1

D　[当x<0时，－x>0，

∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.

又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.

故选D．]

点评：先设x为待求区间上的任意量，然后将－x转化到已知区间上，从而求出f(－x)，然后利用奇偶性求f(x)．

　利用奇偶性求参数的值

[典例2－3]　若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.

±1　[法一：(定义法)因为函数f(x)＝在定义域上为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－，

化简得(k2－1)(22x＋1)＝0，

即k2－1＝0，解得k＝±1，经检验k＝±1时，函数f(x)为奇函数．

法二：(特值法)因为函数f(x)＝为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＝－，

即＝.整理得k2＝1，解得k＝±1.经检验，当k＝±1时，函数f(x)为奇函数．]

点评：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解．用两种方法求得参数后，一定要注意验证．

1．函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，则f(log2 )等于(　　)

A．    B．－9    C．－8    D．－

C　[由f(0)＝40＋t＝0得t＝－1.

则f(log2 )＝f(－log2 3)＝－f(log2 3)＝－(4－1)＝－2＋1＝－8.故选C．]

2．已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.

0　[设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数．

又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.]

3．函数f(x)＝＋log2为奇函数，则实数a＝____________.

1　[∵函数f(x)＝＋log2为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0.

即－＋log2＋＋log2＝0，

即log2＝0.

∴·＝＝1，则1－a2x2＝1－x2，∴a2＝1，即a＝±1.

当a＝－1时，f(x)＝＋log2，

则f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠1}，

此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；

当a＝1时，f(x)＝＋log2，定义域为{x|－1＜x＜1且x≠0}，满足题意，∴a＝1.]

考点三　函数的周期性、图象的对称性及应用   

[典例3]　(1)(2020·南昌模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(4－x)＝f(x)，当0＜x＜2时，f(x)＝2x＋2－x，则f(5)＝(　　)

A．3    B．－3    C．7    D．－7

(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋1)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝________.

(1)D　(2)1 011　[(1)法一：(利用对称性)：由f(4－x)＝f(x)得函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(5)＝f(－1)，又函数f(x)是奇函数，则f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2－1)＝－7，故选D．

法二：(利用等式转化)：由f(4－x)＝f(x)得f(5)＝f[4－(－1)]＝f(－1)＝－f(1)＝－(23－1)＝－7.故选D．

(2)由f(x)＝－f(x＋1)得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数，又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，

∴f(0)＝0，f(1)＝1.

∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 020)＝0，

f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 021)＝1，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝1 011.]

点评：当自变量较小时，可直接利用对称性或等式转化自变量，无需求出周期．

1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 021)＋f(2 019)的值为(　　)

A．0    B．－4    C．－2    D．2

A　[当x≥0时，f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2 021)＝f(2 021)＝f(1)＝log2 2＝1，f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，所以f(－2 021)＋f(2 019)＝0.故选A．]

2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝(　　)

A．2 021    B．0    C．1    D．－1

C　[由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)是奇函数．

所以f(1)＝1，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(4)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＝1，故选C．]