2021-2022学年上海中学高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年上海中学高一（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若函数f（x）满足f（x+1）＝2x﹣1，则f（4）＝ ．
2．函数f（x）＝ln（4﹣x2）的单调增区间是 ．
3．已知θ是第四象限角，，则 ．
4．函数f（x）＝lg4（4x）⋅lg2（2x）的最小值为 ．
5．已知函数f（x）＝xα（1≤x≤2）的最大值与最小值之差为，则α＝ ．
6．已知f（x）是偶函数，且方程f（x﹣3）＝0有五个解，则这五个解之和为 ．
7．不等式（4﹣x）﹣2021＞（x﹣2）﹣2021的解为 ．
8．设f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的严格增函数．若f（2a2﹣1）＞f（a+2），则a的取值范围是 ．
9．若，记P＝cs2θ﹣sin2θ，Q＝cs3θ﹣sin3θ，R＝cs4θ﹣sin4θ，则P、Q、R的大小关系为 ．
10．在函数的图像上，有 个横、纵坐标均为整数的点．
11．设，若存在a∈R使得关于x的方程（f（x））2+af（x）+b＝0恰有六个解，则b的取值范围是 ．
12．若定义域为I＝（0，m]的函数f（x）＝ex满足：对任意能构成三角形三边长的实数a，b，c∈I，均有f（a），f（b），f（c）也能构成三角形三边长，则m的最大值为 ．（e≈2.718281828是自然对数的底）
二、选择题
13．﹣2021°的始边是x轴正半轴，则其终边位于第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
14．设函数f（x）的定义域为R．则“f（x）在R上严格递增”是“g（x）＝f（x）+x在R上严格递增”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
15．将函数f（x）＝lg（2x）的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到g（x）的函数图像，则g（x）＝（ ）
A．lg（2x+1）﹣1B．
C．lg（2x﹣1）﹣1D．
16．设函数f（x）＝2x+x，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在f（x）的图像上，且x3﹣x2＝x2﹣x1≠0．对于△ABC，下列说法正确的是（ ）
①一定是钝角三角形；
②可能是直角三角形；
③不可能是等腰三角形；
④可能是等腰三角形．
A．①③B．①④C．②③D．②④
三、解答题
17．求函数的定义域、值域与单调区间．
18．已知a＞0，b∈R，且函数有奇偶性，求a，b的值．
19．某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x与利润y（单位：万元）分别满足函数关系与．
（1）求k1，a1与k2，a2的值．
（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．
20．设函数，其中a∈R．
（1）若当时f（x）取到最小值，求a的取值范围．
（2）设f（x）的最大值为M（a），最小值为L（a），求g（a）＝M（a）﹣L（a）的函数解析式，并求g（a）的最小值．
21．对于函数f（x），若实数x0满足f（x0）＝x0，则称x0是f（x）的不动点．现设f（x）＝x2+a．
（1）当a＝﹣2时，分别求f（x）与f（f（x））的所有不动点；
（2）若f（x）与f（f（x））均恰有两个不动点，求a的取值范围；
（3）若f（x）有两个不动点，f（f（x））有四个不动点，证明：不存在函数g（x）满足f（x）＝g（g（x））．
2021-2022学年上海中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．若函数f（x）满足f（x+1）＝2x﹣1，则f（4）＝ 4 ．
【分析】法一：利用换元法，先求出函数解析式，然后把x＝4代入可求；
法二：直接令x+1＝4可求x，代入即可求解．
【解答】解：法一：令t＝x+1，则x＝t﹣1，
因为f（x+1）＝2x﹣1，
所以f（t）＝2t﹣2，
则f（4）＝4，
法二：令x+1＝4，则x＝3，
所以f（4）＝22＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
2．函数f（x）＝ln（4﹣x2）的单调增区间是 （﹣2，0] ．
【分析】由对数式的真数大于0求得函数的定义域，再求出内层二次函数的增区间，则答案可求．
【解答】解：由4﹣x2＞0，得﹣2＜x＜2，
令t＝4﹣x2，该函数在（﹣2，0]上单调递增，
而y＝lnt是定义域内的增函数，
∴函数f（x）＝ln（4﹣x2）的单调增区间是（﹣2，0]．
故答案为：（﹣2，0]．
【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是基础题．
3．已知θ是第四象限角，，则 ．
【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．
【解答】解：因为θ是第四象限角，，
则sinθ．
故答案为：．
【点评】本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
4．函数f（x）＝lg4（4x）⋅lg2（2x）的最小值为 ．
【分析】化简函数f（x）＝2（lg4x）2+3lg4x+1，令t＝lg4x，t∈R，则f（t）＝2t2+3t+1，结合二次函数的图象与性质，即可得出答案．
【解答】解：f（x）＝lg4（4x）⋅lg2（2x）＝（lg4x+1）（lg2x+1）＝（lg4x+1）（2lg4x+1）＝2（lg4x）2+3lg4x+1，
令t＝lg4x，t∈R，则f（t）＝2t2+3t+1＝2（t）2，二次函数f（t）的图象开口向上，且对称轴为直线t，
∴当t时，f（t）min＝f（），即函数f（x）的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查函数的最值和对数的运算，换元法是解题的关键，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5．已知函数f（x）＝xα（1≤x≤2）的最大值与最小值之差为，则α＝ 或﹣1 ．
【分析】根据幂函数的性质，分类讨论α＞0，α＝0，α＜0时，f（x）的单调性，即可得出答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝xα（1≤x≤2），
∴当α＞0时，f（x）在[1，2]上单调递增，可得2α﹣1，解得α；
当α＝0时，f（x）＝1，显然不符合题意；
当α＜0时，f（x）在[1，2]上单调递减，可得1﹣2α，解得α＝﹣1，
综上所述，α或﹣1，
故答案为：或﹣1．
【点评】本题考查幂函数的图象与性质，考查分类讨论思想和转化思想，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
6．已知f（x）是偶函数，且方程f（x﹣3）＝0有五个解，则这五个解之和为 15 ．
【分析】由偶函数的图象关于y轴对称，结合图象平移可得y＝f（x﹣3）的图象关于直线x＝3对称，进而得到所求和．
【解答】解：由f（x）是偶函数，可得f（x）的图象关于y轴对称．
又y＝f（x﹣3）的图象可由y＝f（x）的图象向右平移3个单位得到，
所以y＝f（x﹣3）的图象关于直线x＝3对称，
所以方程f（x﹣3）＝0的五个解中有一个为3，其余两对关于x＝3对称，
则这五个解的和为3+6+6＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查函数的奇偶性和对称性的运用，考查运算能力，属于基础题．
7．不等式（4﹣x）﹣2021＞（x﹣2）﹣2021的解为 {x|x＜2或3＜x＜4} ．
【分析】由已知结合幂函数的性质即可求解．
【解答】解：由（4﹣x）﹣2021＞（x﹣2）﹣2021得①或②或③，
解①得x＜2，
②得3＜x＜4，
③得x不存在，
故不等式的解集为{x|x＜2或3＜x＜4}．
故答案为：{x|x＜2或3＜x＜4}．
【点评】本题主要考查了幂函数的性质在不等式求解中的应用，属于基础题．
8．设f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的严格增函数．若f（2a2﹣1）＞f（a+2），则a的取值范围是 {a|a＜﹣1} ．
【分析】由题意可得2a2﹣1，a+2的范围，进而求出a的范围．
【解答】解：由题意可得，解得，即a＜﹣1，
故答案为：{a|a＜﹣1}．
【点评】本题考查函数的单调性的应用，属于基础题．
9．若，记P＝cs2θ﹣sin2θ，Q＝cs3θ﹣sin3θ，R＝cs4θ﹣sin4θ，则P、Q、R的大小关系为 Q＞P＝R ．
【分析】化简R＝cs4θ﹣sin4θ＝（cs2θ﹣sin2θ）（cs2θ+sin2θ）＝cs2θ﹣sin2θ，再作差比较Q与P的大小即可．
【解答】解：R＝cs4θ﹣sin4θ
＝（cs2θ﹣sin2θ）（cs2θ+sin2θ）
＝cs2θ﹣sin2θ＝P，
Q﹣P＝（cs3θ﹣sin3θ）﹣（cs2θ﹣sin2θ）
＝（csθ﹣sinθ）（cs2θ+sin2θ+sinθcsθ）﹣（csθ﹣sinθ）（csθ+sinθ）
＝（csθ﹣sinθ）（1+sinθcsθ﹣sinθ﹣csθ）
＝（csθ﹣sinθ）（1﹣sinθ）（1﹣csθ）
∵，
∴csθ﹣sinθ＞0，1﹣sinθ＞0，1﹣csθ＞0，
∴Q＞P，
故Q＞P＝R；
故答案为：Q＞P＝R．
【点评】本题考查了三角恒等变换及作差法的应用，属于中档题．
10．在函数的图像上，有 3 个横、纵坐标均为整数的点．
【分析】由题可得函数为减函数，利用赋值法结合条件及函数的性质即得．
【解答】解：因为，
所以函数在R上单调递减，
又，
，且当x＞3时，f（x）∈（0，1），
当x＜0时，令x＝﹣n，n∈N*，
则，
综上，函数的图像上，有3个横、纵坐标均为整数的点．
故答案为：3．
【点评】本题考查了赋值法的应用以及指数函数的单调性的应用，属于中档题．
11．设，若存在a∈R使得关于x的方程（f（x））2+af（x）+b＝0恰有六个解，则b的取值范围是 （42，+∞） ．
【分析】分类去绝对值符号，可作f（x）的图象，依据图象可求x＜0或x＞0的最小值，令t＝f（x），则t2+at+b＝0，令g（t）＝t2+at+b，由题意可得，可求b的取值范围．
【解答】解：当x≥1时，f（x）＝x1x+1，
当0＜x＜1时，f（x）＝x1＝x1，
当x＜0时，f（x）＝﹣x1x1，
则f（x）的图象如图所示：
当x＜0时，f（x）＝﹣x1x1≥21，
当x＞0时，f（x）min＝2，
令t＝f（x），则t2+at+b＝0，
∵关于x的方程（f（x））2+af（x）+b＝0恰有六个解，
∴关于t的方程t2+at+b＝0恰有两个解t1，t2，设t1＜t2，
则t1∈（2，21），t2∈（21，+∞），
令g（t）＝t2+at+b，则，
∴a且a，
要存在a满足条件，则，解得b＞42．
∴b的取值范围是（42，+∞）．
故答案为：（42，+∞）．
【点评】本题考查分类讨论思想的应用，考查数形结合思想，考查根的分布，属中档题．
12．若定义域为I＝（0，m]的函数f（x）＝ex满足：对任意能构成三角形三边长的实数a，b，c∈I，均有f（a），f（b），f（c）也能构成三角形三边长，则m的最大值为 ln4 ．（e≈2.718281828是自然对数的底）
【分析】不妨设0＜a≤b≤c，利用函数的单调性，得出f（a），f（b），f（c）的大小关系，结合三角形的三边关系和基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝ex，定义域为I＝（0，m]，
∴f（x）在（0，m]上单调递增，即f（x）∈（1，em]，
由题意可知任意能构成三角形三边长的实数a，b，c∈I，不妨设0＜a≤b≤c，均有f（a）＝ea，f（b）＝eb，f（c）＝ec也能构成三角形三边长，
∴a+b＞c，ea+eb＞ec，
又ea+eb≥22ec，
∴4ea+b＞e2c，
∵a+b＞c，
∴4ec≥e2c，即ec≤4，解得c≤ln4，
∴m≤ln4，
故m的最大值为ln4，
故答案为：ln4．
【点评】本题考查函数的值域、三角形的三边关系及基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、选择题
13．﹣2021°的始边是x轴正半轴，则其终边位于第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】由题意，利用终边相同的角、象限角的定义，得出结论．
【解答】解：由于﹣2021°＝﹣6×360°+139°，它的终边与139°终边相同，
而139°终边在第二象限，故﹣2021°的终边在第二象限，
故选：B．
【点评】本题主要考查终边相同的角、象限角的定义，属于基础题．
14．设函数f（x）的定义域为R．则“f（x）在R上严格递增”是“g（x）＝f（x）+x在R上严格递增”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【分析】由题意可得“f（x）在R上严格递增”是“g（x）＝f（x）+x在R上严格递增”充分不必要条件
【解答】解：“f（x）在R上严格递增”可得“g（x）＝f（x）+x在R上严格递增”，所以f（x）在R上严格递增”是“g（x）＝f（x）+x在R上严格递增的”充分条件；
但是“g（x）＝f（x）+x在R上严格递增不一定f（x）在R上严格递增”，所以“f（x）在R上严格递增”是“g（x）＝f（x）+x在R上严格递增”不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查充分不必要条件的判断方法，属于基础题．
15．将函数f（x）＝lg（2x）的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到g（x）的函数图像，则g（x）＝（ ）
A．lg（2x+1）﹣1B．
C．lg（2x﹣1）﹣1D．
【分析】利用函数图像的平移变换及对数的运算即可求解．
【解答】解：将函数f（x）＝lg（2x）的图像向左、向下各平移1个单位长度，
得到g（x）＝lg[2（x+1）]﹣1＝lg2（x+1）﹣lg10＝lg（）的函数图像，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图像的变换，属于基础题．
16．设函数f（x）＝2x+x，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在f（x）的图像上，且x3﹣x2＝x2﹣x1≠0．对于△ABC，下列说法正确的是（ ）
①一定是钝角三角形；
②可能是直角三角形；
③不可能是等腰三角形；
④可能是等腰三角形．
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】结合，得到∠ABC＞90°，所以△ABC一定为钝角三角形，可判定①正确，②错误；根据两点间的距离公式和函数的变化率的不同，得到|AB|＜|BC|，可判定③正确，④不正确．
【解答】解：由题意，函数f（x）＝2x+x为单调递增函数，
因为点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在f（x）的图像上，且x3﹣x2＝x2﹣x1≠0，
不妨设x1＜x2＜x3，
可得，
则，
因为x1＜x2＜x3，可得（x1﹣x2）（x3﹣x2）＜0，
，
又由因为，
所以0，
所以
所以∠ABC＞90°，所以△ABC一定为钝角三角形，所以①正确，②错误；
由两点间的距离公式，可得，
根据指数函数和一次函数的变化率，可得点A到B的变化率小于点B到C点的变化率不相同，所以|AB|＜|BC|，
所以△ABC不可能为等腰三角形，所以③正确，④不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的形状判断，属于中档题．
三、解答题
17．求函数的定义域、值域与单调区间．
【分析】由题意，化简函数的解析式，求出函数的定义域、值域、单调性．
【解答】解：∵对于函数，x2﹣3x+30，
∴x﹣1＞0，即x＞1，故函数的定义域为（1，+∞）．
由f（x）1（当且仅当x﹣1＝1时，取等号），
故函数f（x）的值域为[1，+∞）．
对于f（x）的单调性，即t＝（x﹣1）的单调性，
在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
【点评】本题主要考查函数的定义域、单调性、值域，属于基础题．
18．已知a＞0，b∈R，且函数有奇偶性，求a，b的值．
【分析】由函数的奇偶性的定义和恒等式的性质，解方程可得所求值．
【解答】解：由a＞0，b∈R，且函数有奇偶性，
可得2x﹣a≠0，即x≠lg2a，由于f（x）的定义域关于原点对称，
可得lg2a＝0，即a＝1；
若f（x）为偶函数，可得f（﹣x）＝f（x），即bb，
不恒成立，故f（x）不为偶函数；
若f（x）为奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
即bb，
化为﹣2b1，
解得b．
所以a＝1，b．
【点评】本题考查函数的奇偶性和恒等式的性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
19．某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x与利润y（单位：万元）分别满足函数关系与．
（1）求k1，a1与k2，a2的值．
（2）该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．
【分析】（1）根据已知条件，将图象的点分别代入对应的函数，即可求解．
（2）根据已知条件，求出二次函数，再结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）将（1，1.5），（3，4.5）代入，
则，解得，
将（4，6），（9，9）代入，
则，解得，
故k1＝1.5，a1＝1，k2＝3，a2．
（2）设分配生产乙商品的投资为m（0≤m≤20）万元、甲商品的投资为（20﹣m）万元，总利润为w，
则w，
∵0≤m≤20，
∴，即m＝1时，w取得最大值，
故分配生产甲投资为19万元，乙投资为1万元，此时总利润的最大值为31.5万元．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查二次函数的性质，属于中档题．
20．设函数，其中a∈R．
（1）若当时f（x）取到最小值，求a的取值范围．
（2）设f（x）的最大值为M（a），最小值为L（a），求g（a）＝M（a）﹣L（a）的函数解析式，并求g（a）的最小值．
【分析】（1）法一：f（x）＝（1﹣a）x，分类讨论当1﹣a≤0，f（x）在时单调递减；当1﹣a＞0，利用基本不等式即可得出结论；
法二：求出f'（x），令h（x）＝（1﹣a）x2﹣1，要使当时f（x）取到最小值，则函数f（x）必须先减后增，列出方程组，即可得出答案；
（2）由（1）法二知：求出f'（x），令h（x）＝（1﹣a）x2﹣1，分类讨论当1﹣a≤0，f（x）在[，2]时单调递减；当1﹣a＞0，由h（x）＝0得x，讨论，2，2，结合二次函数的图象与性质，得出f（x）的单调性，即可得出答案．
【解答】解：（1）法一：f（x）＝（1﹣a）x，
当1﹣a＜0，即a＞1，y＝（1﹣a）x在上单调递减和y在上单调递减，
∴f（x）在上单调递减，此时无最小值，不符合题意；
当1﹣a＞0，即a＜1，∵，∴f（x）＝（1﹣a）x22，当且仅当（1﹣a）x，即x，等号成立，
要使当时f（x）取到最小值，则2，解得﹣3＜a，
故实数a的取值范围为（﹣3，）；
法二：f'（x），令h（x）＝（1﹣a）x2﹣1，
要使当时f（x）取到最小值，则函数f（x）必须先减后增，
则满足，解得﹣3＜a，
故实数a的取值范围为（﹣3，）；
（2）由（1）法二知：求出f'（x），令h（x）＝（1﹣a）x2﹣1，x∈[，2]，
1°当1﹣a≤0，即a≥1时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，则f（x）在[，2]时单调递减，
∴M（a）＝f（x）max＝f（），L（a）＝f（x）min＝f（2）2a，
∴g（a）＝M（a）﹣L（a）＝（）﹣（2a）a，；
2°当1﹣a＞0，即a＞1时，由h（x）＝0得x，
①当，即a≤﹣3，h（x）＞0在x∈[，2]上恒成立，即f'（x）＞0，则f（x）在[，2]时单调递增，
∴M（a）＝f（x）max＝f（2）2a，L（a）＝f（x）min＝f（）a；
∴g（a）＝M（a）﹣L（a）＝（2a）﹣（）a；
②当2，即a＜1，h（x）＜0在x∈[，2]上恒成立，即f'（x）＜0，则f（x）在[，2]时单调递减，
∴M（a）＝f（x）max＝f（），L（a）＝f（x）min＝f（2）2a，
∴g（a）＝M（a）﹣L（a）＝（）﹣（2a）a；
③当2，即﹣3＜a，由h（x）＞0得x≤2，由h（x）＜0得x，
∴f（x）在[，）上单调递减，在（，2]上单调递增，
∴当x时，f（x）取得极小值也是最小值，L（a）＝f（）＝2，
又f（2）2a，f（）a，f（）﹣f（2）a，
∴当﹣3＜a≤0，M（a）＝f（2）2a，
∴g（a）＝M（a）﹣L（a）2a﹣2，
∴0＜a，M（a）＝f（），
∴g（a）＝M（a）﹣L（a）2，
综上所述，g（a），
当a时，g（a）a≥g（）；
当a≤﹣3时，g（a）a≥g（﹣3）；
当0＜a时，g（a）2，令t，t∈（，1），a＝1﹣t2，则m（t）t2﹣2t+2，
二次函数m（t）的图象开口向上，且对称轴为直线t＝2，m（t）在（，1）上单调递减，
∴m（t）＞m（1）；
当﹣3＜a≤0时，g（a）2a﹣2，令t，t∈[1，2），a＝1﹣t2，则m（t）＝2t2﹣2t，
二次函数m（t）的图象开口向上，且对称轴为直线t，m（t）在[1，2）上单调递增，
∴m（t）＞m（1）；
综上所述，g（a）的最小值为．
【点评】本题考查函数的最值，考查利用导数研究函数的最值、单调性，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．对于函数f（x），若实数x0满足f（x0）＝x0，则称x0是f（x）的不动点．现设f（x）＝x2+a．
（1）当a＝﹣2时，分别求f（x）与f（f（x））的所有不动点；
（2）若f（x）与f（f（x））均恰有两个不动点，求a的取值范围；
（3）若f（x）有两个不动点，f（f（x））有四个不动点，证明：不存在函数g（x）满足f（x）＝g（g（x））．
【分析】（1）由f（x）＝x可得x2﹣x﹣2＝0，解得两根，再解f（f（x））＝x，即可得所以不动点；
（2）由f（x）＝x可得x2﹣x+a＝0，因为f（x）＝x是f（f（x））＝x的解，得（x2﹣x+a）（x2+x+a+1）＝0，解两方程x2﹣x+a＝0，x2+x+a+1＝0即可；
（3）设f（x）的不动点为a，b，f（f（x））的不动点为a，b，c，d，可得f（a）＝a，f（b）＝b，f（c）≠c，f（d）≠d，设存在f（x）＝g（g（x）），则或，得出与已知矛盾即可．
【解答】解：（1）因为a＝﹣2，
所以f（x）＝x即x2﹣x﹣2＝0，所以x1＝2，x2＝﹣1，
所以f（x）的不动点为x1＝2，x2＝﹣1；
解f（f（x））＝x，f（f（x））＝f（x2﹣2）＝（x2﹣2）2﹣2＝x4﹣4x2+2＝x，
所以x4﹣4x2﹣x+2＝0，
因为f（x）＝x是f（f（x））＝x的解，所以上述四次方程必有因式x2﹣x﹣2，
利用长除法或者双十字相乘法因式分解得（x2﹣x﹣2）（x2+x﹣1）＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣1，x3，4，
所以f（f（x））的不动点为x1＝2，x2＝﹣1，x3，4；
（2）由f（x）＝x2+a＝x得x2﹣x+a＝0，
由f（f（x））＝f（x2+a）＝（x2+a）2+a＝x4+2ax2+a2+a＝x
得x4+2ax2﹣x+a2+a＝0，
因为f（x）＝x是f（f（x））＝x的解，
所以上述四次方程必有因式x2﹣x+a，
利用长除法或者双十字相乘法因式分解得（x2﹣x+a）（x2+x+a+1）＝0，
因为f（x）与f（f（x））均恰有两个不动点，
所以①△1＝1﹣4a＞0，△2＝1﹣4a﹣4＝﹣3﹣4a＜0，
或②△1＝1﹣4a＞0且x2﹣x+a＝0和x2+x+a+1＝0有同根，
由①得a，②中两方程相减得2x+1＝0，所以x，故a，
综上，a的取值范围是[，）；
（3）证明：设f（x）的不动点为a，b，f（f（x））的不动点为a，b，c，d，
所以f（a）＝a，f（b）＝b，f（c）≠c，f（d）≠d，
设h（x）＝f（f（x）），
则h（c）＝f（f（c））＝c，
所以h（f（c））＝f（f（f（c）））＝f（c），
所以f（c）是h（x）＝f（f（x））的不动点，
同理，f（d）也是h（x）＝f（f（x））的不动点，
故只能f（c）＝d，f（d）＝c，
假设存在f（x）＝g（g（x）），则或，
因为y＝f（x）过点（c，d），（d，c），
所以g（c）≠c，g（d）≠d，
否则f（c）＝g（g（c））＝g（c）＝c矛盾，
且g（c）≠g，g（d）≠c，否则f（c）＝g（g（c））＝g（d）＝d，
所以一定存在g（c）＝t，g（t）＝d，g（d）＝s，g（s）＝c，s，t与c，d均不同，
所以g（g（g（t）））＝t，
所以f（f（t））＝t，
所以f（f（x））有另外不动点，矛盾，
故不存在函数g（x）满足f（x）＝g（g（x））．
【点评】本题属于新概念题，考查了反证法、学生的分析问题、解决问题和逻辑推能力，属于难题．
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