2021-2022学年上海中学高一（下）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年上海中学高一（下）期末数学试卷

1. 已知点，，向量，则向量______.
2. 已知复数，则______.
3. 若，，则在方向上的数量投影是______.
4. 在正方体中，棱与平面所成角的余弦值为______.
5. 设x为虚数，若，则______.
6. 在四面体ABCD中，若棱AC与BD所成角为，且，则连接AB，BC，CD，DA四条棱的中点所得四边形的面积为______.
7. 在复平面上，四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点，其中三个复数分别是，，，则第四个复数是______.
8. 已知a、b都是非零向量，且与垂直，与垂直，则与的夹角为__________.
9. 已知方程的两根，满足，则______.
10. 正四面体ABCD的棱长为2，则所有与A，B，C，D距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______.
11. 已知z为虚数，且是实数，也是实数，则的值为______.
12. 已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值，当时，的取值范围为______.
13. 中，，则的最大值为______.
14. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中，其中正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则且
D. 若，，则

15. 若非零不共线的向量，满足，则(    )

A.  B.
C.  D.

16. 正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则(    )

A.  B. 2 C.  D.

17. 在等腰三角形中，，，M为BC中点，N为AC中点，D为BC边上的一个动点，沿AD翻折至使，点A在面上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是(    )

A. 线段NO为定长
B.
C. 存在D的某个位置使得
D. 存在D的某个位置使得

18. 复数，求实数m的取值范围使得：
    为纯虚数；
    在复平面上对应的点在第四象限．
19. 已知正方形ABCD所在平面外一点P满足平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点．
    求证：平面PAD；
    若，求AF与BC所成角的大小．
20. 已知向量，单位向量与向量的夹角为
    求向量；
    若向量与坐标轴不平行，且与向量垂直，令，请将t表示为x的函数，并求的最大值．
21. 如图，某钢性“钉”由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O，钉尖为
    当，，在同一水平面内时，求与平面所成角的大小结果用反三角函数值表示；
    若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为，要用某种线性材科复制100枚这种“钉”损耗忽略不计，共需要该种材料多少厘米？

22. 我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为设维向量的所有向量组成集合当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，
    设和为的“特征向量”，定义，
    若，，且，，计算，，，的值；
    设且B中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，，为奇数；当时，，为偶数．求集合B中元素个数的最大值；
    设，且B中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，，写出一个集合B，使其元素最多，并说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点，，
，
，
故答案为：
由点A，B的坐标求出的坐标，再根据求解即可．
本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故答案为：
先求出，再利用复数的运算法则求解即可．
本题主要考查了共轭复数的概念，考查了复数的运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：向量，，
所以，
所以在方向上的数量投影为
故答案为：
根据平面向量投影的定义，计算即可．
本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则设正方体的边长为1，

，，，，
则，设平面，
，
则，所以，
棱与平面所成角为，
所以，
则
故答案为：
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则设正方体的边长为1，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的公式代入即可得出答案．
本题考查了线面角的计算，属于中档题．
 

5.【答案】0 

【解析】解：，，
，即，
，
，
，
故答案为：
根据题意得，代入计算即可．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，空间四边形ABCD中，
棱AC与BD所成角为，且，
分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，

则，且，
，且，
，或，不妨取，
连接各边中点所得四边形的面积
故答案为：
空间四边形ABCD中，分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，则连接各边中点可得平行四边形，再利用平面四这形的面积公式可求出结果．
本题考查中位线定理、平行四边形的判定与性质、四边形的面积、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设正方形的三个顶点对应的复数分别为，，，
设，
，，
，，
，即，
，解得，
，即第四个复数是
故答案为：
设第四个复数对应的点为，由向量相等求出点D的坐标，结合复数的几何意义即可求出第四个复数．
本题主要考查了复数的几何意义，以及向量相等的定义，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

由与垂直，与垂直，我们不难得到，，构造方程组，结合；，可以求出与的夹角．
若为与的夹角，则，这是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟练掌握．

【解答】

解：与垂直，
①，
又与垂直，
②，
由①②得
又由，
易得：，
则，
故答案为：

9.【答案】 

【解析】解：由根与系数的关系可得，，，
，
，，
故答案为：
由根与系数的关系可得，，，再结合完全平方公式求解．
本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：设E、F、G分别为AB、AC、AD的中点，连结EF、FG、GE，
则是三棱锥的中截面，
可得平面平面BCD，点A到平面EFG的距离等于平面EFG与平面BCD之间的距离，
、B、C、D到平面EFG的距离相等，即平面EFG是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面；
正四面体ABCD中，象这样的三角形截面共有4个．
正四面体ABCD的棱长为2，可得，
是边长为1的正三角形，可得；
取CD、BC的中点H、I，连结GH、HI、IE，
、GH分别是、的中位线，
，，得，
四边形EGHI为平行四边形；
又且，，，
且，
四边形EGHI为正方形，其边长为，
由此可得正方形EGHI的面积；
的中点I在平面EGHI内，、C两点到平面EGHI的距离相等；
同理可得D、C两点到平面EGHI的距离相等，且A、B两点到平面EGHI的距离相等；
、B、C、D到平面EGHI的距离相等，
平面EGHI是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面，
且正四面体ABCD中，象四边形EGHI这样的正方形截面共有3个，
因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于
故答案为：
根据题意知到正四面体ABCD四个顶点距离相等的截面分为两类：
一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；
另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；
作出示意图，求出所有满足条件的截面面积之和即可．
本题考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，是难题．
 

11.【答案】1 

【解析】解：设其中x，，且，则实数，
，
，
对于实数，同理求得，
联立解得，
，
，
故答案为：
设，根据，为实数可得，，联立求出x，y的值，进而得到，再求出即可．
本题主要考查了复数的运算，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，


，
由二次函数的性质可知，上式取得最小值时，，
，，
，，
即的取值范围为
故答案为：
由向量的运算可得，由二次函数可得，解不等式能求出结果．
本题考查向量数量积公式、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
即，
，
当且仅当即时取等号，

故答案为：
利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边a，b，c的关系，利用基本不等式求出的最小值，从而得出的最大值．
本题考查了平面向量的数量积运算，考查余弦定理和基本不等式的应用，属于中档题．
 

14.【答案】B 

【解析】解：对于A，若，，则或m与n异面，故A错误；
对于B，若，，则，由，则故B正确；
对于C，若，，，则或，故C错误；
对于D，若，，则，故D错误．
故选：
由线、面位置关系对选项一一判断即可得出答案．
本题考查了空间中线、面位置关系，属于基础题．
 

15.【答案】C 

【解析】解：，
，是非零向量，必有，上式中等号不成立，
，
故选：
由向量模长不等式可得，结合题目条件即可求解．
本题主要考查了向量模长的定义，属于基础题．
 

16.【答案】D 

【解析】解：如图：
连接，，，与相交于B，
在上取一点C，使得，
则，
设，则，
由图可知，，

故选：
结合正八边形的性质，结合平面向量的线性运算解答即可．
本题考查了平面向量的线性运算，涉及到正八边形的性质，属于中档题．
 

17.【答案】C 

【解析】解：如图所示，

对于A，为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，为定长，故A正确；
对于B，D为M时，，，故B正确；
对于D，，，，平面ADC，
平面ADC，，
平面ADC，平面ADC，，
当D与M重合时，满足，故D正确；
对于C，当点D在点M右边时，，且，
故不满足，
当点D在点M左边时，二面角的平面角为，
则，
，，故C错误．
故选：
依题意作出图形，结合图形，利用线面垂直的判定定理一一判断即可．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

18.【答案】解：，
为纯虚数，需满足且，
可得；
在复平面上对应的点在第四象限，需满足且，
解得，
即实数m的取值范围为 

【解析】整理已知的复数，求得其实部和虚部，
根据纯虚数的要求求解结论，
根据第四象限内点的要求即可求解结论．
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

19.【答案】解：证明：取PD中点G，连接FG，GA，

为PC中点，，且，
正方形ABCD中，E为AB的中点，，，，且，
四边形AEFG是平行四边形，，
平面PAD，平面PAD，
平面
取AC中点M，连接DM，FM，

平面ABCD，平面ABCD，，
，，
设正方形ABCD的边长为a，则，
平面ABCD，平面ABCD，且，
由勾股定理得，
同理得，
，与AD所成角即为AF与BC所成角，
由余弦定理得，
故，故AF与BC所成角的大小为 

【解析】作出辅助线，构造平行四边形，证明线面平行；
作出辅助线，得到AF与AD所成角即为AF与BC所成角，利用余弦定理求出所成角的余弦值，进而求出所成角的大小．
本题考查线面垂直的判定与性质、线面平行的判定、勾股定理、余弦定理、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：设，
向量是单位向量，，
向量与向量夹角为，，，
解方程组，解得或，
或
与坐标轴平行，不成立；
，又向量与向量垂直，
，
，即，
又，
，
，，
，
，，
，，
当时， 

【解析】设，向量是单位向量，向量与向量夹角为，解方程组，由此能求出
可判断向量，根据向量垂直，得到，即可得到，再由二次函数的性质计算能求出结果．
本题考查向量夹角余弦公式、向量垂直、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：设，根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，
，，，两两连接后得到四面体为正四面体，延长交平面于点B，
则平面，连接，则就是与平面所成角，

设，
在中，，
在中，，
，
解得，，
，
与平面所成角大小为
，
根据可得，解得
要用某种线性材科复制100枚这种“钉”损耗忽略不计，共需要该种材料：
厘米 

【解析】组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成角相等，，，，两两连接后得到四面体为正四面体，延长交平面于点B，则平面，连接，则就是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的大小．
推导出，，从而，由此能求出结果．
本题考查线面垂直的判定与性质、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解：，，，
设，，，，
当时，，为奇数，则仅有1个1或3个1，
当时，，为偶数，
①仅有1个1时，，为使，为偶数，
则，即与不同时为1，
此时，4个元素．
②仅有3个1时，，为使，为偶数，
则，即与不同时为0，
此时，4个元素．
③若，，则，，舍去，
综上所述，集合B中的元素个数最大值为
…，…，，…，……，…，，
此时B中有个元素，下证其为最大，
对于任意两个不同的元素，，满足，，则，中相同位置上的数字不能同时为1，
假设存在B有多于个元素，由于…，与任意元素都有，，
所以除…，外至少有个元素含有1，
根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时，不满足题意，
故B中最多有个元素． 

【解析】直接根据定义计算．
注意到1的个数的奇偶性，根据分情况讨论1的个数，从而得到集合
根据抽屉原理即可得证．
本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，同时考查了学生的逻辑推理能力，综合性较强，难度较大．