2023-2024学年上海市重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若幂函数f(x)=(m2+m−5)xm2−2m−3的图象不经过原点，则m的值为( )
A. 2B. −3C. 3D. −3或2
2.存在函数f(x)满足：∀x∈R都有( )
A. f(|x+1|)=x3B. f(1x2)=x−1
C. f(x2+1)=|x+1|D. f(x2+2x)=|x+1|
3.已知函数f(x)=x+1,x<0x(x−2),x≥0，若f(1−x)在区间I上恒负，且是严格减函数，则区间I可以是( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)
4.定义域和值域均为[−a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题：
(1)函数f(g(x))有且仅有三个零点；
(2)函数g(f(x))有且仅有三个零点；
(3)函数f(f(x))有且仅有九个零点；
(4)函数g(g(x))有且仅有一个零点，
其中正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.函数y=x2−2x+4的图像关于直线______成轴对称．
6.已知函数f(x)=2x+1,x<2lgx,x≥2，则f(f(0))+f(5)= ______．
7.已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为______．
8.若点P(sinα,csα)在第二象限，则角α的终边在第______象限．
9.化简：sin4θ⋅cs2θ+sin2θ⋅cs4θ1−sin4θ−cs4θ= ______．
10.若函数f(x)=|x−a+1|在区间[1,+∞)上是严格增函数，则实数a的取值范围为______．
11.函数y=f(2x−1)的定义域为区间(0,1)，则函数y=f(1−x)的定义域为______．
12.函数y=3x−13x−2的值域是______．
13.已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，且当x>0时，其表达式为f(x)=x2+2x，则当x<0时，其表达式为f(x)= ______．
14.已知函数f(x)=|lg3x|,015.已知函数f(x)，g(x)，h(x)的定义域均为R.给出以下3个命题：
(1)f(x)一定可以写成一个奇函数和一个偶函数之差；
(2)若f(x)是奇函数，且在(−∞,0)是严格减函数，则f(x)在R上是严格减函数；
(3)若f(x)+g(x)，g(x)+h(x)，h(x)+f(x)是在R上均是严格增函数，则f(x)，g(x)，h(x)中至少有一个在R上是严格增函数．
其中，假命题的序号为______．
16.已知函数f(x)满足：f2(x+1)−f(x+1)+f2(x)−f(x)=4.则下列三个结论：
(1)f2(2024)−f(2024)+f2(1865)−f(1865)=4；
(2)f(2023)=f(2024)；
(3)f(2024)+f(1865)≤4.其中正确的结论是______．
三、解答题：本题共5小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
已知函数f(x)是R上的严格增函数，g(x)是R上的严格减函数，判断函数f(x)−g(x)的单调性，并利用定义证明．
18.(本小题8分)
在下面的坐标系中画出下列函数的图像：

(1)y=x−2；
(2)y=|2x−2|．
19.(本小题9分)
解下列关于x的方程：
(1)2lg16x+lgx16=3；
(2)4x−(a+1)⋅6x−2(a2−a)⋅9x=0．
20.(本小题9分)
某地中学生社会实践小组为研究学校附近某路段的交通拥堵情况，经实地调查、数学建模，得该路段上的平均行车速度v(单位：km/h)与该路段上的行车数量n(单位：辆)的关系为：
v=600n+10,n≤933000n2+k,n≥10,n∈N*其中常数k∈R.该路段上每日t时的行车数量n=−2(|t−12|−5)2+100，t∈[0,24)．
已知某日17时测得的平均行车速度为3km/h.(注：3.16< 10<3.17)
(Ⅰ)求实数k的值；
(Ⅱ)定义车流量q=nv(单位：辆⋅km/h)，求一天内车流量q的最大值(结果保留整数部分)．
21.(本小题9分)
若对任意的1≤a(1)比较f(n)与f(n+1)，n∈N*的大小关系；
(2)判断f(x)是否为[1,+∞)上的增函数，并说明理由；
(3)证明：当x≥1时，f(2x)>f(x)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：幂函数定义得，m2+m−5=1，解得m=−3或2，当m=−3时，指数m2−2m−3=(−3)2−2⋅(−3)−3=12，f(x)=x12，过原点，不符合题意，故m=−3舍去；当m=2时，指数m2−2m−3=22−2⋅2−3=−3，f(x)=x−3，显然不过原点，符合条件．
故选：A．
根据幂函数的定义，求出m的值，再根据图象不过原点取舍m的值．
考查幂函数的定义，并考查函数是否过原点．幂函数指数小于零才不过原点．属于简单题．
2.【答案】D
【解析】解：对于A，令t=|x+1|≥0，
则x=1±t，
故f(t)=(−1±t)3，不满足函数的定义，故A错误；
对于B，令t=1x2>0，
则x=±1 t，
故f(t)=±1 t−1，不满足函数的定义，故B错误；
对于C，令t=x2+1≥1，
则x=± t−1，
故f(t)=|± t−1+1|，不满足函数的定义，故C错误；
对于D，令t=x2+2x=(x+1)2−1≥−1，
则x+1=± t+1，
故f(t)=|± t+1|，满足函数的定义，故D正确．
故选：D．
根据已知条件，结合换元法，以及函数的定义，即可求解．
本题主要考查全称量词和全称命题，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=x+1,x<0x(x−2),x≥0，
所以f(1−x)=2−x,x>1(x−1)(1+x),x≤1，
作出f(1−x)的图象，结合图象可知，f(1−x)在(−1,0)上单调递减且f(1−x)<0．
结故选：B．
由已知结合一次函数及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了二次函数及一次函数单调性的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，函数g(x)的定义域、值域都是[−a,a]，且单调递减，设g(x)的零点为x=m，
函数f(x)在[−a,a]上有3个零点，设g(x)的3个零点为a、b、c，且a依次分析4个命题，
对于(1)，由于−a≤g(x)≤a，且g(x)单调递减，即g(x)=a、g(x)=b、g(x)=c都有唯一解，则函数f(g(x))有且仅有三个零点，(1)正确；
对于(2)，方程f(x)=m不确定根的个数，则函数g(f(x))零点个数也不确定，(2)错误；
对于(3)，设f(x)的极大值为e，极小值为f，有不确定e、f和a、b、c的关系，故不能确定函数f(f(x))的零点个数，(3)错误；
对于(4)，由于−a≤g(x)≤a，且g(x)单调递减，函数g(g(x))有且仅有一个零点，(4)正确．
故选：B．
根据题意，分析f(x)、g(x)的零点个数以及单调性的变化，由此分析4个命题是否正确，综合可得答案．
本题考查函数的零点，涉及函数的图象、值域，属于基础题．
5.【答案】x=1
【解析】解：函数y=x2−2x+4=(x−1)2+3，
所以函数的对称轴为x=1．
故答案为：x=1．
利用二次函数的对称性即可求解．
本题考查了二次函数的对称性，属于基础题．
6.【答案】1
【解析】解：因为f(x)=2x+1,x<2lgx,x≥2，
所以f(0)=2，f(f(0))=f(2)=lg2，f(5)=lg5，
则f(f(0))+f(5)=lg2+lg5=lg10=1．
故答案为：1．
由已知函数解析式，结合对数的运算性质，代入即可求解．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
7.【答案】8
【解析】解：由扇形的面积公式可得S=12×4×4=8．
故答案为：8．
直接利用扇形的面积公式求解即可．
本题考查扇形的面积公式S=12lR，其中l为扇形的弧长，R为扇形的半径，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】四
【解析】【分析】
根据点P(sinα,csα)在第二象限，知其横坐标小于0且纵坐标大于0，由此列式可得答案．
本题考查了象限角、轴线角及三角函数值的符号，是基础的概念题．
【解答】
解：∵点P(sinα,csα)在第二象限，
∴sinα<0,csα>0，
由sinα<0知α为三或四或y轴负半轴上的角，
由csα>0知α为一或四或x轴正半轴上的角．
由此可知角α的终边在第四象限．
故答案为四．
9.【答案】12
【解析】解：sin4θ⋅cs2θ+sin2θ⋅cs4θ1−sin4θ−cs4θ=sin2θcs2θ(sin2θ+cs2θ)1−(sin2θ+cs2θ)2+2sin2θcs2θ=sin2θcs2θ2sin2θcs2θ=12．
故答案为：12．
直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】{a|a≤2}
【解析】解：因为f(x)=|x−a+1|在区间[1,+∞)上是严格增函数，
所以a−1≤1，即a≤2．
故答案为：{a|a≤2}．
由已知结合函数图象变换及基本初等函数单调性即可求解．
本题主要考查了函数单调性的应用，属于基础题．
11.【答案】(0,2)
【解析】解：函数y=f(2x−1)的定义域为区间(0,1)，
所以−1<2x−1<1，
所以−1<1−x<1，
解得0所以函数f(1−x)的定义域为(0,2)．
故答案为：(0,2)．
根据函数的解析式，利用函数的定义域，求解即可．
本题考查了求函数定义域的求法，抽象函数的应用，是基础题目．
12.【答案】(−∞,12)∪(1,+∞)
【解析】解：∵y=3x−13x−2=3x−2+13x−2=1+13x−2，(3x≠2)，
∵3x>0且3x≠2，
∴3x−2>−2且3x−2≠0，
∴13x−2∈(−∞,−12)∪(0,+∞)，
∴y∈(−∞,12)∪(1,+∞)，
故所求值域为(−∞,12)∪(1,+∞)．
故答案为：(−∞,12)∪(1,+∞)．
利用分离常数法及不等式的性质，即可求解．
本题考查函数的值域的求解，属基础题．
13.【答案】x2+2−x
【解析】解：因为函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，且当x>0时，f(x)=x2+2x，
则当x<0时，−x>0，
所以f(−x)=x2+2−x=f(x)．
故答案为：x2+2−x．
由已知结合偶函数的定义即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
14.【答案】(0,13)
【解析】解：作出函数f(x)=|lg3x|,0由0由f(a)=f(b)，得|lg3a|=|lg3b|，即−lg3a=lg3b，
∴lg3(ab)=0，则ab=1，
∴abc=c，则f(a)f(c)abc=f2(c)c=(4−c)2c=c+16c−8在(3,4)递减，
可得f(a)f(c)abc的取值范围是(0,13).
故答案为：(0,13).
作出函数f(x)的图象，求得0本题考查分段函数的图象和性质，以及对勾函数的单调性，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】(2)(3)
【解析】解：依次分析3个命题：
对于(1)，f(x)=f(x)−f(−x)2+f(x)+f(−x)2=f(x)−f(−x)2−[−f(x)+f(−x)2]，
则f(x)可以写出奇函数y=f(x)−f(−x)2和偶函数y=−f(x)+f(−x)2差的形式，(1)正确；
对于(2)，举出反例，f(x)=−x−1,x<00,x=0−x+1,x>0，是定义域为R的奇函数，在(−∞,0)是严格减函数，当在R上不是严格减函数，(2)错误；
对于(3)，举出反例，f(x)=2x,x≤13−x,x>1，g(x)=2x+3,x≤03−x,00，三个函数都不是增函数，
但f(x)+g(x)=4x+3,x≤0x+3,x>0，f(x)+h(x)=x,x≤04x,0故(3)错误．
故答案为：(2)(3)．
由函数奇偶性的性质分析A，举出反例说明(2)(3)错误，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性和单调性，注意分段函数的性质，属于中档题．
16.【答案】(1)(3)
【解析】解：令g(x)=f2(x)−f(x)，则g(x+1)+g(x)=4，则g(x+2)+g(x+1)=4，两式相减，整理得g(x+2)=g(x)，
所以g(2024)+g(1865)=g(1866)+g(1865)=4，故(1)对；
当f(2023)=−1，f(2024)=2时，f2(2023)−f(2023)=2，f2(2024)−f(2024)=2，满足g(2024)+g(2023)=4，
但f(2023)≠f(2024)，故(2)错；
由f(2024)+f(1865)=f2(2024)+f2(1865)−4≥[f(2024)+f(1865)]22−4，
当且仅当f(2024)=f(1865)=−1或2时取等号，
所以[f(2024)+f(1865)]2−2[f(2024)+f(1865)]−8≤0，可得−2≤f(2024)+f(1865)≤4，故(3)对．
故答案为：(1)(3)．
构造函数g(x)=f2(x)−f(x)得g(x+1)+g(x)=4，进而得g(x+2)=g(x)，从而可判断(1)；举反例排除断(2)；利用(1)结论，结合基本不等式求f(2024)+f(1865)范围判断(3)．
本题考查了抽象函数及其应用，属于难题．
17.【答案】解：函数f(x)−g(x)是R上的单调递增函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，且x1因为函数f(x)是R上的严格增函数，g(x)是R上的严格减函数，
可得f(x1)g(x2)
则f(x1)−g(x1)−[f(x2)−g(x2)]=[f(x1)−f(x2)]+[g(x2)−g(x1)]<0，
即f(x1)−g(x1)所以函数f(x)−g(x)为R上的严格增函数．
【解析】根据题意，结合函数的单调性的定义和判定方法，即可得证．
本题主要考查了函数单调性定义在单调性判断中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：根据题意，(1)y=x−2=1x2，是幂函数，
f(x)是偶函数，其定义域为{x|x≠0}，
在区间(0,+∞)上递减，在(−∞,0)上递增；
其大致图象如图：

(2)y=|2x−2|=2x−2,x≥1−2x+2,x<1，
其大致图象如图：

【解析】根据题意，由函数的解析式作出函数的图象即可得答案．
本题考查函数的图象画法，涉及指数函数和幂函数的图象，属于基础题．
19.【答案】解：(1)令t=lg16x，
则2lg16x+lgx16=3可化为2t+1t=3，
整理得，2t2−3t+1=0，
解得，t=1或t=12，
所以x=16或x=4；
(2)4x−(a+1)⋅6x−2(a2−a)⋅9x=0，
所以22x−(a+1)⋅2x⋅3x−2a(a−1)⋅32x=(2x−2a⋅3x)[2x+(a−1)⋅3x]=0，
所以(23)x=2a或(23)x=1−a，
当a≤0，则(23)x=2a无解，此时x=lg23(1−a)；
当0当a≥1，则(23)x=1−a无解，此时x=lg23(2a)；
综上，a≤0时，x=lg23(1−a)，0【解析】(1)结合对数的运算性质即可求解；
(2)结合指数的运算性质及指数的含义即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)由17时测得的平均行车速度为3km/h，
代入v=600n+10,n≤933000n2+k,n≥10,n∈N*，
可得：330001002+k=3，
解得k=1000．
(Ⅱ)①当n≤9时，q=nv=600nn+10=6001+10n为增函数，
所以q≤600×99+10<300；
②当n≥10时，q=nv=33000nn2+1000=33000n+1000n，
由函数f(x)=n+1000n在(0, 1000)上递减，在( 1000,+∞)上递增，
且 1000∈(31,32)，知q=33000n+1000n，当n=31，n=32时，较大的q值为最大值，
代入n=31，32计算，结果均为522，
故qmax≈522．
综上可知，一天内车流量q的最大值为522辆⋅km/h．
【解析】(Ⅰ)根据题意把17时测得的平均行车速度为3km/h代入函数解析式即可求出k；
(Ⅱ)根据分段函数求最值的方法，分别利用函数单调性求每段的最值，即可得出函数q=nv的最大值．
本题考查了函数的生活中应用，也考查了根据函数的单调性求最值，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当x∈(n,n+1)，n∈N*时，|f(n)−f(x)|+|f(x)−f(n+1)|=|f(n)−f(n+1)|，
若f(x)则f(x)=12[f(n)+f(n+1)−|f(n)−f(n+1)|]，
此时，当x∈(n,n+12]时，f(x)存在最小值，这与题设矛盾，(舍去)；
若f(x)>f(n)，f(x)>f(n+1)，可得2f(x)−f(n)−f(n+1)=|f(n)−f(n−1)|，
则f(x)=12[f(n)+f(n+1)+|f(n)−f(n+1)|]，
此时，当x∈(n+12,n+1]时，f(x)存在最小值，这与题设矛盾，(舍去)；
所以当x∈(n,n+1)，n∈N*时，有min{f(n),f(n+1)}≤f(x)≤max{f(n),f(n+1)}，
此时函数f(x)在区间[n,n+l]上有最小值和最大值，
因为x∈(n,n+1]时，函数f(x)无最小值，
所以当x∈[n,n+1]，有f(x)min=f(n)，f(x)max=f(n+1)，即f(n)≤f(n+1)．
若f(n)=f(n+1)，则∀x∈[n,n+1]，可得f(n)=f(n+1)，
此时函数x∈(n,n+1]时，函数f(x)存在最小值，矛盾，
综上可得，f(n)(2)函数f(x)在1，+∞)上不为增函数，
例如，f(x)=x+12,x∈Ax,x∉A，A={x|x=n+12,n∈N*}，显然函数f(x)满足题设，
由f(32)=f(2)=2知，f(x)在[1,+∞)不为增函数．
证明：(3)由(1)知，当x∈(n,n+1)，n∈N*时，f(n)所以当m所以当x所以当xn时，f(x)>f(n)，
所以，当x>1时，必然存在正整数n，使得x当x=1时，f(2)>f(1)，呈然成立；
综上可得：当x≥1时，f(2x)>f(x)．
【解析】(1)根据题意，可得分f(x)f(n)，f(x)>f(n+1)，两种情况讨论，得出矛盾，从而得到min|f(n)，f(n+1)}≤f(x)≤max|f(n)，f(n+1)}，进而得到f(n)(2)令函数f(x)=x+12,x∈Ax,x∉A，A={x|x=n+12,n∈N*}，结合单调性的定义，即可得到结论；
(3)由(1)知，f(n)n，分别证得f(x)f(n)，进而证得结论．
本题考查了抽象函数的单调性，函数不等式，属于难题．