2023-2024学年上海市普陀区重点中学高一(上)期末数学试卷
展开1.已知a,b为非零实数,且a>b,则下列不等式成立的是( )
A. a2>b2B. 1a<1bC. |a|>|b|D. 2a>2b
2.设x∈R,不等式|x−3|<2的一个充分不必要条件是( )
A. 1
3.为提高生产效率,某公司引进新的生产线投入生产,投入生产后,除去成本,每条生产线生产的产品可获得的利润S(单位:万元)与生产线运转时间t(单位:年)满足二次函数关系:s=−2t2+40t−98,现在要使年平均利润最大,则每条生产线运行的时间t为年.( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
4.函数y=xf(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,若关于实数t的不等式f(lg3t)+f(lg13t)>2f(2)恒成立,则t的取值范围是( )
A. (0,19)∪(9,+∞)B. (0,13)∪(3,+∞)C. (9,+∞)D. (0,19)
二、填空题:本题共12小题,共54分。
5.函数y= 2−x的定义域为______ .
6.角−215°属于第______象限角.
7.设函数f(x)=2x,x≤0lg2x,x>0则f(f(12))=______.
8.函数f(x)=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象都过定点P,且点P在角θ的终边上,则sinθ= ______ .
9.已知幂函数f(x)=(m2−m−1)xm−1为偶函数,且在(0,+∞)上严格单调递减,则实数m的值为______ .
10.设2a=3b=m,且1a+1b=2,则m=______
11.函数f(x)=(12)x2−4x+5的单调递减区间为______ .
12.“数摺聚清风,一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句,折扇出人怀袖,扇面书画,扇骨雕琢,是文人雅士的宠物,所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图,其中OA=20cm,∠AOB=120°,M为OA的中点,则扇面(图中扇环)部分的面积是______ cm2.
13.设f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex−1,则当x<0时,f(x)= ______ .
14.已知函数f(x)=|x−3|,g(x)=−|x+4|+m,若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方,则m的取值范围为______ .
15.已知函数f(x)=ax2−2x+1(x∈R)两个零点,一个大于2另一个小于2,则实数a的取值范围为______ .
16.已知g(x)=x+bx若对任意的x1,x2∈(1,2),都有g(x1)−g(x2)x2−x1>1(x1≠x2),则实数b的取值范围是______ .
三、解答题:本题共5小题,共78分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=lg1−x1+x
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)证明函数f(x)为奇函数.
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象经过点(0,−2),(2,1).
(1)求实数a,b的值;
(2)若不等式a8−x2≥(14)x的解集记为A,求x∈A时,函数f(x)的值域.
19.(本小题14分)
已知函数f(x)=x+ax,且f(2)=0.
(1)求实数a,判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)利用函数的单调性和奇偶性,解不等式f(t2+3)+f(−2t2+t−1)>0.
20.(本小题18分)
已知函数f(x)=−x2+ax−a.
(1)若f(x)的最大值为0,求实数a的值;
(2)设f(x)在区间[0,2]上的最大值为M(a),求M(a)的表达式;
(3)令g(x)=−f(x)x,若g(x)在区间[1,2]上的最小值为1,求正实数a的取值范围.
21.(本小题18分)
对于函数y=f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(−x)=−kf(x),其中k为整数,则称函数y=f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”.
(1)已知函数f(x)=x2+2x,试判断y=f(x)是否为(−1,1)上的“2阶局部奇函数”?并说明理由;
(2)若f(x)=lg3(x+m)是[−2,2]上的“1阶局部奇函数”,求实数m的取值范围;
(3)若f(x)=x2−2x+t,对任意的实数t∈(−∞,2],函数y=f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”,求整数k取值的集合.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:A选项不正确,当a=1,b=−2时,不等式就不成立;
B选项不正确,因为a=1,b=−2时,不等式就不成立;
C选项不正确,因为a=1,b=−2时,不等式就不成立;
D选项正确,因为y=2x是一个增函数,故当a>b时一定有2a>2b,
故选D.
由不等式的相关性质,对四个选项逐一判断,由于a,b为非零实数,故可利用特例进行讨论得出正确选项
本题考查不等关系与不等式,解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质,且能根据这些性质灵活选用方法进行判断,如本题采用特值法排除三个选项,用单调性判断正确选项.
2.【答案】D
【解析】解:因为|x−3|<2,
所以−2
故选:D.
由|x−3|<2可得1
3.【答案】A
【解析】解:平均利润为st=−2t2+40t−98t=−(2t+98t)+40≤−2 2t×98t+40=12,
当且仅当2t=98t,即t=7时取最大值.
故选:A.
表示出平均利润St,然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件.
本题考查函数的实际应用,属于中档题.
4.【答案】A
【解析】解:因为函数y=xf(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)是定义域R上的偶函数,
又因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f(lg3t)+f(lg13t)=f(lg3t)+f(−lg3t)=2f(lg3t)>2f(2),
所以f(lg3t)>f(2),即|lg3t|>2,
解得lg3t>2或lg3t<−2,
所以t>9或0
故选:A.
根据函数y=xf(x)是定义在R上的奇函数得出f(x)是偶函数,把不等式化为f(lg3t)>f(2),即|lg3t|>2,求解不等式即可.
本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题,也考查了运算求解能力,是基础题.
5.【答案】(−∞,2]
【解析】解:由题意知,2−x≥0,解得x≤2,
所以函数y= 2−x的定义域为(−∞,2].
故答案为:(−∞,2].
由二次根式的被开方数大于或等于0,求解即可.
本题考查了根据函数解析式求定义域的问题,是基础题.
6.【答案】二
【解析】解:∵−215°=−360°+145°,
而145°是第二象限角,
故角−215°属于第二象限角,
故答案为:二.
利用终边相同的角,判断即可.
本题考查终边相同的角,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.
7.【答案】12
【解析】解:∵f(x)=2x,x≤0lg2x,x>0,
∴f(12)=lg212=−1,
则f(f(12))=f(−1)=12,
故答案为:12.
根据函数f(x)的解析式,求出f(12)的值,从而求出f(f(12))的值即可.
本题考查了分段函数问题,考查函数求值,是一道基础题.
8.【答案】2 55
【解析】解:函数f(x)=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象都过定点P(−1,2),且点P在角θ的终边上,
故sinθ=2 1+4=2 55.
故答案为:2 55.
直接利用函数的性质和三角函数的的定义求出三角函数的值.
本题考查三角函数求值问题,属基础题.
9.【答案】−1
【解析】解:∵幂函数f(x)=(m2−m−1)xm−1为偶函数,且在(0,+∞)上严格单调递减,
∴m2−m−1=1,m−1<0且m−1为偶数.
解得m=−1或2,
只有m=−1时满足m−1<0且m−1为偶数.
∴m=−1,
故答案为:−1.
由幂函数f(x)=(m2−m−1)xm−1为偶函数,且在(0,+∞)上严格单调递减,可得m2−m−1=1,m−1<0且m−1为偶数.解出即可.
本题考查了幂函数的奇偶性、单调性,属于基础题.
10.【答案】 6
【解析】解:由2a=m,3b=m,(m>0)
可得lg2m=a,lg3m=b,
∴1a=lgm2,1b=lgm3.
∵1a+1b=2,即lgm2+lgm3=2,
∴lgm6=2.
那么m2=6.
∴m= 6
故答案为: 6.
利用指数与对数的互化即可求解.
本题考查了指数与对数的互化的应用,比较基础.
11.【答案】(2,+∞)
【解析】解:f(x)=(12)x2−4x+5的定义域为R,且是由函数f(x)=(12)t和t=x2−4x+5复合而成,
由于函数t=x2−4x+5在(2,+∞)递增,而f(x)=(12)t在定义域内为单调递减,
故f(x)=(12)x2−4x+5的单调递减区间为(2,+∞).
故答案为:(2,+∞).
根据指数型复合函数的单调性,结合二次函数的性质即可求解.
本题考查了复合函数的单调性的判断与应用,单调减区间的求法,属于基础题.
12.【答案】100π
【解析】解:设线段BO的中点为C,
S扇环ABCM=S扇形AOB−S扇形OMC=12×2π3[202−(202)2]=100πcm2.
故答案为:100π.
利用扇形面积公式去求扇环部分的面积即可.
本题主要考查了扇形的面积公式,属于基础题.
13.【答案】−e−x+1
【解析】解:根据题意,当x<0,则−x>0,则有f(−x)=e−x−1,
又由f(x)为R上的奇函数,则f(x)=−f(−x)=−e−x+1,
故答案为:−e−x+1.
根据题意,当x<0,则−x>0,求出f(−x)的表达式,结合函数的奇偶性分析可得答案.
本题考查函数奇偶性的性质以及应用,涉及函数解析式的计算,属于基础题.
14.【答案】(−∞,7)
【解析】解:由题意函数f(x)=|x−3|,g(x)=−|x+4|+m,
又因为函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方,
所以f(x)>g(x)恒成立,
即|x−3|>−|x+4|+m恒成立,
即(|x−3|+|x−4|)min>m,
而由三角不等式可得|x−3|+|x−4|≥|3−(−4)|=7,当且仅当−4≤x≤3时等号成立,
即(|x−3|+|x−4|)min=7,
所以m的取值范围为(−∞,7).
故答案为:(−∞,7).
首先将题目等价转换为|x−3|+|x+4|>m恒成立,利用三角不等式求不等号左边最小值,由此即可得解.
本题考查了转化思想及利用三角不等式求最小值,属于中档题.
15.【答案】(0,34)
【解析】解:∵函数f(x)=ax2−2x+1(x∈R)两个零点,一个大于2另一个小于2,
∴a>0f(2)=4a−3<0①,或 a<0f(2)=4a−3>0②.
由①可得0综上,0故答案为:(0,34).
由题意,利用二次函数的性质,求出实数a的取值范围.
本题主要考查二次函数的性质,属于基础题.
16.【答案】[8,+∞)
【解析】解:由题意对任意的x1,x2∈(1,2),都有g(x1)−g(x2)x2−x1>1(x1≠x2),且g(x)=x+bx,
所以(x1+bx1)−(x2+bx2)x2−x1=bx1x2−1>1(x1≠x2),x1,x2∈(1,2),
即对任意的x1,x2∈(1,2),b>2x1x2恒成立,
又因为x1x2∈(1,4),所以2x1x2∈(2,8),
所以对任意的x1,x2∈(1,2),b>2x1x2恒成立,当且仅当b≥8,
即实数b的取值范围是[8,+∞).
故答案为:[8,+∞).
由题意首先得到(x1+bx1)−(x2+bx2)x2−x1=bx1x2−1>1,即对任意的x1,x2∈(1,2),b>2x1x2恒成立,结合已知由此即可得解.
本题考查了转化思想、不等式的性质,属于中档题.
17.【答案】(1)解:∵由lg1−x1+x,得出1−x1+x>0,且1+x≠0
∴有(1−x)>0且(1+x)>0或者(1−x)<0且(1+x)<0
∵解得第一个不等式有−1
∴f(x)=−f(−x)
∴函数f(x)为奇函数
【解析】(1)由lg1−x1+x,得1−x1+x>0,进而求出x的取值范围,得到答案.
(2)证明f(−x)+f(x)=0,进而证明f(x)=−f(−x)得出答案
本题主要考查对数取值范围,求函数定义域.及利用f(x)=−f(−x)或f(x)=f(−x)证明函数奇偶性.
18.【答案】解:(1)由题知点(0,−2),(2,1)在函数f(x)=ax+b上,
所以a0+b=−2a2+b=1,解得a=2b=−3,
故a=2,b=−3.
(2)由a8−x2≥(14)x,得28−x2≥2−2x,则8−x2≥−2x,
解得−2≤x≤4,即A={x|−2≤x≤4},
因为f(x)=2x−3在[−2,4]上单调递增,
故当x=−2时,f(x)min=f(−2)=−114,
当x=4时,f(x)max=f(4)=13,
所以f(x)的值域为[−114,13].
【解析】(1)根据函数f(x)=ax+b过点(0,−2),(2,1),把点代入方程,从而可求解.
(2)求出集合A={x|−2≤x≤4},然后利用函数的单调性即可求解.
本题主要考查了指数函数的性质在函数值域求解中的应用,属于基础题.
19.【答案】解:(1)因为f(2)=2+a2=0,
所以a=−4,f(x)=x−4x在(0,+∞)上单调递增,证明如下:
任取x1>x2>0,则x1−x2>0,1+4x1x2>0,
则f(x1)−f(x2)=x1−x2+4x2−4x1=(x1−x2)(1+4x1x2),0,
所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)由(1)得,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(x)奇函数,
由f(t2+3)+f(−2t2+t−1)>0得f(t2+3)>−f(−2t2+t−1)=f(2t2−t+1),
因为t2+3>0,2t2−t+1>0恒成立,
所以3+t2>2t2−t+1,
解得−1
【解析】(1)由f(2)=0,代入可求a,任取x1>x2>0,利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断;
(2)结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式.
本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断,还考查了函数单调性在不等式求解中的应用,属于中档题.
20.【答案】解:(1)f(x)=−x2+ax−a,开口向下,对称轴x=a2,
所以f(x)max=f(a2)=−(a2)2+a⋅a2−a=a24−a=0,解得a=0或a=4,
即实数a的值为0或4;
(2)由(1)可得:当a2≤0,即a≤0时,函数在[0,2]单调递减,所以M(a)=f(0)=−a;
当a2≥2,即a≥4时,函数在[0,2]单调递增,所以M(a)=f(2)=−22+2a−a=a−4;
当a∈(0,4)时,函数在[0,2]先增后减,所以M(a)=f(a2)=a24−a;
所以M(a)=−a,a≤0a24−a,0(3)因为g(x)=−f(x)x=x+ax−a,可得g(x)为对勾函数,
因为g(x)在区间[1,2]上的最小值为1,
因为a>0,令x=ax,可得x= a或x=− a(舍),
当 a≤1,即0当 a≥2,即a≥4时,g(x)在区间[1,2]上单调递减,则g(x)min=g(2)=2+a2−a=1,解得a=2,不满足条件,
当1综上所述:a的范围为(0,1].
【解析】(1)由二次函数的解析式,可得对称轴方程及开口方向,进而求出函数的最大值;
(2)分对称轴在[0,2]的左右两侧,及区间内三种情况讨论,可得M(a)的解析式;
(3)由题意可得g(x)为对勾函数,令x=ax,可得x= a,分 a在[1,2]的左右两侧及区间内三种情况讨论,由题意可得a的范围.
本题考查分类讨论的思想及对勾函数的最值的求法,二次函数的性质的应用,属于基础题.
21.【答案】解:(1)函数f(x)=x2+2x为(−1,1)上的“2阶局部奇函数”,理由如下:
原问题等价于判断关于x的方程f(−x)=−2f(x)在(−1,1)上是否有解,
由(−x)2+2(−x)=−2(x2+2x)得,3x2+2x=0,解得x=0或−23,
所以方程f(−x)=−2f(x)在(−1,1)上有解,
即函数f(x)=x2+2x为(−1,1)上的“2阶局部奇函数”.
(2)由f(x)=lg3(x+m)是[−2,2]上的“1阶局部奇函数”,可知x+m>0在[−2,2]上恒成立,可得m−2>0,即m>2,
存在x∈[−2,2],使得lg3(−x+m)=−lg3(x+m)有解,即lg3(−x+m)+lg3(x+m)=lg3(m2−x2)=0,
可得m2−x2=1,即m2=x2+1∈[1,5],解得m∈[− 5,−1]∪[1, 5],
综上m∈(2, 5].
(3)问题等价于方程f(−x)=−kf(x)恒有解,即(−x)2−2(−x)+t=−k(x2−2x+t),整理得(1+k)x2+(2−2k)x+t+kt=0,
当k=−1时,解得x=0,满足题意;
当k≠−1时,△≥0,即(2−2k)2−4(1+k)(t+kt)≥0,化简得(1+k)2−(1−k)2≤0对任意的实数t∈(−∞,2]恒成立,
g(t)=t(1+k)2−(1−k)2是关于t的一次函数且为(−∞,2]上的增函数,
故只需g(2)=2(1+k)2−(1−k)2=k2+6k+1≤0,解得−3−2 2≤k≤−3+2 2,且k≠−1,
综上,整数取值的集合{−5,−4,−3,−2,−1}.
【解析】(1)根据新定义转化为方程f(−x)=−2f(x)在(−1,1)上是否有解,即可解决;
(2)由题意可得m>2,由定义可得存在x∈[−2,2],使得lg3(−x+m)=−lg3(x+m)有解,整理得m2−x2=1,从而可得m的取值范围,综合可得答案;
(2)问题等价于方程f(−x)=−kf(x)恒有解,即(−x)2−2(−x)+t=−k(x2−2x+t),整理得(1+k)x2+(2−2k)x+t+kt=0,对k分类讨论,即可得解.
本题主要考查函数与方程的综合应用,考查运算求解能力,属于中档题.
2023-2024学年上海市浦东新区重点中学高一(上)期末数学试卷(含解析): 这是一份2023-2024学年上海市浦东新区重点中学高一(上)期末数学试卷(含解析),共12页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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