专题20 函数新定义小题综合-备战2024年数学新高考一轮复习之专题知识归纳和题型技巧大综合

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冲刺秘籍
所谓“新定义背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。它主要考查学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问题有时提供的信息比较抽象，能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。
冲刺训练
一、单选题
1．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）函数的定义域为，导函数为，若对任意，成立，则称为“导减函数”.下列函数中，是“导减函数”的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·四川成都·校考模拟预测）定义：设不等式的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解．若关于x的不等式有最优解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·湖南永州·统考三模）若函数和在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东汕头·统考二模）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·浙江·校联考二模）双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
D．若点P在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则
6．（2023·广东惠州·统考一模）若函数的定义域为，如果对中的任意一个，都有，且，则称函数为“类奇函数”．若某函数是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（ ）
A．若0在定义域中，则
B．若，则
C．若在上单调递增，则在上单调递减
D．若定义域为，且函数也是定义域为的“类奇函数”，则函数也是“类奇函数”
7．（2023·广东广州·统考模拟预测）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如，，．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）狄利克雷（1805~1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune德国数学家.对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函数，狄利克雷函数是数学分析中典型的病态函数.则关于有以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．存在使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形
D．设函数，则
9．（2023·黑龙江大庆·统考二模）记，若（且），则称是的n次迭代函数．若，则（ ）
A．B．C．2022D．2023
10．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）设是定义在R上的函数，若是奇函数.是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（ ）
（1）当时，
（2）
（3）若，则实数m的最小值为
（4）若有三个零点，则实数
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（2023·广东广州·统考三模）定义，设函数，若使得成立，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
12．（2023·广东韶关·统考模拟预测）定义为与距离最近的整数（当为两相邻整数算术平均数时，取较大整数），令函数，如：，，，，则（ ）
A．17B．C．19D．
13．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图像与函数的图像的交点为，（其中表示不超过x的最大整数），则下列说法正确的个数（ ）
①是非奇非偶函数函数；②；③；④.
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
14．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知定义在R上的函数的图象连续不间断，若存在非零常数t，使得对任意的实数x恒成立，则称函数具有性质，则（ ）
A．函数具有性质
B．若函数具有性质，则
C．若具有性质，则
D．若函数具有性质，且，则，
15．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数，记一次完整的图形变换为“T变换”，“T变换”的规则为：将函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩短为原来的，再向上平移1个单位，的图象经历一次“T变换”得到的图象，依此类推，经历次“T变换”后，得到的图象，则（ ）
A．
B．若，则
C．当时，函数的极大值之和小于
D．
16．（2023·山东·校联考二模）若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（ ）
A．，是“正方和谐函数”
B．若 为“正方和谐函数”，则
C．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数
D．若为“正方和谐函数”，则对，成立
17．（2023·江苏盐城·校考三模）让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数，当时，有，则（ ）．
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的对称中心
C．
D．
18．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数f(x)的定义域为A，若对任意，都存在正数M使得总成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
19．（2023·河北·校联考一模）已知符号函数，偶函数满足，当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2023·福建厦门·统考模拟预测）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，则（ ）
A．B．是素数时，
C．D．
21．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·河北张家口·统考二模）设函数在区间上有定义，若，使得对于在区间上的任意，当时，恒有，则称函数在区间上一致连续.也就是说，若函数在区间上一致连续，对于区间内任意，只要充分接近，那么与也能够充分接近，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上一致连续
B．函数在区间上一致连续
C．函数在区间上一致连续
D．函数在区间上一致连续
23．（2023·湖北·统考二模）已知，定义：表示不超过的最大整数，例如.若函数，其中，则（ ）
A．当时，存在零点
B．若，则
C．若，则
D．若，则
24．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）“”表示不大于x的最大整数，例如：，，．下列关于的性质的叙述中，正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若数列中，，，则
D．被3除余数为0
25．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设，当时，规定，如，.则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．设函数的值域为，则的子集个数为
D．
三、填空题
26．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若函数的图象上存在不同的两点，使函数图象在这两点处的切线斜率之积小于0且斜率之和等于常数e，则称该函数为“e函数”，下列四个函数中，其中为“e函数”的是 ．
①；②；③；④
27．（2023·云南保山·统考二模）对于函数，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是 .
四、双空题
28．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知函数，，，其中表示a，b中最大的数．若，则 ；若对恒成立，则t的取值范围是 ．
29．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）完美数（Perfectnumber）是一类特殊的自然数，它的所有真因数（除自身之外的正因数）的和恰好等于它本身，寻找“完美数”用到函数，为n的所有真因数之和，如，28是一个“完美数”，则再写出一个“完美数”为 ； .
30．（2023·安徽淮北·统考二模）已知函数，若对任意的实数都有，则 ； .（其中表示不大于的最大整数）