高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题0219题新结构定义题(函数与导数部分)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

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(1)若，判断是否为上的“3类函数”；
(2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，.
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．
注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
(1)求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；
(2)在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．
3．（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）若在上的值域是的子集，则称函数在上是封闭的.
(1)若在上是封闭的，求实数的取值范围；
(2)若在上是封闭的，求实数的最大值.
4．（2023上·浙江宁波·高一效实中学校考期中）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，．
(1)请用描述法写出满足方程的解集；（直接写出答案即可）
(2)解不等式；
(3)探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由．
6．（2023下·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．
(1)已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由；
(2)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．
7．（2023上·江苏连云港·高一校考期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
(1)区间是函数的黄金区间，求，的值
(2)如果是函数的一个“黄金区间”，求的最大值
专题02 19题新结构定义题（函数与导数部分）(典型题型归类训练)
1．（2024·广东茂名·统考一模）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.
(1)若，判断是否为上的“3类函数”；
(2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，.
【答案】(1)是上的“3类函数”，理由见详解.
(2)
(3)证明过程见详解.
【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明即可；
（2）由已知条件转化为对于任意，都有，，只需且，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.
（3）分和两种情况进行证明，，用放缩法进行证明即可.
【详解】（1）对于任意不同的，
有，，所以，
，
所以是上的“3类函数”.
（2）因为，
由题意知，对于任意不同的，都有，
不妨设，则，
故且，
故为上的增函数，为上的减函数，
故任意，都有，
由可转化为，令，只需
，令，在单调递减，
所以，，故在单调递减，
，
由可转化为，令，只需
，令，在单调递减，
且，，所以使，即，
即，
当时，，，故在单调递增，
当时，，，故在单调递减，
，
故.
（3）因为为上的“2类函数”，所以，
不妨设，
当时，；
当时，因为，
，
综上所述，，，.
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立或恒成立；②数形结合（的图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．
注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
(1)求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；
(2)在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析.
(2)
【分析】（1）求得，得到且，结合导数的几何意义，求得的直线方程，令，利用导数求得函数的单调性和最大值，得到，即可得到结论；
（2）令，求得，得到函数的单调性和最小值，令，化简得到，结合和，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得，
则且，
所以的方程为，即
因为函数的零点的近似值，即，所以，
可得
又因为，所以的直线方程为
令
其中，则，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也为最大值，即，
所以在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方.
（2）解：由曲线且，
令，
要使得两条运货总干线、分别在各自的区域内，则满足恒成立，
又由，令，可得，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，函数取得最小值，
最小值为，
令，即，
即，
即，
因为，可得，
又因为函数的零点的近似值，即，所以，
则，
又由，所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：应用函数知识求解实际应用问题的方法：
1、正确地将实际问题转化为函数模型，这是解答应用问题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．
2、用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解．
3、把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．
3．（2023上·安徽·高一校联考阶段练习）若在上的值域是的子集，则称函数在上是封闭的.
(1)若在上是封闭的，求实数的取值范围；
(2)若在上是封闭的，求实数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新的定义，即求二次函数在上的值域，利用分类讨论思想可得结果；
（2）根据新的定义，即求二次函数在上的值域，利用分类讨论思想建立不等关系可得结果.
【详解】（1）函数开口向上，对称轴是，
当时，，
因为在上是封闭的，
则有，解得；
当时，在上为减函数，则有，解得，又，故无解；
综上，的取值范围是
（2）函数开口向上，对称轴是，
当时，，
因为在上是封闭的，则有，解得，
依题意有，解得，
所以，
当时，在上为减函数，则有，
所以，即（舍去）
综上，的最大值是.
4．（2023上·浙江宁波·高一效实中学校考期中）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，．
(1)请用描述法写出满足方程的解集；（直接写出答案即可）
(2)解不等式；
(3)探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)为大于1的正整数
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得，则关于对称，即，则为偶函数，即可得解.
【详解】（1）依题意，，
当时，，则方程无解，
当为内的无理数时，，则方程无解，
当(为既约真分数)时，则，为大于1的正整数，
则由方程，解得，为大于1的正整数，
综上，方程的解集为为大于1的正整数.
（2）若或或为内无理数时，，
而，此时，
若(为既约真分数)，则，为大于1的正整数，
由，得，解得，
又因为(为既约真分数)，所以，
综上，不等式的解为.
（3）存在非零实数，使得为偶函数，即为偶函数，证明如下：
当或时，有成立，满足，
当为内的无理数时，也为内的无理数，所以，满足，
当(为既约真分数)，则为既约真分数，
所以，满足，
综上，对任意，都有，
所以关于对称，即，则为偶函数，
所以，存在非零实数，使得为偶函数.
5．（2023上·贵州贵阳·高二统考期中）阅读材料：
差分和差商
古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动.如果一个物体的位置在时刻u和后来的一个时刻v不同，我们就说他在时刻u和v之间动了，反过来，如果他在任意时刻有相同的位置，就说它在u到v这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概念.芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物体的运动或变化.研究函数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律.变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不出变化的.设函数在实数集上有定义.为了研究的变化规律，需要考虑它在中两点处的函数值的差.定义（差分和差商）称为函数从到的差分，这里若无特别说明，均假定.通常记叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的比值叫做在和的差商.显然，当和位置交换时，差分变号，差商不变.随着所描述的对象不同，差商可以是平均速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当时，它是在区间上的平均变化率.显然，函数和它的差商有下列关系：某区间上，单调递增函数的差商处处为正，反之亦然；某区间上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然.可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具.回答问题：
(1)计算一次函数的差商.
(2)请通过计算差商研究函数的增减性.
【答案】(1)
(2)函数在和递减，在递增
【分析】（1）由材料根据差商定义式求解即可；
（2）求解差商，分区间讨论差商符号，根据材料即可判断单调性.
【详解】（1）一次函数的定义域内任取，且，
差商为，
一次函数的差商处处为；
（2）函数的定义域为，设，
计算在的差商为，
当时，，
从而，故函数在递减；
当，，
从而，故函数在递减；
当时，则，
从而，故函数在递增；
综上所述，函数在和递减，在递增.
6．（2023下·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．
(1)已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由；
(2)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．
【答案】(1)是倒函数，不是倒函数；理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据倒函数的定义判断可得答案；
（2）根据倒函数的性质，先证充分性，再证必要性即可,
【详解】（1）对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立，又，
是倒函数，
对于，定义域为，
故当时，，不符合倒函数的定义，
所以不是倒函数；
（2）因为，又是上的倒函数，
所以，所以，
故，
充分性：当时，且，又在上是严格增函数，
所以，，
所以，，故.
必要性：当时，
有
，
又恒大于0，所以，
因为，所以，
因为在上是严格增函数．所以，即有成立.
综上所述：是的充要条件．
7．（2023上·江苏连云港·高一校考期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
(1)区间是函数的黄金区间，求，的值
(2)如果是函数的一个“黄金区间”，求的最大值
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)根据函数增减性，判断求出，;
(2) 在和上均为增函数，将其转化为是方程的两个同号的实数根，结合二次函数与韦达定理求解问题.
【详解】（1）因为区间是函数的黄金区间，是增函数，
所以，解得；
（2）由在和上均为增函数，
已知在“黄金区间”上单调，
所以或，且在上为单调递增，
则同理可得，
即是方程的两个同号的实数根