专题18 导数及其应用小题综合-备战2024年数学新高考一轮复习之专题知识归纳和题型技巧大综合

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冲刺秘籍
八大常用函数的求导公式
（为常数）
；例：，，，
，，
，，
导数的四则运算
和的导数：
差的导数：
积的导数：（前导后不导前不导后导）
商的导数：，
复合函数的求导公式
函数中，设（内函数），则（外函数）
导数的几何意义
导数的几何意义
导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率
直线的点斜式方程
直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：
用导数判断原函数的单调性
设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
判别是极大（小）值的方法
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
冲刺训练
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义列式可得，再根据韦达定理即可得答案.
【详解】由题意得，
过点作曲线的两条切线，设切点坐标为，
则，即，
由于，故，，
由题意可知为的两个解，
故，
故选：D
2．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数，若有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将题意转化为与存在两个交点，令，对求导，令或者，求出斜率为的切线方程，即可求出两条切线在轴上的截距，可得实数的取值范围.
【详解】解析：由可知，即与存在两个交点，
令，则，
令，解得：，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
令，解得，
则在处的切线方程为；
令，解得，则在处的切线方程为，
所以与的图象如下表：

且这两条切线在轴上的截距分别为实数的取值范围为.
故选：A.
3．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数与的图象有交点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】转化为在时有解，令，利用导数判断单调性可得答案.
【详解】因为函数与的图象有交点，
所以在时有解，，
令，，
令，
，
因为，所以，可得，
故在上单调递增，又，
所以当时，即，在单调递减，
当时，即，在单调递增，
所以.
故选：B.
4．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知x 表示不超过x的最大整数，x  m为函数（x 1）的极值点，则 f m （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导函数，令，，求导从而可确定的零点取值情况，即可得函数的极值点的估计值，从而可求f m ．
【详解】函数，，则
令，
则，所以在上单调递增，
因为，
所以，函数存在唯一零点．
所以是函数的极小值点，即，．
故选：A．
5．（2023·重庆巴南·统考一模）已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知，函数是周期为的周期函数，由题意可得关于的不等式在上有且只有个整数解，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】因为偶函数满足，则，即，
所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，令，可得.
由可得，由可得.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为关于的不等式在上有且只有个整数解，
则关于的不等式在上有且只有个整数解，如下图所示：

因为，且，
又因为，所以，要使得不等式在上有且只有个整数解，
则这五个整数解分别为、、、、，
所以，，即，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围，解题的关键在于作出函数的图象，明确整数解是哪些整数，再结合图形求解.
6．（2023·福建宁德·校考模拟预测）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，表示出圆锥的体积，换元后利用导数可求出体积的最大值，从而可求出圆锥的底面半径和高，再求出母线长，作出圆锥的截面，然后利用三角形相似可求出圆锥内切圆的半径.
【详解】设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为，
所以圆锥的体积，
令（），则，
所以，
则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为，母线长为，
设圆锥的内切球半径为，圆锥的截面如图所示,
则，，，
因为∽，所以，，解得,
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查圆锥的内切球问题，解题的关键是表示出圆锥的体积，化简后利用导数求出其最大值，从而可确定出圆的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.
7．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数，，，恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，其中，分析可知，存在，使得，可得出，由题意可得出，可得出，由此可得出，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即为的最大值.
【详解】令，其中，则，
令，其中，则，
故函数在上为增函数，
①当时，，，则，
所以，，
所以，存在，使得；
②当时，，则，，
所以，存在，使得；
③当时，令，则，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，即，当且仅当时，等号成立，
所以，，
所以存在，使得，即.
由上可知，对任意的，存在，使得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，
，则，
所以，，
令，其中，
所以，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，即的最大值为.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
8．（2023·福建三明·统考三模）已知函数，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先分析函数的单调性和对称性，根据函数的性质，再研究与对称轴的距离即可求解.
【详解】由题意：，
，
是的对称轴；
设，，并且， 则，显然是增函数，，
，，，即当时，是增函数，，根据复合函数单调性规则：同增异减，在时是增函数，
根据对称性，当时，是减函数；
下面分析自变量时与的距离，显然距离越大，对应的函数值越大，
；
设 ，则 ，是增函数，又，所以当时，，即，，
；
设，则，当时，是减函数，又，所以时，，
即，，又，；
；
故选：C.
【点睛】本题难度较大，分析问题的出发点是函数的图像，然后要运用缩放法对自变量x与对称轴的距离做出比较，其中是对正切函数和对数函数的一个常用的缩放，需要掌握.
9．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用导数得在上为减函数，在上为增函数，由可得，利用恒成立，得，再根据可得.
【详解】的定义域为，，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
因为，所以，所以，即.
因为
，
所以，
所以，
因为，所以，
又因为在上为增函数，所以，即，
所以，
综上所述：.
故选：B
【点睛】关键点点睛：推出恒成立，得是解题关键.
10．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数
【答案】C
【分析】由题意可求得直线与曲线和曲线分别切于点，，则，化简后得，然后将问题转化为方程解的个数，构造函数，利用导数和零点存在性定理可求得其零点的个数，从而可得答案.
【详解】根据题意可知，直线与曲线和曲线都相切，
所以对于曲线，则，所以，
所以切点，
对于曲线，则，所以，
切点，易知A,B不重合，
因为公切线过两点，所以，
进而可得，
令，则，
令，则
所以在单调递增，
因为，
所以存在使得，即，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
故.
又因为，
所以，
当时，，
因为，
所以在内存在，使得，
当时，，
因为，，
所以在内存在，使得，
综上所述，存在两条斜率分别为，的直线与曲线和曲线都相切，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是求出两切点的坐标后，将问题转化为方程解的个数问题，然后构造函数，利用导数和零点存在性定理解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
二、多选题
11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数和的图像都是上连续不断的曲线，如果，当且仅当时，那么下列情形可能出现的是（ ）
A．1是的极大值，也是的极大值B．1是的极大值，也是的极小值
C．1是的极小值，也是的极小值D．1是的极小值，也是的极大值
【答案】ABC
【分析】由题意构造函数图象满足题干依次判定选项即可.
【详解】对于A选项，构造如图所示图象，则A选项正确；

对于B选项，构造如图所示图象，则B选项正确；

对于C选项，构造如图所示图象，则C选项正确；

对于D选项，因为1是的极小值，则在1的附近存在，使得，
又1也是的极大值，则在1的附近存在，使得，
所以在1的附近存在与，使得，不合题意，故D错误.
故选：ABC.
12．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据零点的定义求函数的零点，由定义可得函数的零点的范围，结合函数解析式，转化为含参方程有解问题，求导，可得答案.
【详解】由题意，可得，，
易知，则，，
则在有解，
求导得：，令，解得，可得下表：
则当时，取得最大值为，
，
则的取值范围为，
设，，则，
所以函数在上单调递减，所以，
所以的值可以是，，.
故选：BCD.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
13．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】设切点坐标为，则有，所以问题转化为方程恰有两个解，令，然后利用导数求解其零点即可.
【详解】由，得，
设切点为，则切线的斜率为，
所以有，
整理可得：，
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令，
，
，
令，则，
所以在上单调递增，因为，
所以当时，；当时，，
①当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
所以只要或，即或；
②当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，，
所以只要或，由可得：，
由得；
③当时，，所以函数在上单调递增，
所以函数至多有一个零点，不合题意；
综上：当时，或；
当时，或，
所以选项A正确，B正确，C错误，D错误，
故选：AB
【点睛】关键点睛：解题的关键是根据题意将问题转化为方程恰有两个解，构造函数，再次将问题转化为此函数有两个零点，然后利用导数通过分析其单调性可求得结果.
14．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】依题意可得不等式有且只有三个整数解，令，利用导数判断函数的单调性，再由且函数的图象恒过点，作出两函数的图象，依题意可得，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为定义域为，由，
可得，
即不等式有且只有三个整数解，
令，则，所以当时，
当时，则在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以当时，当时，
易知函数的图象恒过点，
在同一平面直角坐标系中作出与的图象如下图所示：

由题意及图象可知，要使不等式有且只有三个整数解，
则，即，解得，
故符合题意的有A、B.
故选：AB
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是转化为不等式有且只有三个整数解，利用导数得到函数的单调性，再数形结合得到不等式组.
15．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）定义在R上的函数，的导函数为，，是偶函数.已知，，则（ ）
A．是奇函数B．图象的对称轴是直线
C．D．
【答案】ABC
【分析】对于A，利用题中条件解出，利用奇函数得定义即可；
对于B,对题中得两个条件进行变化，可得到，从而判定出的对称轴；
对于C,对题中得两个条件进行变化，对进行赋值，即可；
对于D,证明的性质，从而得到结论.
【详解】,，
，又
为奇函数，故A正确.
是偶函数，，
则
又，则，
所以，则
则，，
故的图象关于对称，故B正确.
因为，所以，
令得，，
又，令，
得=，故C正确.
，，
又，是奇函数，
，是奇函数，
则，，
则，，
故，D错误.
故选：ABC.
16．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（ ）
A．是奇函数
B．关于对称
C．周期为4
D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，利用已知条件，即得结果.对于选项B，由题意可推导出为偶函数，为奇函数，所以，即即可证明；对于选项C，由关于对称和关于对称，即得结果.对于选项D，通过赋值，利用C中推导的结论和已知条件，由等差数列的前项和即得结果.
【详解】因为可得为偶函数，所以，则为奇函数，故A正确；
因为，偶函数，时偶函数，
所以为偶函数，所以关于对称，
因为，为奇函数，为奇函数，
所以为奇函数，关于对称，
，
则其中为常数，又故，有关于对称，B正确；
令等价于，，所以，
因为关于对称，所以，
所以令等价于，所以，所以，
故可看成数列，
而因为关于对称，所以，，
故是以为首项，为公差的等差数列，
是以为首项，为公差的等差数列，
所以没有周期性，故C不正确；
，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：
①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；
②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.
17．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，其中，则m与n可能满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用导数的几何意义求出的切线方程，从而得到，进而将问题转化为与的图象有2个交点，利用导数研究的图像，从而结合图像得到的关系式，从而得解.
【详解】设切点坐标为，因为，则，切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为
将点的坐标代入切线方程可得，
过点恰能作两条直线与曲线相切，
即方程有2个解，即，
与的图象有2个交点，
，
若，令，得或，令，得，
即在上单调递减，在和上单调递增，

若，令，得或，令，得，
即在上单调递减，在和上单调递增，

又，，
故由图可知，当或时，与的图象有2个交点，
此时，或.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用导数的几何意义求出切线方程后，把代入切线方程，将其转化为两个函数的交点问题，求解即可.
18．（2023·重庆巴南·统考一模）已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．有最大值
B．
C．若时，恒成立，则
D．设为两个不相等的正数，且，则
【答案】ACD
【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.
【详解】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值，故A正确；
对于选项B：因为，
则，
所以，故B错误；
对于选项C：构建，则，
因为，且当时，恒成立，
则，解得，
若，则当时恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意
综上所述：符合题意，故C正确；
对于选项D：因为，
整理得，即，
由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减，
当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得，
不妨设，
构建，
因为在上恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以，即，
可得，
注意到在上单调递减，且，
所以，即，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
19．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】令，得到，推得为偶函数，得到的图象关于对称，再利用导数求得当时，单调递增，当时，单调递减，把不等式转化为恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，
令，则，可得，
可得，
所以为偶函数，即函数的图象关于对称，
又由，令，
可得，所以为单调递增函数，且，
当时，，单调递增，即时，单调递增；
当时，，单调递减，即时，单调递减，
由不等式，可得，即
所以不等式恒成立，即恒成立，
所以的解集为，所以且，
解得，结合选项，可得BC适合.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法设，从而得到，证明其为偶函数，则得到的图象关于对称，再结合其单调性即可得到不等式组，解出即可.
20．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知函数，其中是其图象上四个不重合的点，直线为函数在点处的切线，则（ ）
A．函数的图象关于中心对称
B．函数的极大值有可能小于零
C．对任意的，直线的斜率恒大于直线的斜率
D．若三点共线，则.
【答案】AD
【分析】由奇偶性和图象平移可判断A；利用导数求出极大值点，再由单调性与比较可判断B；利用导数求出，然后作差比较，即可判断C；根据化简即可判断D.
【详解】对于A，设，
因为，
所以为奇函数，图象关于原点对称，
所以的图象关于点中心对称，A正确；
对于B，令，解得，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，
由单调性可知，，故B错误；
对于C，，
因为，所以，
又，
所以
，
因为，所以
，即，C错误；
对于D，同上，可得，，
，
当三点共线时，则有，
整理得，
因为，所以，即，
又，所以，
整理得，
因为，所以，即，
所以，D正确.
故选：AD.
【点睛】思路点睛：本题解题思路是首先是构造函数，利用其奇偶性，再就是用导数判断出其单调性解题，利用切线斜率解题，考查了学生的思维能力、运算能力.
三、填空题
21．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）若函数在上有最大值，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，易得当时，取得极大值，再由，求得或，根据在上有最大值，由求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
令，解得或，
当或时，；
当时，，
所以当时，取得极大值，
又，即，
解得或，
因为在上有最大值，
所以，
解得，
所以a的取值范围是.
故答案为：
22．（2023·福建三明·统考三模）已知不等式恒成立，其中，则的最大值为 .
【答案】
【分析】分类讨论得出，从而得即，构造函数求最值即可.
【详解】令，
若，则在定义域上单调递增，无最小值，不符合题意；
即，则在上单调递减，在上单调递增，
则，
设，故在上单调递增，在上单调递减，
即，故.
故答案为：.
23．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）设函数，若不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，把不等式转化为，令，求得，令，得到，结合，得到存在唯一的使得，得出函数的单调性，结合的值和题设条件，得出，即可求解.
【详解】由函数，则不等式，即，
因为，可化为，令，可得，
令，可得，所以在上单调递增，
又由，所以存在唯一的使得，
当时，，可得，所以单调递减；
当时，，可得，所以单调递增，且，
又因为，
所以当原不等式有且仅有两个整数解时，则满足，
解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
24．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知函数有三个零点，且，则 .
【答案】1
【分析】令，由的图象可得最多只有两个解，所以由题意可知有两解，且，由图象可知有两解，有一解，代入即可求出结果.
【详解】由，得，
令，则，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以的图象如图所示，

由图可知最多只有两个解，
若要有三解，则有两解，
且，
因为函数有三个零点，且，
所以由图象可知有两解，有一解，
所以
，
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是令，然后将问题转化为有两解，且有两解，有一解，然后代入化简即可，考查数形结合的思想，属于较难题.
25．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用导数求出在上的单调性与极大值，即可画出函数的图象，依题意可得关于的方程恰有个不相等的实数根，令，则关于的有两个不相等的实数根，且，，令，则，即可求出参数的取值范围.
【详解】当时，则，所以当时，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值，，且时，当时，
当时，函数在上单调递增，
所以的图象如下所示：

对于函数，令，即，
令，则，
要使恰有个不相等的实数根，
即关于的有两个不相等的实数根，且，，
令，则有两个不相等的零点均位于之间，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是利用导数说明函数的单调性，得到函数的大致图象，将函数的零点问题转化为一元二次方程根的分布问题.
26．（2023·浙江·校联考模拟预测）若函数且存在极大值点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将问题转化为有不等根，且左边导函数为正，右边导函数为负数求解.
【详解】解：令，
得，
令，即，
有，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，，又在上单调递增，且当，，
当，，故，
所以，即有变号根，
令，则，
当 时， ，递增，当时， ，递减，
所以 当时， 取得最大值 ，
所以，，
当，，，当，，
此时必存在一个零点，且这个零点的左边导函数为正，右边导函数为负数，
该零点即为极大值点，
所以的取值范围是，
故答案为：
27．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）当时，函数的最小值为1，则 ．
【答案】
【分析】利用导数得到函数单调性，再分和讨论即可.
【详解】当时，，所以在上单调递减，
当时，，令，解得，
若，即，此时在和上单调递减，
注意当分别代入分段函数的解析式得到的值均为，
故在上单调递减，在上单调递增，则此时，解得，
但不满足，故舍去；
若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，
则此时，解得，满足，
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过导数求出当时，从而得到导函数零点，然后讨论与0的大小关系，即对进行分类讨论得到值.
28．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将题目转化为存在唯一的整数，使得在直线上方,得到，解得答案.
【详解】函数存在唯一的整数，使得，
设与,
即存在唯一的整数，使得在直线上方,
，当时，,在上单调递增；当时，,在上单调递减，,

若要存在唯一的整数，使得在直线上方，则，代入得，解得,
故答案为：.
【点睛】关键点点睛:用导数求参数的范围问题，将题目转化两个函数的交点问题求解是解题的关键.
29．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若有三个不同的根，则实数m的取值范围为 ．
【答案】或．
【分析】由题意是方程的一个根，结合为奇函数知在有一个根，令，并应用导数研究函数性质，作出两函数的图象，平移的图象判断交点情况，即可得答案．
【详解】由题意是方程的一个根，又为奇函数，
当时有一个根，即有一个根，
令，，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，所以，
而周期为2，且在上单调递减，在上单调递增，
将的图象向下平移2个单位，即时，符合题意，此时；

又在上，，
将的图象向上平移至少1个单位，也符合题意，此时，

所以实数m的取值范围为或．
故答案为：或
【点睛】关键点点睛：将问题化为研究在有一个根，构造中间函数并利用导数研究函数性质，数形结合判断符合题设情况下参数范围即可.
30．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知，若关于的方程无解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由可变形为，令（，且），通过二次求导判断在上是单调递减函数，从而有，即，从而可得无解，令（，且），求导判断单调性，结合图象即可求解.
【详解】，令（，且），
，
又，
令，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
, 即.
在上是单调递减函数.
（，且），
（，且），
令（，且），则，
当或时，单调递减，
当时，单调递增，
又因为当时，，则，当时，，则，
画出的图象，如图所示：

由图可知，当时，关于的方程无解.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛:
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;
（2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;
（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
,
单调递减
单调递增
极大值