高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题0119题新结构定义题(集合部分)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题0119题新结构定义题(集合部分)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共22页。试卷主要包含了若项数为的数列满足，给定正整数，设集合等内容，欢迎下载使用。

(1)①若，写出所有具有性质P的数列；
②若，写出一个具有性质P的数列；
(2)若，数列具有性质P，求的最大项的最小值；
(3)已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值.
2．（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.
设.例如当时，，，，所以.
(1)若，求的值；
(2)设是由3个正实数组成的集合且，证明：为定值；
(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意，设，.已知，且对任意，求数列的通项公式.
3．（2023·北京·101中学校考模拟预测）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.
(1)直接写出的所有自邻集；
(2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若，求证：.
4．（2023·北京门头沟·统考一模）已知集合.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作.
(1)当，即集合.
（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为；
（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于；
(2)证明：；
(3)证明：.
5．（2023·北京西城·统考一模）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；
(3)若集合具有性质，证明：．
6．（2022·北京海淀·首都师范大学附属中学校考三模）设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为.
(1)当时，是否存在理想集？并说明理由.
(2)当时，是否存在理想集？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
(3)求.
7．（2022·北京丰台·统考二模）设，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．
(1)已知，为聚合区间，求t的值；
(2)已知，，…，，为聚合区间．
（ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得；
（ⅱ）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得．
10．（2021·北京门头沟·统考一模）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①；②，；③，若且，则；④，若且，则，则称集合D为A的一个偏序关系.
（1）设，判断集合是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；
（2）证明：是实数集R的一个偏序关系：
（3）设E为集合A的一个偏序关系，.若存在，使得，，且，若，，一定有，则称c是a和b的交，记为.证明：对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一.
11．（2020·北京房山·统考二模）已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”.
（1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合为“完美集合”的值；
（3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.
12．（2021·北京门头沟·统考二模）已知定义在R上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且在任意区间上不是常值函数.设，其中分点将区间分成个小区间，记称为关于区间的n阶划分的“落差总和”.当取得最大值n，称存在“最佳划分”.
（1）已知，求的最大值(不必论证)；
（2）已知，求证：在区间上存在“最佳划分”的充要条件是在区间上单调递增.
专题01 19题新结构定义题（集合部分）(典型题型归类训练)
1．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P.
(1)①若，写出所有具有性质P的数列；
②若，写出一个具有性质P的数列；
(2)若，数列具有性质P，求的最大项的最小值；
(3)已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值.
【答案】(1)①：，2，1或1，3，1或1，3，2；
②：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）
(2)1013
(3)3
【分析】（1）直接根据性质P的概念一一列举即可；
（2）根据性质P及累加法得和，两式相加即可求解；
（3）根据性质P及累加法得，，求出并集中元素个数的最大值，从而求出交集中的元素个数最小值.
【详解】（1）①：，2，1或1，3，1或1，3，2；
②：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）
（2）当时，．
由，累加得；
又由，累加得；
相加得，又，所以.
所以数列的最大项的最小值为1013，
一个满足条件的数列为；
（3）由，累加得．
又，所以，同理，，
所以，
因为，
所以，
所以中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为
此时.
【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：
(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；
(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言；
(3)将已知条件代入新定义的要素中；
(4)结合数学知识进行解答.
2．（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.
设.例如当时，，，，所以.
(1)若，求的值；
(2)设是由3个正实数组成的集合且，证明：为定值；
(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意，设，.已知，且对任意，求数列的通项公式.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
(3)
【分析】（1）根据题中的定义，列举出，即可.
（2）先列举，，，中可能元素，根据集合的互异性判断元素个数差即可.
（3）类比（1）（2）当数列由到，为保证成立，则必有其成等差数列，故猜想，可用数学归纳法给予证明.
【详解】（1）当时，，，
，所以，
（2）法1：设，其中，
则，
因，
，
因，
所以，，，，
又 ，
，，
所以，
因，，，
，
因，，，，
所以，，，，
，，，
所以
所以为定值.
法2：．
设，由于，
所以对任意，不存在，使得，
于是，，
由于，所以对任意，不存在，使得，
于是，从而，
于是为定值．
（3）法1：，
若，
则，
,
故，
，
此时，不符合题意，
故，
猜想，下面给予证明，
当时，显然成立，
假设当，时，都有成立，即，
此时，，
故，，
，符合题意，
，
则，
，
若，
的元素个数小于
的元素个数
则有，
不符合题意，故，
综上，对于任意的，都有
故数列的通项公式.
法2：假设存在n，使得，设．
根据条件，，且， ，
，
根据假设，.
（i）如果，那么属于但不属于的元素组成的集合是，
从而．
属于，但不属于的元素组成的集合是，从而,
于是．矛盾！
（ii）如果，
那么对任意，
从而，
同样对任意且两两不同，
从而,
于是，矛盾！
【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用集合的新定义，列举集合中元素，注意集合的互异性，进而得到集合的元素个数.
3．（2023·北京·101中学校考模拟预测）设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.
(1)直接写出的所有自邻集；
(2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据自邻集的定义及子集的概念一一写出结果即可；
（2）取的一个含5个元素的自邻集，判定
集合，再证明C也是自邻集且，从而得出结论；
（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，则当时有，再分类讨论证明即可.
【详解】（1）由题意可得，的所有自邻集有：；
（2）对于的含5个元素的自邻集，
不妨设.
因为对于，都有或，，2，3，4，5，
所以，，或.
对于集合，，，，，
因为，所以，，2，3，4，5，
，
所以.
因为，，或.
所以，，
或，
所以对于任意或，，2，3，4，5，
所以集合也是自邻集.
因为当为偶数时，，
所以.
所以对于集合的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应.
所以，的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数.
（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，
当时，，，
显然.
下面证明：.
①自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为
因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是，
所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为.
②自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素，
记自邻集除，之外最大元素为，则，每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集.
此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为个；
其中含有最大数为2的集合个数为，
含有最大数为3的集合个数为，，
含有最大数为的集合个数为.
则这样的集合共有个.
③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个.
综上可得，
所以，
故时，得证.
【点睛】思路点睛：第二问取自邻集，和集合，，，，，先由定义判定，且集合也是自邻集，.即可证明结论；第三问记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，有，再分三类①自邻集含有，，这三个元素的自邻集的个数为，②自邻集含有，这两个元素的集合共有个，③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个来证明：即可.
4．（2023·北京门头沟·统考一模）已知集合.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作.
(1)当，即集合.
（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为；
（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于；
(2)证明：；
(3)证明：.
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）取，验证得到答案.
（2）若，，，从大到小取个元素，得到中任意4个元素之和，得到证明.
（3）集合的元素按和为分组，和把集合的元素按和为分组，确定中必有一个与没有公共元素，设，的4个元素满足条件，得到时成立，得到证明.
【详解】（1）取，则，满足条件；
取，则；；
；；；
满足条件.
（2）若，，，从大到小取个元素，
，，或，，
则中任意4个元素之和，不成立，故.
（3）当时，把集合的元素按和为分组，得：
，
易得，中至少有2个二元子集满足．
若把集合的元素按和为分组，得：
．
易得，中至少有3个二元子集满足．
而集合两两互不相交，与中每一个至多有一个公共元素，
所以，中必有一个与没有公共元素，不妨设，
则的4个元素就是的4个互异元素，而这4个元素的和为．
又，所以．
【点睛】关键点睛：本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将集合按照和为与和为分组，再根据抽屉原理得到新集合，是解题的关键.
5．（2023·北京西城·统考一模）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；
(3)若集合具有性质，证明：．
【答案】(1)具有，理由见解析
(2)不存在，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据集合具有性质的特征，即可根据集合中的元素进行检验求解，
（2）假设集合具有性质，分别考虑时，集合中的元素，即可根据的定义求解.
（3）根据假设存在使得，考虑当时以及时，分量为1的个数即可讨论求解.
【详解】（1）因为，同理．
又，同理．
所以集合具有性质．
（2）当时，集合中的元素个数为．由题设．
假设集合具有性质，则
①当时，，矛盾．
②当时，，不具有性质，矛盾．
③当时，．
因为和至多一个在中；和至多一个在中；
和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾．
④当时，，不具有性质，矛盾．
⑤当时，，矛盾．
综上，不存在具有性质的集合．
（3）记，则．
若，则，矛盾．若，则，矛盾．故．
假设存在使得，不妨设，即．
当时，有或成立．
所以中分量为的个数至多有．
当时，不妨设．
因为，所以的各分量有个，不妨设．
由时，可知，，中至多有个，
即的前个分量中，至多含有个．
又，则的前个分量中，含有
个，矛盾．
所以． 因为，
所以．
所以．
【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
6．（2022·北京海淀·首都师范大学附属中学校考三模）设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为.
(1)当时，是否存在理想集？并说明理由.
(2)当时，是否存在理想集？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
(3)求.
【答案】(1)不存在，理由见解析；
(2)存在，；
(3)
【分析】（1）根据理想集的定义，分3元子集、4元子集分别说明判断作答.
（2）根据理想集的定义，结合（1）中信息，说明判断5元子集，6元子集作答.
（3）根据理想集的定义，结合（1）（2）中信息，判断的所有6元子集都符合理想集的定义作答.
【详解】（1）解：依题意，要为理想集，，
当时，，显然，有，而不是偶数，即存在3元子集不符合理想集定义，
而，在中任取3个数，有4种结果，；；；，它们都不符合理想集定义，
所以当时，不存在理想集.
（2）解：当时，，由（1）知，存在3元子集、4元子集均不符合理想集定义，
5元子集，在此集合中任取3个数，满足较小的两数和大于另一个数的只有与两种，但这3数和不为偶数，
即存在5元子集不符合理想集定义，
而的6元子集是，是偶数，是偶数，
即的6元子集符合理想集定义，是理想集，
所以当时，存在理想子集，满足条件的可分别为或，
即.
（3）解：当时，，由（1），（2）知，存在的3元子集、4元子集、5元子集不满足理想集定义，
要为理想集，，显然符合理想集的定义，满足条件的分别为或，
的6元子集中含有的共有个，这10个集合都符合理想集的定义，
的6元子集中含有不含6的有5个，其中含有4的有4个，这4个集合都符合理想集的定义，不含4的为，
显然有为偶数，即的6元子集中含有不含6的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有不含5的有5个，它们是，，
它们对应的可依次为：；；；；，
即的6元子集中含有不含5的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有不含3的有5个，它们是，，
它们对应的可依次为：；；；；，
即的6元子集中含有不含3的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有之一的有3个，它们是，对应的可依次为：；；，
即的6元子集中含有之一的3个都符合理想集的定义，
因此，的所有个6元子集都符合理想集的定义，是理想集，
的7元子集有个，其中含有的有5个，这5个集合都符合理想集的定义，不全含的有3个，
它们是，对应的可依次为：；；，
即的所有8个7元子集都符合理想集的定义，是理想集，
的8元子集是，对应的可以为：，因此，是理想集，
因此，的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，所以，
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
7．（2022·北京丰台·统考二模）设，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．
(1)已知，为聚合区间，求t的值；
(2)已知，，…，，为聚合区间．
（ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得；
（ⅱ）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得当且仅当时成立即可得；
（2）（ⅰ）设，根据区间端点的大小关系证明所有区间都包含即可；
（ⅱ）先分析可得个互不相同的集合的区间端点的大小关系，再设，再根据区间端点的最小距离为 ，累加即可证明
【详解】（1）由可得，又，为聚合区间，由定义可得，故当且仅当时成立，故
（2）（ⅰ）由，是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设，因为，故，又，故，不妨设中的最大值为，中最小值为，则，即，故存在区间
（ⅱ）若存在 则或，与已知条件矛盾
不妨设 ，则
否则，若，则，与已知条件矛盾
取，设
当时，，
又，所以，所以，
即，所以，
此时取，则，
当时，同理可取，使得，
综上，存在不同的i，，使得
【点睛】本题主要考查了新定义的集合类证明，可根据题意先画数轴分析题目中区间的关系，再凑出所需证明的不等式即可,属于难题
8．（2022·北京丰台·统考一模）已知集合(且），，且．若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集．
(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；
①； ②．
(2)若是的3元完美子集，求的最小值；
(3)若是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件．
【答案】(1)不是的3元完美子集；是的3元完美子集；理由见解析
(2)12
(3)证明见解析；等号成立的条件是且
【分析】（1）根据元完美子集的定义判断可得结论；
（2）不妨设．由，，分别由定义可求得的最小值；
（3）不妨设，有．是中个不同的元素，且均属于集合，此时该集合恰有个不同的元素，显然矛盾．因此对任意，都有，由此可得证.
【详解】（1）解：（1）①因为，又，所以不是的3元完美子集．
②因为，且，而，
所以是的3元完美子集．
（2）解：不妨设．
若，则，，，与3元完美子集矛盾；
若，则，，而，符合题意，此时．
若，则，于是，，所以．
综上，的最小值是12．
（3）证明：不妨设．
对任意，都有，
否则，存在某个，使得．
由，得．
所以是中个不同的元素，且均属于集合，
该集合恰有个不同的元素，显然矛盾．
所以对任意，都有．
于是．
即．
等号成立的条件是且．
9．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）在）个实数组成的n行n列的数表中，表示第i行第j列的数，记，若∈，且两两不等，则称此表为“n阶H表”，记
(1)请写出一个“2阶H表”；
(2)对任意一个“n阶H表”，若整数且，求证：为偶数；
(3)求证：不存在“5阶H表”.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)根据定义列出2阶H表即可;
(2) 对“n阶H表”，整数应用结论得证;
(3)应用反证法结合定义可证.
【详解】（1）
（2）对任意一个“n阶H表”，表示第i行所有数的和，表示第j列所有数的和，
均表示数表中所有数的和，所以
因为，所以，，……，，，，……，只能取[-n，n]内的整数.
又因为，，……，，，，……，互不相等，
所以{，，，……，，，，……，，……，-1，0，1，……，，
所以
所以偶数.
（3）假设存在一个“5阶H表”，则由（2）知5，-5，3，，且和至少有一个成立，不妨设
设，则，于是，因而可设
①若3是某列的和，由于，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即.现考虑-3，
只能是或，不妨设，即，由，，两两不等知，，两两不等，
不妨设，若则；若，则；若，
则，均与已知矛盾.
②若3是某行的和，不妨设，则第4行至少有3个1，若这3个1是前四个中某三个数，
不妨设，则第五行前三个数只能是3个不同的数，不妨设，，
则，矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数为1，不妨设1，所以，第五行只能是2个，3个-1或1个1，4个-1，
则，，至少有两个数相同，不妨设，则，与已知矛盾.
综上，不存在“5阶H表”.
10．（2021·北京门头沟·统考一模）对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件：①；②，；③，若且，则；④，若且，则，则称集合D为A的一个偏序关系.
（1）设，判断集合是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；
（2）证明：是实数集R的一个偏序关系：
（3）设E为集合A的一个偏序关系，.若存在，使得，，且，若，，一定有，则称c是a和b的交，记为.证明：对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一.
【答案】（1）集合不是集合A的偏序关系，，（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【分析】（1）根据条件显然，，但所以不满足条件④由此可判断，写出一个满足这四个条件的集合即可.
（2）依次证明集合满足题目中的四个条件即可.
（3）设为,则，则，，假设还存在一个，使得，则可以得到，，由条件③可得从而得证.
【详解】（1）由
显然，，但
所以不满足条件④，若且，则
所以集合不是集合A的偏序关系.
集合满足条件①②③④,
所以集合是集合A的偏序关系.
（2）
所以，则满足①
又，所以，，则满足②
由于，则当，若，则，也满足③
由于，，
若则，若，则，所以
所以，所以满足④
所以是实数集R的一个偏序关系
（3）对A中的两个给定元素a，b，若存在，设为
所以，，，
假设还存在一个，使得
则，，，又对于有，，则
由，，，对于，有，，则
由条件③，若且，则可得
所以对A中的两个给定元素a，b，若存在，则一定唯一
【点睛】关键点睛：本题考查集合中的新定义问题，解答本题的关键是弄清楚定义的意义，特别是③，
因为为正整数，则可以被整除，
所以，或，即或.
故集合为“完美集合”的一个必要条件是或.
【点睛】关键点点睛：解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算，解本题的关键在于理解“完美集合”的定义，弄清集合、中的元素与集合中元素之间的关系，采取逻辑推证、列举法等方法求解.
12．（2021·北京门头沟·统考二模）已知定义在R上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且在任意区间上不是常值函数.设，其中分点将区间分成个小区间，记称为关于区间的n阶划分的“落差总和”.当取得最大值且n取得最小值时，称存在“最佳划分”.
（1）已知，求的最大值(不必论证)；
（2）已知，求证：在区间上存在“最佳划分”的充要条件是在区间上单调递增.
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】（1）根据的定义，结合正弦函数的最大值可求出结果；
（2）根据函数的单调性结合的定义可证充分性；利用反证法结合的定义可证必要性.
【详解】（1）由题意可知，
所以
，即.
（2）①充分性：若在区间上单调递增，则，
所以
，
故在区间上存在“最佳划分”，
②必要性：若在区间上存在“最佳划分”，
假设在区间上不单调递增，
则存在，当时，有，
由，
由不等式的性质,当且仅当，，时，等号取得,不等式成立，
此时，
因为，所以，与相矛盾，
所以中等号不成立，“落差总和”会增加，故取得最大值时的的最小值大于，与条件矛盾，所以假设不成立，
所以在区间上单调递增，
所以在区间上存在“最佳划分”的充要条件是在区间上单调递增.
【点睛】关键点点睛：正确理解的定义，并运用反证法证明必要性是解题关键.1
1
-1
0