专题20 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象和性质5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
一、单选题
1．（2024高三上·全国·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，把的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】首先根据函数图象得到，，再根据函数的图象变换即可得到答案.
【详解】由题中函数图象可知：.
最小正周期为，所以，，
将点代入函数解析式中，得，
所以，，即，.
因为，所以，故，.
把的图象上所有的点向左平移个单位长度，
得到函数图象的解析式为，；
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得到函数图象的解析式为，.
故选：D
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数的最小值可求得A的值，由结合的取值范围可求得的值，再由可求得的值，综合可得出结果．
【详解】由图象可得，可得，
，可得，
由于函数在附近单调递减，且，，
由图象可知，函数的最小正周期满足，可得，
，则，
所以，解得，
，所以，，因此．
故选：D．
3．（2024高三上·陕西渭南·开学考试）如图，函数的图像过两点，为得到函数的图像，应将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】先根据周期求，再代入，解得，最后根据平移变换即可判断
【详解】
代入得 即
即
对于A选项，
,故A错误
对于B选项
，故B错误
对于C选项
，故C错误
对于D选项，
，故D正确
故选：D
4．（2024·吉林·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的等式，即可得出结果.
【详解】因为，
将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，
由题意可得，可得，当时，，
故选：D.
5．（2024高三下·河南洛阳·开学考试）已知把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用和差公式，倍角公式和辅助角公式化简，再根据图象变换的性质即可得出关于的式子，代入即可求解.
【详解】由题知，
，
且
，
，
即，
解得，当时，取得最小正值，
.
故选：C.
6．（2024高三下·青海玉树·阶段练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】根据图像平移的规律，算出答案即可.
【详解】由题意，由于函数，
观察发现可由函数向左平移个单位长度，得到函数的图象，
故选：A.
7．（2024高三上·青海西宁·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简得到，然后根据图象的平移变换判断即可.
【详解】，，
，
所以的图象向右平移得到的图象.
故选：A.
8．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
B．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
【答案】A
【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换规律可得出合适的选项.
【详解】由图象可知，函数的最小正周期为，则，，
，则，可得，
，所以，，
所以，，
因此，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.
故选：A.
9．（2024·湖南常德·二模）已知函数，，将函数的图象经过下列哪种可以与 的图象重合（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】C
【分析】利用诱导公式结合三角函数的平移即可.
【详解】，
将函数的图象向右平移个单位：；
故选：C
10．（2024高一下·吉林·阶段练习）2019年长春市新地标——“长春眼”在摩天活力城Mall购物中心落成，其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m，摩天轮逆时针匀速转动，每15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时P距离地面的高度，当距离地面的高度在以上时可以看到长春的全貌，则在转一圈的过程中可以看到整个城市全貌的时间约为（ ）
A．2.0minB．2.5minC．2.8minD．3.0min
【答案】B
【分析】根据条件得出，然后解不等式即可.
【详解】由题意可知摩天轮运动一周距离底面的最高点为(60+40)米与最低点(60-40)米，相差80米，
∴；运动一周15分钟，即；
由，可得，故.
要看到全景需，解之得：，故时间长为min.
故选：B
11．（2024高三上·广东广州·期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由点A坐标，可求得.由题可知的最小正周期为8，据此可求得.又由题,有，结合可得.
【详解】因点在水车上，所以.
由题可知的最小正周期为8，则，又，则.
因，则，又，故.
综上：.
故选：D
12．（2024高三上·湖北·阶段练习）一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转一周.它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，点离地面距离与时间之间的函数关系式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，设出函数解析式，再根据给定的条件求解其待定系数作答.
【详解】以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为y轴，该直线与地面的交点为原点，建立坐标系，如图，
依题意，设函数解析式为，
显然，则，，
函数的周期，则，因当时，，即有，则，
于是得，
所以点离地面距离与时间之间的函数关系式是.
故选：C
13．（2024·全国）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
14．（2024·全国）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
15．（2024高三·全国·专题练习）已知，记在的最小值为，在的最小值为，则下列情况不可能的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】由区间的特点可知，采用特殊值法，对分别取值，排除选项A、B、C，即可得到正确答案.
【详解】由给定区间可知，.
区间与区间相邻，且区间长度相同.
取，则，区间，可知，，故A可能；
取，则，区间，可知，，故C可能；
取，则，区间，可知，，故B可能.
结合选项可得，不可能的是，．
故选：D.
16．（2024高一下·浙江杭州·期中）为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
【答案】A
【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.
【详解】，
将函数向左平移个长度单位，得到，
故，解得，
即向左平移个长度单位.
故选：A
17．（2024·浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.

18．（2024·全国）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
19．（2024·浙江）把函数y=cs2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意, 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵
坐标不变),即解析式为,向左平移一个单位为,向下平移一
个单位为,利用特殊点变为,选A.
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.
20．（2024高三上·天津和平·期末）已知函数，函数图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，将图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先求出周期则得到，再根据平移压轴的原则即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，所以，
则将图象上所有的点向左平移个单位长度变为，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为.
故选：A.
21．（2024·福建）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：依题意，因为、的图象都经过点，所以，因为，所以，或，即或．在中取，即得，选B．
考点：1.图象的平移；2.由三角函数值求角．
【方法点晴】本题主要考查的是三角函数图象的变换，属于中档题题，本题首先根据平移变换得到，再由函数均经过，将代入两个函数可得，由，得和或，解出或，再取值即可．本题一定注意角的范围，否则容易出错．
22．（2024·全国）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
23．（2024高三上·浙江宁波·期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据平移变换得到，且，结合函数零点个数得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】，
由题意得，故当时，，
显然当，即为的一个零点，
要想在上恰有三个不同的零点，
若，解得，
若，无解，
若，无解.
故选：A
24．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.若在区间内有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可得出的值，代值计算可得出的值.
【详解】函数，
将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
当时，，
令，得，
所以当时，，且，
所以函数的图象关于直线对称.
因为在区间内有，且的最小正周期，
所以，此时.
故选：B.
25．（2024·陕西榆林·一模）将函数的图像向右平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意可得曲线为，又关于轴对称，所以，根据即可得解.
【详解】曲线为，
又关于轴对称，所以，
解得，又，
所以当时，的最小值为.
故选：B
26．（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下，则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：分钟）之间的关系为．某时刻（单位：分钟）时，盛水筒在过点（为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过分钟后，盛水筒（ ）
A．在水面下B．在水面上
C．恰好开始入水D．恰好开始出水
【答案】B
【分析】根据题意列出计算式，再用两角和差公式计算即可.
【详解】由题意，，
可得，或（舍去）．
所以，
所以再经过分钟，可得，所以盛水筒在水面上．
在判断时，可以采用放缩法更为直接，过程如下：
，
,故盛水筒在水面上．
故选：B．
27．（2024·江西）如图，已知，圆心在上，半径为的圆在时与相切于点，圆沿以的速度匀速向上移动，圆被直线所截上方圆弧长记为，令，则与时间（≤≤，单位：）的函数的图像大致为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：依题意知，
当t=0时，圆与相切于点，此时x=0,y=csx=1，排除A,D选项；
当00)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
题型1：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
1-1．（2024高三上·全国·专题练习）把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，所得图象对应的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据图象平移过程写出对应解析式.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
将所得函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．
故答案为：
1-2．（2024·全国）函数的图象可由函数的图象至少向右平移 个单位长度得到．
【答案】
【详解】试题分析：,故应至少向右平移个单位.
考点：1、三角恒等变换；2、图象的平移.
1-3．（2024·湖北十堰·三模）为了得到函数图象，只要将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
【答案】A
【分析】根据函数的图象的平移以及伸缩变换得到的结果，可判断A正确；按平移的单位以及图象上各点横坐标伸缩变换的倍数，可得到变换后的函数图象，写出其解析式，可判断B,C,D.
【详解】只要将的图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象，
再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，即A正确；
将的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的是函数的图象，故B错误；
将的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的是函数的图象，故C错误；
将的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的是函数的图象，故D错误；
故选：A
1-4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知曲线，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】C
【分析】结合选项按照先伸缩，再平移的过程，结合诱导公式，即可判断选项.
【详解】曲线，
把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象；
再把得到的曲线向左平移个单位长度，可以得到曲线的图象.
故选：C.
1-5．（2024·全国）已知曲线C1：y=cs x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cs2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cs2（x+）=cs（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，
故选D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.
（二）
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
题型2：由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
2-1．（2024·北京通州·模拟预测）已知函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由三角函数的图象与性质求解即可.
【详解】由图知：，则，故，
则，
由，则，
所以，，
又，故，
综上，，
故选：C.
2-2．（2024高三上·北京东城·开学考试）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ，若将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为 .

【答案】
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点坐标求出的值，可得函数的解析式，根据三角函数的图象变换规律求得新函数的解析式．
【详解】根据图象知，，
将点代入，得，
，又，则，
，
将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为．
故答案为：，．
2-3．（2024·全国）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ．
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
2-4．（2024·江苏盐城·一模）函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式 ．
【答案】
【分析】由图易知，再向右平移个单位，可得.
【详解】由图知,，，
则：，，
又，
∴，
∴令可得；
∴的解析式为，
∴将的图象向右平移单位后得.
故答案为：.
2-5．（2024高三上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数（，，）的部分图象如图所示，设使成立的a的最小正值为m，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】使成立的a即为的对称中心的横坐标，由可得m；由图可知、及，将点代入，求得，得到函数的解析式后代入得到从而求得答案.
【详解】使成立的a即为的对称中心的横坐标，
∴a的最小正值为，
由图可知，，，∴，
将点代入，得，
∴，，
，，∵，∴取，
∴，∴，
∴.
故选：B.
2-6．（2024高三下·四川南充·开学考试）已知函数（为常数，）的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根据已知条件得到，再根据三角函数平移变换求解即可。
【详解】由题意得，所以，故，
因为，，所以，，
即 .
又因为，解得.
即.
将的图像向左平移个单位长度，
得到函数.
故选：A
（三）
三角函数图象、性质的综合应用
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
题型3：图象与性质的综合应用
3-1．（2024·安徽）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是________.
【答案】
【详解】试题分析：由题意，将其图象向右平移个单位，得，要使图象关于轴对称，则，解得，当时，取最小正值.
考点：1.三角函数的平移；2.三角函数恒等变换与图象性质.
3-2．（2024·上海虹口·一模）设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则 ．
【答案】
【分析】根据对称轴与对称中心的最小距离即可得到周期,将对称轴代入即可得到关于的等式,再根据的范围即可得到解析式.
【详解】解:由题知,因为对称轴与对称中心的最小距离为,
所以,即,
所以,此时,
因为对称轴为,
故有:,
即,
因为,
所以,
故.
故答案为:
3-3．（2024高三·全国·专题练习）函数(，)为偶函数，且函数的图像的两条对称轴之间的最小距离为，则的解析式为 .
【答案】
【分析】先利用辅助角公式将函数转化为，再根据函数的图像的两条对称轴之间的最小距离为，求得，从而得到，然后由为偶函数求解.
【详解】∵函数，
∴，
由题意得，
∴，则.
∵为偶函数，
∴，
∴，，
又∵，
故，
即，
∴.
故答案为：
【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求解析式以及辅助角法的应用，属于中档题.
3-4．（2024·云南昭通·模拟预测）函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求出平移后的函数，根据新函数是偶函数即可得出的值.
【详解】
由题意，
在中，向左平移得到，
所以，
因为为偶函数，
所以，
又因为，
所以，
故选：D.
3-5．（2024·安徽）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是
A．B．C．D．和
【答案】D
【详解】试题分析：时，点的坐标是，所以点的初始角为，当点转过的角度在或时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增，因为12秒旋转一周，所以每秒转过的角度是，，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是和，故选D．
考点：1、三角的定义；2、三角函数的图象与性质．
【方法点睛】三角函数的定义是研究三角问题的基础，在数学学习中，利用定义解题是一种良好的思维方式，因为定义是一切基本问题的出发点，对数学定义的反复应用必将增强对知识的理解与掌握，是学好数学的有效途径．
题型4：函数零点(方程根)问题
4-1．（2024高三上·江苏常州·期中）已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．

(1)求函数的解析式，并直接写出函数的解析式；
(2)若在内恰有2023个零点，求实数与正整数的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由图象知的最小正周期，可求得的值，再由，求出，进而求出的解析式；再由三角函数的平移和伸缩变化求出的解析式；
（2）由换元法将的零点转化为的根，记为，其中，由分析知，显然中有一个为或1，分类讨论和求解即可.
【详解】（1）由图象知周期，且
．
再由，
．
（2）
令两根记为，其中，
作出在上的大致图象如下：

显然中有一个为或1．
①当时，此时，当为偶数时，有个交点，
有个交点，此时，无解，舍去．
当为奇数时，有个解，有个解，有，无解，舍去．
②当时，，此时．
当为偶数时，有个交点，有个交点，此时，无解，舍去．
当为奇数时，有个解，有个解．
，故．
4-2．（2024高三上·吉林长春·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求与的解析式；
(2)令，求在区间内的所有实数解的和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数图象得到，代入，求出，得到的解析式，并根据平移法则计算出的解析式；
（2）求出，故得到，令，画出的函数图象，数形结合得到根的和.
【详解】（1）设函数的最小正周期为，
因为，由函数可得，
因为，所以，解得，
将代入解析式，得，故，
因为，所以，，
故，解得，
故，
的图象向右平移个单位长度，
得到；
（2）
，
令得，即，
当时，，令，
画出在的函数图象，如下：
共有4个解，其中，
即，解得，
.
题型5：三角函数模型
5-1．（2024高二下·辽宁·学业考试）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）记录表．（ ）
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深值
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
根据以上数据，若用函数近似地描述这个港口的水深值与时间（记时刻0：00为时间）的函数关系，则上午7：00时，水深的近似数值为（ ）
A．2.83B．3.75C．6.25D．7.17
【答案】B
【分析】根据周期求得，进而求得正确答案.
【详解】由表中数据知，，即，解得，所以，
当时，．
故选：B
5-2．（2024高一上·全国·专题练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，当时，两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时，时间t的值是 ．
【答案】10
【分析】设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，求出座舱转动的角速度，计算，，相减得到高度差，计算最值得到答案．
【详解】设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，如图所示：
设时，游客甲位于点，以为终边的角为；
根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，
由题意得．
甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则，
经过后甲距离地面的高度为，
点B相对于点A始终落后，
此时乙距离地面的高度为．
则甲、乙距离地面的高度差
，
＝.
因为，所以，
所以两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时
，解得.
即开始转动10分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为45．
故答案为：10．
5-3．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 .
【答案】3
【分析】由题意得，，，又时，，代入求值，得到，求出函数解析式，求出答案.
【详解】由题意得，又，故，
且，解得，
故，
当时，，即，，
又，解得，
故，
所以
.
故答案为：3
5-4．（2024高三·江西赣州·阶段练习）如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（ ）

A．转动后点距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第和第点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为
【答案】D
【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断.
【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：
，
由题意得：，
，则 ，
所以 ，
选项A，转到后，点距离地面的高度为：
，故A不正确；
选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，
故B不正确；
选项C，因为
，
，
所以 ，
即第和第点距离地面的高度不相同，故C不正确；
选项D，令，
则 ，由，
解得 ，
所以，
即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，
故D正确；
故选：D.
5-5．（2024高三上·山东滨州·期末）某钟表的秒针端点到表盘中心的距离为，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与表盘上标“12”处的点重合．在秒针正常旋转过程中，，两点的距离（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由条件分析函数的性质，由此判断正确选项.
【详解】由已知函数的定义域为，周期为，且时，，
对于选项A，函数周期为，A错误；
对于选项B，函数周期为，B错误；
对于选项D，当时，，D错误；
对于选项C，
，
所以函数，
故选：C.
时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
米
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
0
1
4
6
1
2
0
0
1