2023-2024学年山东省临沂市高一上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市高一上学期期中考试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U=R，集合A=x0≤x≤1,B=-1,1,2,4，那么阴影部分表示的集合为
( )
A. {-1,4}B. {1,2,4}C. {1,4}D. {-1,2,4}
2.命题“∃x∈R，x+|x|<0”的否定是
A. ∃x∈R，x+|x|>0B. ∃x∈R，x+|x|≥0
C. ∀x∈R，x+|x|≥0D. ∀x∈R，x+|x|>0
3.函数y= x-2|x|-3的定义域是
( )
A. {x|x>2}B. {x|x≥2且x≠3}
C. {x|x≠±3}D. {x|x>2且x≠3}
4.已知函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上单调递增，则k的取值范围是
A. [40,160]B. [40,+∞)C. (-∞,40]D. [160,+∞)
5.已知f(x)=x-5,x≥6f(x+1),x<6，则f(3)=( )
A. 1B. 0C. -1D. -2
6.已知函数f(x)=ax3+bx-cx+2，若f(2023)=6，则f(-2023)=
A. -8B. -6C. -4D. -2
7.已知函数f(x+1)是偶函数，当1≤x10恒成立，设a=f-12，b=f(1)，c=f(2)，则a，b，c的大小关系为
( )
A. b8.在实数的原有运算法则中，定义新运算“♁”，规定当a≥b时，a♁b=a；当aA. 5B. 6C. 10D. 12
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知命题p：∀x∈R，ax2-ax+1>0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是
( )
A. a∈[0,4)B. a∈(4,+∞)C. a∈(0,4)D. a∈{0}
10.设a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A. 若ac2>bc2，则a>bB. 若a>b，则ac2>bc2
C. 若a>b，则1a<1bD. 若a>b>0，则a2>ab>b2
11.设正实数a、b满足a+b=1，则下列结论正确的是
A. 1a+1b≥4B. a2+b2≥12C. ab≤14D. a+ b≥ 2
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)=[x]称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，则下列命题正确的是
( )
A. ∀x∈[-1,0]，f(x)=-1
B. ∀x∈R，f(x+1)=f(x)+1
C. f(x+y)≥f(x)+f(y)
D. 2f2(x)-f(x)-3≥0的解集为{x|x<0或x≥2}
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若x>-1，则2x+1x+1的最小值是________．
14.已知函数y= x2的值域为{0,4}，则它的定义域可以是________.(写出其中一个即可)
15.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+2，则f(-1)=________．
16.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,8)，且满足f(mx2)+8f(4-3x)≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A={x|3≤x≤a+5}，B={x|2(1)当a=2时，求∁R(A∪B)，∁RA∩B；
(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
设函数f(x)=x2-(a+1)x+a，a∈R．
(1)解关于x的不等式f(x)<0；
(2)当x∈(1,+∞)时，不等式f(x)≥-1恒成立，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知x>0，y>0，且xy=x+y+3．
(1)求x+y的取值范围；
(2)求xy的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax-bx2-4是定义在(-2,2)上的奇函数，且f(1)=-13．
(1)求a，b值；
(2)用定义证明：f(x)在(-2,2)上单调递减；
(3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0．
21.(本小题12分)
某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x千件时，需另投入成本C(x)(万元)．C(x)=12x2+10x+1100,0每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题12分)
对于区间[a,b]，a(1)求函数y=2x2的所有“保值”区间；
(2)函数y=x2-2x+m(m∈R)是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了集合的基本运算，属于基础题．
根据题意可得阴影部分所表示的集合( ∁UA) ∩B.
【解答】
解：阴影部分即为( ∁UA) ∩B，
∵A=x0≤x≤1,B=-1,1,2,4
∴ ∁UA={x|x>1或x<0}，
∴(∁UA) ∩B={-1,2,4}，
故选D．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查存在量词命题的否定，属于基础题．
根据存在量词命题的否定为全称量词命题，直接写出否定即可．
【解答】解：由于命题：“∃x∈R，x+x<0”为存在量词命题，
所以其否定为全称量词命题，
则原命题的否定为∀x∈R，x+x≥0．
故选C
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求函数的定义域，属于基础题．
由题意得不等式组，解不等式组即可．
【解答】
解：因为函数y= x-2|x|-3，
则x-3≠0x-2⩾0，解得x⩾2且x≠3．
故定义域为{x|x≥2且x≠3}．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的性质，以及利用函数的单调性求参数．
根据二次函数的图象和性质，若函数h(x)=4x2-kx-8在[5,20]上是单调递增，则区间[5,20]应完全在对称轴x=k8的右侧，由此构造关于k的不等式，解得k的取值范围．
【解答】
解：函数h(x)=4x2-kx-8的对称轴为x=k8，
若函数h(x)=4x2-kx-8在[5,20]上是单调递增函数，
则k8≤5
解得k≤40
故k的取值范围是(-∞,40]．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分段函数求函数值，属于基础题．
由分段函数第二段解析式可知，f3=f4=f(5)=f(6)，再利用分段函数第一段求解．
【解答】
解：由分段函数第二段解析式可知，f3=f4=f(5)=f(6)，
由分段函数第一段解析式f6=6-5=1．
所以f3=1．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
由题意得出f(-x)+f(x)=4，从而可求出f(-2023)．
【解答】
解：∵f(x)=ax3+bx-cx+2，
∴f(-x)+f(x)=-(ax3+bx-cx)+2+ax3+bx-cx+2=4，
又∵f(2023)=6，∴6+f(-2023)=4，解得f(-2023)=-2.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数性质的应用，考查函数单调性的判断以及运用单调性比较函数值的大小，同时考查函数的对称性的应用，属于中档题．
根据条件求出函数f(x)在(1,+∞)上的单调性，然后根据函数f(x+1)是偶函数，利用单调性即可判定出a、b、c的大小．
【解答】
解：∵当1≤x10恒成立，
∴当1≤x10，
即f (x2)>f (x1)，
∴函数f(x)在(1,+∞)上为单调增函数，
∵函数f(x+1)是偶函数，∴f(1+x)=f(1-x)，
∴函数f(x)关于x=1对称，
∴a=f(-12)=f(52)，
又函数f(x)在(1,+∞)上为单调增函数，
∴f(1)即f(1)∴a，b，c的大小关系为b故选：B．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数性质的应用，熟悉分段函数的定义是解答本题的关键，属于基础题．
利用新定义，列出不等式组，判断函数在[-2,2]上单调递增，即可求出函数在x∈[-2,2]的最大值．
【解答】
解：因为a♁b=a,a⩾bb2,a所以f(x)=(1♁x)·x+(2♁x)=x+2,-2⩽x⩽1x3+2,1易知函数在[-2,2]上单调递增，
所以f(x)max=f(2)=10，
故选：C．
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了充分不必要条件的判定方法，以及一元二次不等式恒成立问题，属于基础题．
命题p：∀x∈R，x2+ax+4>0⇔0≤a<4，进而得出结论．
【解答】解：命题p：∀x∈R，ax2-ax+1>0，
a=0时，1>0恒成立，
a≠0时，a>0且Δ=a2-4a<0，解得：0综上，命题p成立的等价条件为0≤a<4．
则选项中满足命题p成立的一个充分不必要条件：a∈(0,4) ，或a∈{0}．
故选CD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用不等式的性质直接求解．
【解答】
解：对于A，若ac2>bc2，则a>b，故A正确；
对于B，若a>b，则ac2≥bc2，故B错误；
对于C，若a>b，则1a-1b=b-aab，正负不能确定，故C错误；
对于D，因为 a>b>0，所以 a2>ab,ab>b2，所以 a2>ab>b2，故D正确．
故选：AD．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．
【解答】解：因为正实数a、b满足a+b=1，
所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2 ba·ab=4，当且仅当b=a=12时取等号，A正确；
a2+b22≥(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等号，故a2+b2≥12，B正确；
ab≤a+b2=12，当且仅当a=b=12时取等号，C错误；
( a+ b)2=a+b+2 ab≤2(a+b)=2，当且仅当a=b=12时取等号，所以 a+ b≤ 2，D错误．
故选：AB．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查的是函数的值域，函数的周期性，一元二次不等式的解法，属于中档题．
由题易知f(x)是周期函数，通过研究函数在0,1上的相关性质即可．
【解答】
解：对A，当x=0时，[x]=0，故A错误；
对B，因为[x+1]=[x]+1，故f(x+1)=f(x)+1，故B正确；
对C，设x=[x]+a，0≤a<1，y=[y]+b，0≤b<1，
则x+y=[x]+[y]+a+b，
所以[x+y]=[[x]+[y]+a+b]=[x]+[y]+[a+b]，
因为0≤a<1，0≤b<1，
所以0≤a+b<2，则[a+b]≥0，
所以[x+y]≥[x]+[y]，即f(x+y)≥f(x)+f(y)，故选项C正确；
对D，令t=[x]，则原不等式可化为2t2-t-3⩾0，解得t⩽-1或t⩾32，
①当t=x⩽-1时，x<0;
②当t⩾32时，x⩾2，故x⩾2，
由①②可知不等式2x2-x-3≥0的解集为xx<0或x≥2，D正确；
综上，正确的是BCD．
13.【答案】2 2-2
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，属于基础题．
2x+1x+1=2x+1+1x+1-2，利用基本不等式即可求解.
【解答】
解：因为x>-1，所以x+1>0，
所以2x+1x+1=2x+1+1x+1-2
⩾2 2x+1·1x+1-2=2 2-2，
当且仅当x= 22-1时等号成立，
所以2x+1x+1的最小值是2 2-2．
14.【答案】{0,4}(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域与值域，属于基础题．
y= x2=x，从而可求解．
【解答】解：y= x2=x，当x=0，y=0，x=4，y=4，
因为函数y= x2的值域为{0,4}，所以它的定义域可以是{0,4}．
15.【答案】-3
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
根据f-1=-f1即可求解．
【解答】
解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f-1=-f1=-12+2=-3．
16.【答案】98,+∞
【解析】【分析】
本题考查幂函数的解析式与单调性，考查不等式恒成立问题，属于中档题．
由题意可得fx=x3，又f(mx2)+8f(4-3x)≥0转化为f(mx2)≥-f24-3x=f6x-8，根据单调性可得mx2-6x+8⩾0恒成立.分m=0与m≠0讨论即可求解．
【解答】解：设fx=xα，因为幂函数y=f(x)的图象过点(2,8)，
所以2α=8，解得α=3，所以fx=x3．
所以8f(4-3x)=f(2)f(4-3x)=f24-3x．
由f(mx2)+8f(4-3x)≥0，可得f(mx2)≥-f24-3x=f6x-8．
因为fx=x3在R上单调递增，所以mx2⩾6x-8，即mx2-6x+8⩾0恒成立．
当m=0时，-6x+8⩾0不恒成立；
当m≠0时，可得m>0Δ=36-32m⩽0，解得m⩾98．
综上所述m⩾98．
17.【答案】解：(1)当a=2时，A={x|3≤x≤7}，
又B={x|2所以A∪B=x|2所以∁R(A∪B)={x|x⩽2或x⩾10}；
又因为∁RA={x|x<3或x>7}，
所以(∁RA)∩B={x|2(2)因为A∩B=A，所以A⊆B，
①若A=⌀，则3>a+5，解得a<-2；
②若A≠⌀，由A⊆B，得到3⩽a+5a+5<10,
解得-2⩽a<5，
综上：a的取值范围是(-∞,5)．
【解析】本题考查交并补混合运算、含参数的交集运算问题、含参数的集合关系的问题，属于中档题．
(1)求出A∪B，结合补集的概念，即可求出∁R(A∪B)，求出∁RA，结合交集的概念，即可求出(∁RA)∩B；
(2)由A∩B=A，得出A⊆B，分A为空集与A不为空集两种情况求出a的范围即可．
18.【答案】解：(1)f(x)=(x-1)(x-a)，
当a<1时，不等式f(x)<0的解集为(a,1)，
当a=1时，不等式f(x)<0的解集为⌀，
当a>1时，不等式f(x)<0的解集为(1,a)．
(2)f(x)=(x-1)(x-a)，
因为x∈(1,+∞)，所以由f(x)≥-1可化为：x-a⩾-1x-1,a⩽x+1x-1，
因为x+1x-1=x-1+1x-1+1⩾2 (x-1)⋅1x-1+1=3，当且仅当x-1=1x-1，即x=2时等号成立，
所以a⩽3．
所以a的取值范围为a|a⩽3．

【解析】本题考查含参的一元二次不等式的求解以及不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
(1)对a分类讨论：a<1，a=1，a>1时，分别求出对应的解集；
(2)利用分离参数法得到a⩽x+1x-1，再利用基本不等式求出x+1x-1的最小值，即可求出a的取值范围．
19.【答案】解：(1)因为x>0，y>0，所以x+y⩾2 xy，当且仅当x=y时取等号，
则xy⩽x+y24，所以x+y+3⩽x+y24，
即x+y2-4x+y-12⩾0，即x+y-6x+y+2⩾0，
又x>0，y>0，则x+y⩾6，当且仅当x=y=3时取等号，
故x+y的取值范围为[6,+∞)．
(2)因为x>0，y>0，所以x+y⩾2 xy，当且仅当x=y时取等号，
故xy-3≥2 xy，
解得 xy⩾3或 xy⩽-1(舍去)，
即xy⩾9，当且仅当x=y=3时取等号，
故xy的取值范围为[9,+∞)．
【解析】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
(1)利用基本不等式得出x+y+3⩽x+y24，即可求出x+y的取值范围；
(2)利用基本不等式得出xy-3≥2 xy，即可求出xy的取值范围
20.【答案】 解：根据题意，函数f(x)=ax-bx2-4是定义在(-2,2)上的奇函数，
则f(0)=-b-4=0，解得b=0，
又由f(1)=-13，则有f(1)=a-3=-13，解得a=1，
则f(x)=xx2-4；
(2)解：由(1)知f(x)=xx2-4，
证明：设∀x1,x2∈(-2,2),且x1则f(x1)-f(x2)=x1x12-4-x2x22-4=(4+x1x2)(x2-x1)(x12-4)(x22-4)，
又由-2则4+x1x2>0，x2-x1>0，x12-4<0，x22-4<0，
则f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2)，
则函数f(x)在(-2,2)上单调递减；
(3)解：根据题意，f(t-1)+f(t)<0即f(t-1)因为函数f(x)在(-2,2)上单调递减，
所以-2-t，解得：12即不等式的解集为12,2．

【解析】本题考查函数的单调性，奇偶性的定义的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
(1)利用奇函数的性质f(0)=0以及f(1)=-13求解a，b即可．
(2)利用函数的单调性的定义证明即可．
(3)利用函数的奇偶性和单调性的性质，列出不等式求解即可．
21.【答案】解：(1)由题意知，当0当x≥100时，L(x)=100x-120x-4500x-90+5400-2000=-20x-4500x-90+3400，
综上，L(x)=-12x2+90x-3100,0(2)当0故x=90时，L(x)取得最大值为950；
x≥100时，L(x)=-20x-4500x-90+3400
=-20[(x-90)+225x-90]+1600
≤-20×2 (x-90)·225x-90+1600=1000．
当且仅当x-90=225x-90，即x=105时取等，
综上，当x=105，即产量为105千件时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1000万元．
【解析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．(1)根据利润=销售收入-固定成本-投入成本，即可得到利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式；
(2)当022.【答案】解：(1)因为函数y=2x2的值域是0,+∞，且y=2x2在a,b的值域是a,b，
所以a,b⊆0,+∞，所以a≥0，
从而函数y=2x2在区间a,b上单调递增，
故有2a2=a2b2=b，解得a=0或12b=0或12,
又0⩽a所以a=0b=12,
所以函数y=2x2的“保值”区间为0,12．
(2)函数y=x2-2x+m(m∈R)的对称性为x=1，
可知x∈-∞,1时，y=x2-2x+m单调递减，x∈1,+∞时，y=x2-2x+m单调递增．
假设函数y=x2-2x+m(m∈R)存在“保值”区间s,t，
当1⩽s则有s2-2s+m=st2-2t+m=t，即s2-3s+m=0t2-3t+m=0,
所以方程x2-3x+m=0在1,+∞上有两个不等的实数根s，t，
所以{+t=3>2st=m>112-3×1+m⩾0Δ=9-4m>0，解得2⩽m<94．
当s所以s2-2s+m=tt2-2t+m=s，两式相减，可得s-ts+t-2s-t=t-s，
即s+t-2=-1，即s+t-1=0．
所以s<1-s⩽1，解得0⩽s<12．
由s2-2s+m=t，可得m=-s2+2s+1-s=-s2+s+1在s∈0,12上单调递增，
所以-s2+s+1∈1,54，即m∈1,54．
综上所述，函数y=x2-2x+m(m∈R)存在“保值”区间，实数m的取值范围为1,54∪2,94．
【解析】本题考查函数的新定义问题，考查二次函数的性质，属于较难题．
(1)根据函数y=2x2的值域是0,+∞可得a≥0，从而函数y=2x2在区间a,b上单调递增，故由2a2=a2b2=b即可求解；
(2)函数y=x2-2x+m(m∈R)的对称性为x=1，分1⩽s

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