2020-2021学年山东省临沂市高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年山东省临沂市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接运用诱导公式化简求值．

【详解】解：，

故选：D．

【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，给角求值，“负化正、大化小、小化锐、锐求值”．

2．命题：，的否定为（    ）

A．， B．不存在，

C．， D．，

【答案】D

【分析】含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论即可．

【详解】解：命题：，的否定为：，．

故选：D．

3．设角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】角的始边为轴非负半轴，通过“角的终边在第二象限”判断的正负；再通过判断角的终边的位置，从而可得出结论．

【详解】解：已知角的始边为轴非负半轴，

若角的终边在第二象限，则；

若，则角的终边在第二、三象限或者在轴负半轴上，

故“角的终边在第二象限”是“”的充分不必要条件，

故选：．

4．托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花.”请根据函数的概念判断：下列对应是集合到集合的函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据各选项中的函数，求出对应的函数的值域，结合可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，按照对应的，函数的值域为，A选项错误；

对于B选项，按照对应的，函数的值域为，B选项错误；

对于C选项，按照对应的，函数的值域为，C选项正确；

对于D选项，按照对应的，函数的值域为，D选项错误.

故选：C.

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合指数与对数函数的单调性分别确定的范围,进而可比较大小得选项.

【详解】解:，，，故.

故选：B.

6．方程的解所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，则利用函数零点的判定定理求得函数的零点所在区间即可．

【详解】解：令，则为连续函数，

又因为，，，

所以方程的解所在区间为，，

故选：．

7．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是（    ）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】图象变换后所得图象对应的函数为，再由所得图象经过点可得，所以，由此可求的最小值．

【详解】解：将函数（其中的图象向右平移个单位长度，

所得图象对应的函数为，

再由所得图象经过点可得，

所以，即，，

所以的最小值是2，

故选：C．

8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了()（    ）

A．10% B．30% C．60% D．90%

【答案】B

【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；

【详解】解：当时，，当时，，

∴，∴ 约增加了30%.

故选：B

二、多选题

9．下列函数中与函数是同一函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据同一函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，函数的定义为，因为函数的定义域为，

所以两函数的定义域不同，不是同一函数；

对于B中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；

对于C中，函数与函数的对应法则不同，不是同一函数；

对于D中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数.

故选：BD.

10．下列结论正确的是（    ）

A．是第二象限角

B．若为锐角，则为钝角

C．若，则

D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为

【答案】ACD

【分析】直接利用象限角的定义，三角函数关系式，扇形面积公式的应用判断、、、的结论．

【详解】解：对于：因为所以与的终边相同，而为第二象限角，所以为第二象限角，故正确；

对于：若为锐角，则为锐角、直角或钝角，故错误；

对于：若，则，故正确；

对于：若圆心角为的扇形的弧长为，利用，解得，

故该扇形的面积为，故正确．

故选：．

11．已知实数，满足等式，则下列不等式可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】作出函数与函数的图像，分，两种情况求解.

【详解】作出函数与函数的图像，如图，

当时，根据图像得，故A选项正确；

当时，根据图像得，故D选项正确；

故选：AD.

12．下列结论正确的是（    ）

A．若，都是第一象限角，且，则

B．函数的最小正周期是

C．函数的最小值为

D．已知函数的图象与轴有四个交点，且为偶函数，则方程的所有实根之和为4

【答案】BCD

【分析】直接利用：三角函数的值，三角函数的性质，函数的关系式的变换，二次函数的性质的应用判断、、、的结论．

【详解】解：对于：若，都是锐角，且，则，故错误；

对于：函数的最小正周期是，故正确；

对于：函数，

当时，函数的最小值为，故正确；

对于：函数的图象与轴有四个交点，且为偶函数，即关于对称，

所以方程的所有实根之和为4，故正确；

故选：．

三、填空题

13．已知幂函数的图象过点，则_____________．

【答案】（填亦可）

【分析】设出幂函数解析式，根据点求得幂函数的解析式.

【详解】由于为幂函数，设，将代入得，所以.

故答案为（填亦可）

【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题.

14．若函数是奇函数，且，则______．

【答案】

【分析】由已知得，代入已知即可求得.

【详解】因为函数是奇函数，所以，

所以，所以，

又，所以，

故答案为：.

15．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半．这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过的“半衰期”个数为____．

【答案】10

【分析】设生物组织内原有的碳14含量为，需要经过个“半衰期”才不能测到碳14，则，解之可得答案.

【详解】设生物组织内原有的碳14含量为，需要经过个“半衰期”才不能测到碳14，

则，即，

所以，又，所以，

故答案为：.

16．如图，一块边长为1的正方形区城，在处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，记探照灯照射在正方形内部区域（阴影部分）的面积为．若设，，则的最大值为______．

【答案】

【分析】利用，推出探照灯照射在正方形内部区域的面积，利用基本不等式即可求出面积的最大值．

【详解】解：因为，所以，

令，则，而，所以，

，当且仅当时取等号，

所以S的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

【答案】答案见解析.

【分析】先求得集合A、B，

若选择条件①：由题意得，解之可得实数的取值范围；

若选择条件②：由题意得，解之可得实数的取值范围；

若选择条件③：由题意得，解之可得实数的取值范围.

【详解】，，

若选择条件①：，则，解得，所以实数的取值范围为；

若选择条件②：，即，则需解得，所以实数的取值范围为；

若选择条件③：，因为或，则需，解得，所以实数的取值范围为；

18．已知锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．

（1）求的值；

（2）若锐角满足，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由角的终边过点得,利用诱导公式和二倍角公式可得结果；

（2）由得，由，利用两角差的正弦公式可得结果.

【详解】（1）由角的终边过点得，

所以.

（2）因为锐角满足，所以.由得

，

所以.

19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

（1）求在上的解析式；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由已知可得，求出，从而可得时，，当时，，所以，再结合奇函数的可求得结果；

（2）由，可化为，然后构造函数，利用其单调性求出在的最大值即可．

【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，

所以，解得，所以时，．

当时，，所以，

又，所以，

所以在上的解析式为；

（2）由（1）知，时，，

所以可化为，

整理得，

令，根据指数函数单调性可得，为减函数，

因为时，不等式恒成立，

等价于在上恒成立，

所以，只需，

所以实数的取值范围是．

20．已知函数的图象如图．

（1）求的单调递增区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围．

【答案】（1）， ；（2）.

【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，即可求解的单调递增区间．

（2）利用函数的图象变换规律，得到的解析式，根据正弦函数的定义域和值域，即可求得的范围．

【详解】解：（1）根据函数的图象，可得，

，所以，，

由五点法作图，可得，

，，

令，求得，，

的单调递增区间，．

（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象，

把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到 的图象，

由在上有解，即在上有解，

因为，，

所以，

所以的取值范围为．

21．经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．

（1）求的函数关系式；

（2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．

【分析】（1）根据该水果树的单株利润为市场售价单株产量肥料成本其它成本，从而可求出的函数关系式；

（2）分两段进行讨论：第一段利用二次函数的性质求出最大值；第二段利用基本不等式求出函数的最大值，最后比较两个最大值即可得结论．

【详解】解：（1），

所以；

（2）当时，，

所以当时，取最大值为元，

当时，，

而，

当且仅当即时取等号，

所以元，

综上，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．

22．已知函数．

（1）若的值域为，求的值；

（2）若，是否存在实数，使函数在内有且只有一个零点、若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2；（2）.

【分析】（1）当时，不符合题意；当，根据一元二次函数图象知若的值域为，则，然后求得的值；

（2）由函数，令，，将问题转化为函数与函数的图象在区间上有唯一的交点问题，从而可求的取值范围．

【详解】解：（1）当时，，值域为，不符合题意；

当，因为的值域为，则，解得，

综上，实数的值为2．

（2）若，假设存在实数，使函数在内有且只有一个零点.

因为，函数，

令，，

则原问题可转化为：函数与函数的图象在区间上有唯一的交点，

①当时，在上单调递减，在上单调递增，

，，

结合单调性可判断函数与函数的图象在区间上有唯一的交点；

②当时，抛物线的开口向下，对称轴，

在区间单调递减，

又在区间单调递增，

只需，即，解得，

；

③当时，抛物线的开口向上，对称轴，

在区间单调递减，

在区间单调递增，

只需，即，解得，

．

综上，实数的取值范围．

【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．