2023-2024学年山东省烟台市、东营市高一上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省烟台市、东营市高一上学期期中考试数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合A={1,2m,m2-m}，且0∈A，则m的值为( )
A. 0B. 1C. 0或1D. 0或-1
2.命题“∀x∈R，x2-x>0”的否定为( )
A. ∃x∈R，x2-x≤0B. ∃x∈R，x2-x>0
C. ∀x∈R，x2-x≤0D. ∀x∈R，x2-x<0
3.已知a>b，且ab≠0，则( )
A. a2>abB. a2>b2C. 1a<1bD. 1ab2>1a2b
4.某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示.若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为( )
A. 180m3B. 220m3C. 260m3D. 320m3
5.已知函数f(x)=x2,x⩾0,1x,x<0,,g(x)=f(-x)，则函数g(x)的图象大致是
( )
A. B. C. D.
6.若函数y=ax2(a≠0)的图象恒在y=2x-1图象的上方，则( )
A. a>1B. a≥1C. 07.若f(x)=x2+(2a-8)x,x≤1-3ax+3,x>1在(-∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. (0,3)B. (0,3]C. (2,3)D. [2,3]
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在(-∞,0)上单调递增，若f(-2)=0，则(x+1)(f(x)-2f(-x))<0的解集是( )
A. (-2,0)∪(0,2)B. (-2,0)∪(1,2)C. (-2,-1)∪(0,2)D. (-2,-1)∪(1,2)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.以下各组函数中，表示同一函数的有( )
A. y= x2，y=|x|B. y= x⋅ x+1，y= x2+x
C. y=x+1，y=t+1D. y=x+2，y=x2-4x-2
10.给定集合M，N，定义M-N={x|x∈M，且x∉N}.若M={x|-2≤x≤2}，N={y|y=x+1x+1,x>-1}，则( )
A. N={y|y≥1}B. M-N={x|-2≤x<1}
C. N-M={x|x≥2}D. N-(N-M)={x|1≤x≤2}
11.已知a>0，b>0，2a+b=1，则( )
A. ab的最大值为18B. 1a+2b的最小值为6
C. a-18b的最大值为0D. a+18b的最小值为18
12.德国数学家康托尔是集合论的创立者，为现代数学的发展作出了重要贡献.某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间[0,1]上的函数f(x)，且满足： ①任意0≤x1A. f(x)在[0,1]上单调递增B. f(x)的图象关于点(12,12)对称
C. 当x=116时，f(x)=14D. 当x∈[116,1516]时，f(f(x))=12
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知f(x)=x3+(a-1)x2为奇函数，则实数a的值为 ．
14.若“x>k”是“x2>1”的充分不必要条件，则实数k的取值范围为 ．
15.已知命题“∃x∈(0,+∞)，λx2-λx+2<0”为真命题，则实数λ的取值范围为 ．
16.设f(x)=x2+2，g(x)=5-2x，用m(x)表示f(x)，g(x)中较小者，记为m(x)=min{f(x),g(x)}，则m(0)= ;若方程m(x)=c恰有三个不同的实数解，则实数c的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A={x|-1≤x≤5}，B={x|m-3(1)当m=3时，求A∪B;
(2)若B∪(∁RA)=R，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=xx2+4．
(1)求f(x)在R上的解析式;
(2)根据函数单调性的定义，证明f(x)在区间(2,+∞)上单调递减．
19.(本小题12分)
某工厂拟建造一个深为2.5米的长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为100元，总造价不超过3万元，怎样设计水池，才能使其容积最大?最大容积是多少?
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=a x+b的图象经过点(2, 2)和(4,2)．
(1)求f(x)的解析式;
(2)若存在x∈[14,4]，使得[f(ax)]2≤f(x)-12，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(xy)=yf(x)+xf(y).令g(x)=f(x)x．
(1)求f(-1)值，并证明g(x)为偶函数;
(2)当x>1时，g(x)>0．
(ⅰ)判断g(x)在(0,+∞)上的单调性，并说明理由;
(ⅱ)若g(2)=4，求不等式g(2x-4)>8的解集．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=-x2+bx，b∈R.
(1)解关于x的不等式f(x)+2b2≥0;
(2)从①{x|t≤f(x)≤2t}=[t,2t]，②{f(x)|t≤x≤2t}=[t,2t]这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线处，并给出问题的解答．
问题：是否存在正数t，使得 ?若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查元素和集合的关系，属于基础题．
由题，2m=0或m2-m=0，解出m，再检验即可．
【解答】
解：由题意，2m=0或m2-m=0，
即m=0或m=1，
经检验，当m=0时，不符合元素的互异性，故舍去，
故m=1．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题，更改量词、否定结论即可求解．
【解答】
解：命题“∀x∈R，x2-x>0”的否定为∃x∈R，x2-x≤0.
故选A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，不等关系的判断，属于基础题．
对于A，B，C可通过举特例否定，对于D，利用作差法可判定．
【解答】
解：对于A，取a<0时a 2对于B，取a=1，b=-1， a2=b2，故B不成立；
对于C，取a=1，b=-1， 1a>1b，故C不成立；
因为a>b，所以 1ab2-1a2b=a-ba2b2>0，所以 1ab2> 1a2b，故D正确．
综上所述只有D正确，
故选D．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分段函数的实际应用，属于基础题．
根据所给的表格得到函数关系式，即可求解．
【解答】
解：设用气量为xm3，燃气费为y元，
则x⩽200时，y=3.2x，此时y⩽640;
200所以y=868时，3.8x-120=868，解得x=260，
故选C．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象以及图象的对称变换，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
g(x)的图象可以看成把f(x)的图象关于y轴对称后得到的，结合f(x)的解析式得出结论．
【解答】
解： g(x)的图象可以看成把f(x)的图象关于y轴对称后得到的，
故当x=0时，g(0)=f(0)=0，
当x>0时，g(x)=f(-x)= 1-x=-1x，
当x<0时，g(x)=f(-x)=(-x) 2=x ​2，
所以函数 g(x)的图象为B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式恒成立，考查二次函数图像和性质，属于基础题，
由题意得到ax2>2x-1在R上恒成立，即ax2-2x+1>0在R上恒成立，由二次函数的图像和性质即可求解．
【解答】
解：由题意得到ax2>2x-1(a≠0)在R上恒成立，即ax2-2x+1>0(a≠0)在R上恒成立，
则a>0△=4-4a<0，解得a>1．
故选A．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数单调性的应用，属于基础题．
根据分段函数的单调性建立不等式关系即可.
【解答】
解：若使函数f(x)为(-∞,+∞)上的减函数，
则满足-2a-82⩾1-3a<01+2a-8≥-3a+3,
即a⩽3a>0a⩾2,
解得2≤a≤3，
故选D．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的奇偶性及单调性，以及不等式求解，属于中档题．
根据f(x)为奇函数，可得f(x)在(0,+ ∞)上的单调性，将所求转化为3(x+1)f(x)<0整理为x+1>0f(x)<0或x+1<0f(x)>0，根据f(x)的单调性即可求得答案．
【解答】
解：因为f(x)在R上的奇函数，且在(-∞,0)上单调递增，
所以f(x)在(0,+ ∞)上单调递增，且f(2)=f(-2)=0，
则(x+1)(f(x)-2f(-x))=3(x+1)f(x)<0整理为x+1>0f(x)<0或x+1<0f(x)>0,
根据f(x)的单调性和奇偶性，解得-2故选：C．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查函数的基本概念，属于基础题．
判断的主要依据就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可，逐一判断即可，
【解答】
解：A．y= x2=x与y=|x|，定义域都为R，对应关系相同，对；
B.y= x· x+1x≥0，y= x2+xx≤-1或x≥0定义域不同，错；
对于C，y=x+1，定义域为R，y=t+1定义域为R，∵定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数，
对于D，y=x+2定义域为R，y=x2-4x-2定义域为{x|x≠2}，∵定义域不同，∴不是同一函数，
故选：AC．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查集合的新定义运算，基本不等式求最值，属于中档题．
利用基本不等式化简集合N，再根据新定义逐一运算即可．
【解答】
解：因为x>-1，所以x+1>0，
所以y=x+1x+1=x+1+1x+1-1⩾2 x+1·1x+1-1=1，
当且仅当x=0时取等号，
所以N={y|y≥1}，故A正确；
又M={x|-2≤x≤2}，
M-N={x|x∈M，且x∉N}．
所以M-N={x|-2≤x<1}，故B正确；
N-M=x|x>2，故C错误；
N-(N-M)={x|1≤x≤2}，故D正确．
11.【答案】AC
【解析】解：a>0，b>0，2a+b=1，
对于A，2a+b=1≥2 2ab，
解得ab≤18，当且仅当2a=b=12时等号成立，故A正确；
对于B，1a+2b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba+4ab≥4+2 4=8，
当且仅当ba=4ab，即2a=b=12时等号成立，故B错误；
对于C，a>0，b>0，2a+b=1，
可得b=1-2a>0，可得0a-18b=a-181-2a=-12-a+11612-a+12≤-2 12-a×11612-a+12=0，
当且仅当12-a=11612-a，即2a=b=12时等号成立，故C正确．
对于D，由题意得到0设y=a+18b=a+181-2a在a∈0,12时单调递增，
故y=a+18b=a+181-2a>0+181-2×0=18，
即a+18b>18，故D错误．
本题考查利用基本不等式求最值，函数单调性的运用，属于中档题．
利用基本不等式判定ABC，利用函数的单调性判定D，即可得到答案。
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，属于较难题．
由③可知B正确，分别在②③中令x=0求得f0=0，f1=1，再结合②求得f14=12，f116=14，再结合③求得f1516=34，即可得解．
【解答】
解：由 ③f(x)+f(1-x)=1可知f(x)的图象关于点(12,12)对称，故B正确；
由 ②f(x)=2f(x4)得f0=2f0，所以f0=0，
在 ③f(x)+f(1-x)=1中，令x=0得f1=1，
由f1=2f14=1得f14=12，
由f14=2f116=12得f116=14，故C正确；
在 ③f(x)+f(1-x)=1中，令x=14得f34=1-f14=12，
由 ①任意0≤x1当x∈14,34时，fx=12④，故f(x)在[0,1]上不是单调递增函数，故A错误；
由f116=14得f1516=1-f116=34，
所以当x∈[116,1516]时，fx∈14,34，结合④可得f(f(x))=12，故D正确．
13.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
根据题意，由函数奇偶性的定义可得f(x)+f(-x)=[ax3+(a-1)x2]+[a(-x)3+(a-1)(-x)2]=0，变形分析可得a的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，若函数f(x)=ax3+(a-1)x2为奇函数，
则f(x)+f(-x)=[ax3+(a-1)x2]+[a(-x)3+(a-1)(-x)2]=0，
变形可得(a-1)x2=0，
必有a=1；
故答案为：1
14.【答案】[1,+∞)
【解析】【分析】
本题考查了不等式的解法、充分不必要条件的应用，属于基础题．
由{x|x>k}⫋{x|x>1或x<-1}即得．
【解答】
解：由x2>1，得x>1或x<-1，
∵x>k是x2>1的充分不必要条件，
∴{x|x>k}⫋{x|x>1或x<-1}，
∴k≥1，即k的取值范围为[1,+∞)．
故答案为：[1,+∞)．
15.【答案】λ<0或λ>8
【解析】【分析】
本题考查了命题的真假，考查二次函数的性质，属于基础题．
根据命题是真命题，分类讨论：当λ=0时，2<0，不成立；当λ≠0时，有Δ=λ2-8λ>0λ2λ>0，即可解出λ的取值范围．
【解答】
解：因为“∃x∈(0,+∞)，λx2-λx+2<0”为真命题，
当λ=0时，不等式λx2-λx+2<0等价于2<0，不成立，故λ≠0；
当λ≠0时，
有Δ=λ2-8λ>0λ2λ>0,
解得λ<0或λ>8，
故答案为：λ<0或λ>8．
16.【答案】2；2,3
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，函数与方程的综合应用．
根据新定义求出函数mx的解析式，分析其单调性画出函数图象，数形结合可求得c的取值范围．
【解答】
解：由x2+2⩾5-2x得x2+2x-3⩾0，解得x⩽-3或x⩾1，
所以mx=5-2x,x⩽-3或x⩾1x2+2,-3所以m0=2，又m-3=11,m1=3，
且函数mx在-∞,0上单调递减，在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
画出函数mx的图象如下图实线所示：
由图可知，当c∈2,3时，方程m(x)=c恰有三个不同的实数解，
综上所述，m0=2，实数c的取值范围为2,3．
17.【答案】解：(1)当m=3时，B={x|0所以A∪B={x|-1≤x<9};
(2)因为CRA=(-∞,-1)⋃(5,+∞)
所以m-3<-13m>5
解得53实数m的取值范围是53,2．
【解析】本题考查集合之间的关系，掌握集合的并集和补集的定义是解答的关键，是中档题．
(1)，当m=3时，求得此时的集合B，再根据并集的定义即可求得A∪B；
(2)，根据补集的定义求得∁RA，进一步求解即可得出答案．
18.【答案】解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以，当x=0时，f(0)=0．
当x<0时，-x>0，又f(x)为奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=--xx2+4，即f(x)=xx2+4．
综上，f(x)=xx2+4，x∈R.
(2)任取x1，x2∈(2,+∞)，且x1f(x1)-f(x2)=x1x12+4-x2x22+4=(x2-x1)(x1x2-4)(x12+4)(x22+4)，
因为x1，x2∈(2,+∞)，且x1所以x2-x1>0，x1x2-4>0，且(x12+4)(x22+4)>0，
所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以，函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减．
【解析】本题考查函数奇函数的性质，函数的解析式，单调性的证明，注意作差法的运用，属于基础题．
(1)设x<0，则-x>0，结合奇函数性质求出此时的f(x)，最后写出f(x)；
(2)根据题意，利用作差法分析可得结论．
19.【答案】解：设池底的长为x米，宽为y米，则水池的容积为2.5xy，
由题意得200xy+500(x+y)≤30000，
因为x+y≥2 xy，当且仅当x=y时取“=”，
所以2xy+10 xy-300≤0，
解得0< xy≤10，即0< xy≤100．
所以，当x=y=10，即池底的长和宽均为10米时，其容积最大．
此时，最大容积为2.5xy=2.5×100=250立方米．
【解析】本题考查函数模型的综合应用，基本不等式的应用，考查计算能力，是中档题．
利用已知条件求出不等式，利用基本不等式转化求解即可．
20.【答案】解：(1)因为函数图象经过点(2, 2)和(4,2)，
所以 2a+b= 2，2a+b=2，
解得a=1，b=0因此f(x)= x，
(2)因为( ax)2≤ x-12，所以a≤-12x+1 x，x∈[14,4]．
令t=1 x，则a≤-12t2+t，且t∈[12,2].令g(t)=-12t2+t，t∈[12,2]，
因为g(t)在[12,1]单增，在[1,2]单减，所以g(t)max=g(1)=12．
因为存在x∈[14,4]，使得[f(ax)]2≤f(x)-12，所以a≤g(t)max，
所以a≤12，
又因为a≥0，所以a的取值范围为{a|0≤a≤12}.
【解析】本题考查了求函数的解析式，存在性问题转化为函数最值问题，属于中档题．
(1)由题意列方程求解即可；
(2)由题知a≤-12x+1 x，x∈[14,4]．令t=1 x，则a≤-12t2+t，且t∈[12,2].令g(t)=-12t2+t，t∈[12,2]，求得g(t)max，即可求解a的取值范围．
21.【答案】解：(1)因为g(x)=f(x)x，所以g(x)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
因为f(xy)=yf(x)+xf(y)，
令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0．
令x=y=-1，则f(1)=-f(-1)-f(-1)=0，所以f(-1)=0．
令y=-1，则f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)，
所以g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=g(x)，
所以g(x)为偶函数．
(2) (i)因为f(xy)=yf(x)+xf(y)，
两边同除以xy得f(xy)xy=f(x)x+f(y)y，即g(xy)=g(x)+g(y)．
任取x1，x2∈(0,+∞)，且x11，
g(x2)-g(x1)=g(x1⋅x2x1)-g(x1)=g(x1)+g(x2x1)-g(x1)=g(x2x1)，
因为当x>1时，g(x)>0，所以g(x2x1)>0，即g(x2)>g(x1)，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增．
(ii)因为g(2)=4，所以g(2)+g(2)=g(4)=8，
所以原不等式可化为g(2x-4)>g(4)．
又g(x)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，
所以|2x-4|>4，
解得x>4或x<0，
所以g(2x-4)>8的解集为{x|x<0或x>4}．
【解析】本题考查抽象函数及其应用，考查了奇偶函数定义、单调性的证明，函数性质的综合应用，属于较难题．
(1)利用赋值法即可求出f(1)，f(-1)的值;根据偶函数的定义即可判断g(x)为偶函数;
(2)(ⅰ)根据单调性的定义即可判断g(x)在(0,+∞)上单调递增;
(ⅱ)根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
22.【答案】解：(1)由f(x)+2b2≥0，得(x+b)(x-2b)≤0.
当b=0时，不等式的解集为{0}；
当b<0时，不等式的解集为[2b,-b]；
当b>0时，不等式的解集为[-b,2b]．
(2)若选择条件 ①:
由题意f(t)=t，t+2t=b，且f(b2)≤2t．
由f(t)=t，t+2t=b，得：-t2+3t⋅t=t，解得t=12，
当t=12时，b=32，f(b2)=f(34)=-916+32×34=916<2×12=2t，
因此t=12时符合题意．
若选条件 ②:
当b2≥2t时，f(x)在[t,2t]单增，此时f(t)=t，且f(2t)=2t，
解得t=b-1，且t=b-12，则t=0；
与t>0矛盾．
当b2≤t时，f(x)在[t,2t]单减，此时f(2t)=t，且f(t)=2t，
解得t=2b-14=b-2，所以b=72，t=32，与b2≤t矛盾，
当t解得t=2b-14，且t=b28，即b=2± 2，
又t当32t解得t=b-1，且t=b28，即b=4±2 2，
又3t2综上，正数t的取值为3+2 24．
【解析】本题考查解含参的一元二次方程，考查二次函数的图象性质，属于较难题．
(1)分解因式(x+b)(x-2b)≤0，讨论两根大小即可得解；
(2)若选择条件 ①，由题意f(t)=t，t+2t=b，且f(b2)≤2t.进而得t=12，检验得结论；
若选条件 ②，讨论b2与区间[t,2t]的关系，即可得解．每户每年用气量
单价
不超过200m3的部分
3.2元/m3
超过200m3但不超过300m3的部分
3.8元/m3
超过300m3的部分
4.8元/m3