2023-2024学年山东省临沂市高三上学期期中考试数学模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市高三上学期期中考试数学模拟试题（含解析），共18页。试卷主要包含了若，则“”是“”的，已知，，，则，下列命题为真命题的是，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．i
3．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
4．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知公比不为1的正项等比数列满足，则的最小值为（ ）
A．6B．2C．D．
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，恒成立，当时．若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A．B．C．4D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
10．已知函数，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．在区间上单调递减
D．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
11．已知平面向量，，则（ ）
A．若直线的一个方向向量为，则
B．若向量是单位向量，则
C．若向量满足，则
D．当时，向量在向量上的投影向量的坐标为
12．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．在上单调递增
C．，恒成立D．方程有2个实数根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数，则 ．
14．英国数学家泰勒发现了如下公式：，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．利用上面公式的前三项计算，得到近似值为 ．（结果用分数表示）
15．在中，点O在所在平面内，且，，则外接圆的面积为 ．
16．某劳动教育基地欲修建一段斜坡，假设斜坡底在水平面上，斜坡与水平面的夹角为，斜坡顶端距离水平面的垂直高度为2.4米，人沿着斜坡每向上走1米，消耗的体能为，则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的最少体能为 ，此时 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知定义域为的奇函数．
(1)求a；
(2)若，求t的取值范围．
18．已知函数，若曲线在点处的切线方程为．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最值．
19．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，三条内角平分线相交于点O，的面积为．
(1)求A；
(2)若，求OA．
20．已知函数在区间上的最大值为2．
(1)求m；
(2)若函数，当时，求的最小值，以及相应x的集合．
21．已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，若的前n项和为，证明：．
22．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)已知有两个极值点，且，证明：．
1．C
【分析】先化简集合A，B，再根据集合的运算得解.
【详解】由，即，因为是R上的单调递增函数，
所以，；
又，解得，
；
.
故选：C.
2．A
【分析】根据复数的乘法运算求得复数z，即可得，即可得答案.
【详解】由得，
故，则的虚部为-1，
故选：A
3．B
【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，
且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，
而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．
故选B.
4．A
【分析】根据充分条件与必要条件的概念，可直接判断出结果.
【详解】因为，由可得：，因此；即“”是“”的充分条件；
若，，满足，但是不满足，因此由“”不能推出“”，
即“”不是“”的必要条件.
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选A
本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
5．D
【分析】根据三角函数的定义可求得,结合正切的二倍角公式即可求得的值.
【详解】因为角的终边经过点
由三角函数定义可得
根据正切的二倍角
代入可得
故选:D
本题考查了三角函数的定义,正切二倍角公式的应用,属于基础题.
6．C
【分析】由等比数列性质得到，根据基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由等比数列的性质得，又，
由基本不等式得
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C
7．D
【分析】根据余弦函数的单调性可判断的大小关系，利用可得，结合两边取对数可得的大小关系，即可得答案.
【详解】因为，故，即，
又，即，故，
即，即，
故选：D
8．B
【分析】先分析、、时解析式以及值域，然后作出的图象，结合图象确定出符合条件的的范围，再根据与所求的取值范围的关系求解出的最大值.
【详解】当时，，此时
当时，，此时
当时，，此时，
结合为奇函数，在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图所示：
由图象可知，若要恒成立，只需要分析内的图象即可，
因为图象的对称性，不妨考虑时的情况，
当时，，所以，
当时，，所以或，
结合图象，若成立，则有，所以，
又因为若对任意，都有，
则有，所以，所以，
所以的最大值为，
故选：B.
思路点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合运用，以分段函数为媒介，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，难度较大.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.
9．BCD
【分析】举例说明判断A；构造函数，利用导数推理判断B；利用零点存在性定理判断CD.
【详解】对于A，当时，，A是假命题；
对于B，令，求导得，当时，，函数递减，
当时，，函数递增，，即，，B是真命题；
对于C，令函数，显然，因此连续函数在上有零点，C是真命题；
对于D，令函数，显然，因此连续函数在上有零点，D是真命题.
故选：BCD
10．AC
【分析】由正弦型函数的相关性质逐项判断即可.
【详解】因为函数，
对于A，，
，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，当，解得：，
所以当时，在区间上单调递减，而，故C正确；
对于D，的图象向左平移个单位长度可得：
，故D错误；
故选：AC.
11．ABD
【分析】求出，由直线的方向向量和平行，即可判断A；由单位向量概念判断B；求出，由向量垂直的坐标表达式判断C；直接用投影向量的公式计算判断D.
【详解】由，可得，
若直线的一个方向向量为，则与共线，
所以，解得，故A正确；
若向量是单位向量，则，解得，故B正确；
若，则，
当时，，解得或，故C错误；
当时，，，
所以向量在向量上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD
12．ACD
【分析】对于A，求出函数导数，判断单调性，即可确定极值点；对于B，根据导数的正负即可判断；对于C，判断时，，求出时的最大值，即可判断；对于D，构造函数，求其导数，判断函数单调性，结合零点存在定理进行判断.
【详解】由函数，得，
当或时，，在上均单调递减，
当时，，在上单调递增，
故为函数的极小值点，为函数的极大值点，A正确，
由以上分析可知在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，B错误；
当时，，
当时，结合以上分析可知在上单调递增，在上单调递减，
故，
当时，恒成立，C正确；
设，
显然为的一个实数根；
令，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，而，
即在内即上有唯一一个零点，设为，
又在上单调递增，且，
则在上有唯一一个零点0，即有2个零点，即0和，
综合以上可知有2个零点，即方程有2个实数根，D正确，
故选：ACD
难点点睛：本题综合考查了应用导数只是求解函数的极值点、单调性以及不等式恒成立和函数零点问题，综合性较强；解答的难点在于选项D的判断，解答时要构造函数，利用导数判断单调性，并结合零点存在定理进行判断.
13．4
【分析】根据分段函数的解析式，先求得的值，即可求得的值.
【详解】由题意得,
则,
故4
14．
【分析】利用公式的前三项计算，然后用同角三角函数关系式计算.
【详解】由题意，
所以.
故
15．
【分析】由题意判断出O为的重心，再由推出，即可得为正三角形，求出其边长，利用正弦定理求得外接圆半径，即可得答案.
【详解】由题意知，即，即
设D为AB边的中点，则，故，
则共线，即CD为AB边上的中线，故O为的重心，
又，则，
即，即，即，
故，结合可知为正三角形，
则由可得，
设的外接圆半径为R，则，
故外接圆的面积为，
故
16． 0.7##
【分析】表示出斜坡总长，即可求出人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的体能的表达式，求其导数，判断其单调性，可求得极小值点也即最小值点，结合同角三角函数关系即可求得答案.
【详解】由题意知斜坡总长为米，，
则人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的体能为，
即，
故，
设，
当时，即时，，在上单调递增，
当时，即时，，在上单调递减，
故时，即时，取最小值，
此时，y的最小值为，
即人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的最少体能为0.7，此时，
故0.7，
关键点睛：此题为应用类题目，解答的关键是表示出人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的体能，然后利用导数，结合余弦函数的单调性判断出函数的极小值点，也即最小值点.
17．(1)
(2)
【分析】（1）函数定义域为且为奇函数，则，从而得出；
（2）由为单调递增函数，则为单调递减函数，所以，利用函数的单调性从而求解.
【详解】（1）由函数定义域为且为奇函数，所以得：，所以.经检验满足题意.
（2）由（1）知：，由在定义域上单调递增，
所以得：为单调递减函数，且为奇函数，
所以：，化简得：，
得：，解得.
故的取值范围为.
18．(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据题意，由切点在切线上可得，再由导数的几何意义即可求得，从而得到结果；
（2）根据题意，求导得，得到其极值，再由函数解析式求得，，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，，切点在切线上，
则，即，且，
而在点处的切线斜率为2，即，解得，
所以.
（2）由（1）可知，，则，且
令，即，故，
令，即，故或，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，有极小值，且，
当时，有极大值，且，
且，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得，再利用辅助角公式，即可求得答案；
（2）利用的面积求出内切圆的半径，解直角三角形即可求得答案.
【详解】（1）又得，
即，
又，
故，
因为，则，
则，而，则，
故，即.
（2）由题意知O为的内切圆的圆心，设内切圆半径为r，
则，则，
又，则，故.
20．(1)-1
(2)，
【分析】（1）利用二倍角余弦公式与辅助角公式化简，结合其最小值求得m的值，即得答案；
（2）利用（1）的结果结合诱导公式化简，令，将化为，结合二次函数性质即可求得的最小值，进而求得相应x的集合.
【详解】（1）由题意知
，
，
，故的最大值为，
故；
（2）由（1）知，
故
令，则，其中，
则即为，
当时，即时，，
此时，即，
即x的集合为.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先证明为等比数列，然后求解出的通项公式即可求解出的通项公式；
（2）根据和先求解出的通项公式，然后采用裂项相消法、公式法、放缩法完成证明.
【详解】（1）因为，所以，且，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
所以的通项公式为；
（2）设的公差为，因为，，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以.
22．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论和，在时，结合二次函数性质判断导数的正负，从而确定函数的单调性；
（2）结合（1）可得以及两极值点的关系式，求出的表达式，构造函数，利用导数判断该函数的单调性，求出其最小值，即可证明不等式.
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，
，
令，
当，即时，，等号仅在个别点处取得，
此时在上单调递增；
当，即或，
若，则方程的两根为，
此时两根均为正数，且，
则或时，，
此时在，上均单调递增；
时，，此时在上单调递减；
若，则恒成立，在上单调递增；
故时，在上单调递增；
时，在，上均单调递增，
在上单调递减；
（2）由（1）知，当时，有2个极值点，满足，
又，则，
故
，
令，则，
，
则当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则，
故.
难点点睛：本题考查利用导数判断函数的单调性以及证明不等式问题，综合性强，难度较大，难点在于不等式的证明，解答时要求出的表达式，由此构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求出其最小值，从而证明不等式.