2024衡水冀州中学高三上学期期中考试数学含解析

这是一份2024衡水冀州中学高三上学期期中考试数学含解析，共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 函数的大致图象是， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

高三年级数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2.请将答案正确填写在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列表示图中的阴影部分的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A B. C. D.
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
5. 将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ）.
A. B.
C. D.
6. 已知数列的首项为1，是边所在直线上一点，且，则数列的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则点D的运动轨迹的长度为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知三角形中，，角平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 命题：“”的否定是“”
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 若函数则
10. 已知是函数的图象与直线的两个交点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的定义域为
C. 在区间单调递增
D. 的图象的对称中心为点
11. 已知数列的前项的和为，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是等比数列
C. D.
12. 设函数定义域为，且满足，，当时，，则（ ）
A. 是奇函数
B.
C. 的值域是
D. 方程在区间内恰有1518个实数解
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知等差数列满足，则__________.
14. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则______.
15. 在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为________．
16. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列为等比数列，在数列中，，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和.
18. 已知，，且.
（1）求角的大小；
（2）已知函数，若在区间上有极大值，无极小值，求的取值范围.
19 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
20. 已知数列的前项和为.
（1）求；
（2）求.
21. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设．

（1）当时，求四边形ABCD的面积；
（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．
22. 已知函数，为的导函数.
（1）求在上的极值；
（2）设，求证：.
2023—2024学年上学期期中考试
高三年级数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2.请将答案正确填写在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列表示图中的阴影部分的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集、并集和补集的定义判断即可.
【详解】
①②③④⑥⑦，②③④⑤⑥⑦，所以②③④⑥⑦，故A正确；
①②③④⑤⑥，所以①②③④⑥，故B错；
①②③④⑤⑥⑦，故C错；
③④⑥，故D错.
故选：A.
2. 若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先化简复数，然后求其共轭复数，再根据复数的几何意义求解即可.
【详解】在复平面上对应的点为，该点在第一象限，
故选：A.
3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直，结合数量积的运算律，即可求解.
【详解】，
，
故选：D
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.
【详解】方法一：因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除；
当时，，即，因此，故排除A.
故选:D.
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，所以排除A.
故选：D.
5. 将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合对函数图象的影响可得.
【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象，
再把函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象，
然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象.
故选：A.
6. 已知数列的首项为1，是边所在直线上一点，且，则数列的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三点共线，可得，再由等比数列的通项公式求出结果.
【详解】由题意可知三点共线，
所以，
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
故选：A
7. 已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则点D的运动轨迹的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设分析时的形状，进而确定 D的运动轨迹，即可求轨迹长度.
【详解】设方形对角线AC与BD交于O，
由题意，翻折后时，为边长为的等边三角形，此时，
若继续翻折，如下图示，

所以点D的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆心角为的圆弧，
所以点D的运动轨迹的长度为.
故选：C
8. 已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先根据正弦定理可得，再建立平面直角坐标系求解的轨迹方程，进而可得面积的最大值.
【详解】中，在中，
故，，
因，故，
又角的平分线交于点，则，故.
故.
以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为，，
故，，设，则，
即，故，
化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）.
故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.

故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 命题：“”的否定是“”
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 若函数则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二次函数求最值判断A，利用全称量词命题的否定是存在量词命题来判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据换元法求解析式可判断D.
【详解】对于选项A，由，得，，
则，，
所以当时，取到最小值，所以，故选项A正确；
对于选项B，“”的否定是“”，故选项B不正确；
对于选项C，函数的定义域为，则中的范围为，
即，所以，
由抽象函数的定义域可得，中的范围为，
故函数的定义域为；所以选项C正确；
对于选项D，令，则，，
由得，，
所以，，所以选项D正确.
故选：ACD.
10. 已知是函数的图象与直线的两个交点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的定义域为
C. 在区间单调递增
D. 的图象的对称中心为点
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，根据的周期性判断即可；BD选项利用整体代入的方法求定义域和对称中心即可；C选项，利用代入检验法判断单调性.
【详解】因为是函数的图象与直线的交点，所以的最小值为函数的最小正周期，，所以，故A正确；
令，解得，所以的定义域为，故B错；
因为，所以，因为函数在上不单调，所以函数在上不单调，故C错；
令，解得，所以的对称中心为点，，故D正确.
故选：AD.
11. 已知数列的前项的和为，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是等比数列
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据递推公式可判定A，利用特殊项结合等比数列的定义可判定B，利用迭代法及等比数列的定义结合的关系可判定C、D.
【详解】由题意可知，所以，故A正确；
因为，
所以不能是等比数列，故B错误；
因为（），即（），
所以，
所以，即，
又因为，所以是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以，
所以，
即，故D正确．
故选：AD.
12. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（ ）
A. 是奇函数
B.
C. 的值域是
D. 方程在区间内恰有1518个实数解
【答案】ACD
【解析】
【分析】由判断奇函数，即判断A选项；求周期再结合奇偶性计算的值，即判断B选项；利用导数判断上的单调性，再求最值，最后利用奇偶性，对称性即判断C选项；将的解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，画出图象先求出上的交点个数，再利用周期计算上的交点个数，即判断D选项.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以，
又因为，所以，所以是奇函数，A正确；
由，得，所以以4为周期，
因为，所以，故B错误；
因为当时，，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，所以．
因为为奇函数，所以当时，，
因为的图象关于直线对称，所以当时，，
因为的周期为4，所以当时，，故C正确；
方程的解的个数，即的图象与的图象交点个数．
因为的周期为4，且当时，与有3个交点，
所以当时，与有个交点，故D正确．
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知等差数列满足，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列的性质可得，代入条件式，可求得，再根据，可得解.
【详解】在等差数列中，，又，
，解得，又，而，解得.
故答案为：.
14. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇偶函数的性质列式，消去得的解析式.
【详解】因为函数的定义域为，为偶函数，
所以，即，
又为奇函数，所以，即，
所以，解得.
故答案为：
15. 在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件及余弦定理，可求得，由勾股定理可得，则三棱锥的外接球球心为中点，即外接圆的直径为，进而求出外接球的半径，从而可求外接球的表面积.
【详解】由，，，根据余弦定理可得，则，，
中E为斜边AB中点，所以到各点的距离相等，
则三棱锥外接球的直径为，
故三棱锥外接球的表面积为．

故答案为：
16. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的最大值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】写出的表达式，利用余弦定理和基本不等式即可求出最大值.
【详解】由题意，

, 所以消去 得
，
由, 得 ，当且仅当时等号成立，
∴，
∴原式
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列为等比数列，在数列中，，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出等比数列的公比，然后利用等差数列的定义求出数列的通项公式；
（2）结合等差数列求和公式及等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可.
【小问1详解】
由已知，所以等比数列的公比为，
所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
【小问2详解】
由（1）得：
.
18. 已知，，且.
（1）求角的大小；
（2）已知函数，若在区间上有极大值，无极小值，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数关系求得，结合角的范围及求解即可；
（2）先根据三角恒等变换化简函数得，再运用三角函数性质求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，又，所以，故或，
解得或，又，所以.
【小问2详解】
由（1）知
，
当时，，
因为在区间上有极大（最大）值，无极小（最小）值，
所以，解得，所以的取值范围为.
19. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】(1)代入，求出即可求得切线方程；
(2)函数求导 ，对分类讨论，进而求得单调性.
【小问1详解】
当时，，
，所以，曲线在处的切线方程为.
【小问2详解】
，
①当时，，所以函数在上单调递增；
②当时，令，则(舍)或，
，当时，函数单调递减；
，当时，函数单调递增.
③当时，令，则或(舍)，
，当时，函数单调递减；
，当时，函数单调递增.
综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增；
当时，当时，函数单调递减
当时，函数单调递增；
当时，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增
20. 已知数列的前项和为.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由与的关系化简得为等差数列后求解，
（2）由裂项相消法求解．
【小问1详解】
，可得，
可得，即数列为首项为2，公差为2的等差数列，
可得，由，可得；
【小问2详解】
，
即有
.
21. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设．

（1）当时，求四边形ABCD的面积；
（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；
（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.
【小问1详解】
连结，则
四边形的面积为
【小问2详解】
由题意，在中，，由正弦定理
同理在中，，由正弦定理
令
时，即，的最大值为5
22. 已知函数，为的导函数.
（1）求在上的极值；
（2）设，求证：.
【答案】22. 极小值为，极大值为
23. 证明见详解
【解析】
【分析】（1）先找到周期，后去求导，注意导数的变号零点才是极值点，分别讨论求极值即可；（2）利用第一问结论，进行合理恒等变形，放缩法求解即可.
【小问1详解】
是的周期，又
令，解得或，故令，解得
令，解得，故在上单调递增，在
上单调递减，故在上的极小值为，极大值为，由周期性可知，在上的极小值为，极大值为，且易知在上单调递增，上单调递增，且是基本初等函数，一定连续，故不是的极值点
故在上的极小值为，极大值为
【小问2详解】
易知，由上问知，即
则
故原不等式得证成立
【点睛】本题第一问考查了导数不变号零点的处理，学生易与变号零点混淆，注意变号零点才能作为极值点，第二问考查用放缩法证明不等式，学生需要进行合理恒等变换，去构造成能放缩的形式，对学生能力要求较高，属于难题.