河北省衡水市冀州中学2024届高三第一次调研数学试题（学生版）

这是一份河北省衡水市冀州中学2024届高三第一次调研数学试题（学生版），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知全集，，则集合为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ）
A. B. C. 2D.
3. 已知函数满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
5. 已知复数满足：，则的最大值为（ ）
A. 2B.
C. D. 3
6. 抛物线焦点为，过点的直线与交于两点，则的值是（ ）
A. 0B. 3C. 4D. 5
7. 已知三棱锥的外接球半径为，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，其图象关于点对称的是（ ）
A. B. C. D.
10. 袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球，从中取三次球，每次取一个球，取球后不放回，设事件，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. A与B相互独立D.
11. 已知抛物线的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为，的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 若F恰好为中点，则直线的斜率为
D. 直线过定点
12. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 是的极大值点
B. 使得
C. 若方程为参数，有两个不等实数根，则的取值范围是
D. 方程有且只有两个实根．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2人不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有______种．
14. 记为等差数列的前项和，公差不为0，若，则______．
15. 已知一个圆锥内切球半径为3，且圆锥的侧面积为，则该圆锥的母线长为______．
16. 若对任意，，恒有，则正整数的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17. 已知在中. 所对的边分别为,若，的面积为.
(1)求角的大小;
(2)若,求的值.
18. 已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列通项公式；
（2）设，数列前项和为，求证：．
19. 如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面.
（1）证明：四点共面；
（2）若平面与平面夹角余弦值为，求长.
20. 为参加凉山州第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛，某校组织选拔活动，通过两轮比赛最终决定参加州级比赛人选，已知甲同学晋级第二轮的概率为，乙同学晋级第二轮的概率为．若甲、乙能进入第二轮，在第二轮比赛中甲、两人能胜出的概率均为．假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否胜出互不影响．
（1）若甲、乙有且只有一人能晋级第二轮的概率为，求的值；
（2）在（1）的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加州级比赛的概率．
21. 已知椭圆方程为（），离心率为且过点.
（1）求椭圆方程；
（2）动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值；
（3）过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由.
22. 设函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）若当时，恒有，求实数a的取值范围；
（3）设时，求证：．