四川省成都市武侯区启明学校2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份四川省成都市武侯区启明学校2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在比例尺为1：50000的交通地图上，宝应到扬州的长度约为1cm，则它的实际长度约为（ ）
A．5000mB．50000mC．500mD．50m
2．我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数B．平均数
C．众数D．中位数
3．方程3x2﹣4x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣2，4B．3，4，﹣2C．3，﹣4，﹣2D．3，﹣2，﹣4
4．下列命题正确的是（ ）
A．等腰三角形是轴对称图形
B．直角三角形是中心对称图形
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．一组邻边相等的四边形是菱形
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．OA＝OB
6．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100
B．32x+20x﹣x2＝100
C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100
D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
二、填空题（4分/题）
9．已知方程x2﹣x﹣1＝0有一根为m，则m2﹣m﹣2023＝ ．
10．一个事件经过5000次试验，它的频率是0.32，它的概率估计值是 ．
11．已知：如图，BC∥DE，AD＝3，AE＝4，DB＝6，则CE＝ ．
12．设x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2＝ ．
13．如图，小刘同学在折叠矩形ABCD中发现，当E是AD边的中点时候，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG，交CD于点F．若连接EF，则△EGF≌△EDF，CF＝7，DF＝9，请你帮她算BC的长 ．
三、解答题
14．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法求解）；
（2）x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
15．小汤对九年级学生参与“力学”、“热学”、“光学”、“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，热学对应的圆心角＝ °．
（2）如图，当小汤随机闭合A、B、C、D这4个开关中任意2个时，请用树状图或列表法求出灯泡亮的概率．
16．如图，我校小辰同学在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆FC测量学校教学楼的高度．若标杆FC＝2.5米，小辰同学眼高离地面AB＝1.5米测得DC＝23米，BC＝1米，请你帮他求出学校体育馆ED的高度．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
18．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm．如果点P由B出发治BA方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ平行于BC；
（2）是否存在某时刻，使线段PQ恰好把△ABC的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
一、填空题（4分/题）
19．关于x的方程x2+2（k+1）x+k2＝0有两个实根，则k的取值范围是 ．
20．如图，在正方形ABCD中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形ABCD内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．
21．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ．
22．如图，菱形ABCD的边长为2.5cm，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，BD上的动点，且CE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．
23．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第n个正方形的面积为 ．
二、解答题
24．利用假期期间，我校小晴同学和小彬同学进购了某种卡片，进价为每张2元，当商品售价为5元时，第一天销售256张．第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到400张．设第二、三天平均增长率不变．
（1）求第二、三天的平均增长率；
（2）按此增长，第四天这一天她们的利润会达到多少元？
25．如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，∠AEP＝90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P．
（1）求证：∠BAE＝∠CEP；
（2）求证：AE＝EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存在，请说明理由．
26．教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰△ABC中，S△ABC＝S△APB+S△APC，即AB*DC＝AB*MP+AC*PN，∵AB＝AC，∴DC＝MP+PN，MP+PN是个固定值．
（1）如图1，在矩形ABCD中，AC与DB交于O，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值为 ．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处．点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM＝13，CN＝5，▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC 的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE+PF﹣PD＝3，请直接写出△ABC的面积 ．
参考答案
一、单选题（4分/题）
1．在比例尺为1：50000的交通地图上，宝应到扬州的长度约为1cm，则它的实际长度约为（ ）
A．5000mB．50000mC．500mD．50m
【分析】比例尺＝图上距离与实际距离的比，由此即可计算．
解：1÷＝50000（cm）＝500（m）．
∴宝应到扬州的实际长度约为500m．
故选：C．
【点评】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．
2．我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数B．平均数
C．众数D．中位数
【分析】根据黄金分割的定义，即可解答．
解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数，
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，算术平均数，中位线，众数，统计量的选择，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
3．方程3x2﹣4x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，﹣2，4B．3，4，﹣2C．3，﹣4，﹣2D．3，﹣2，﹣4
【分析】根据一元二次方程的一般式ax2+bx+c＝0（a≠0），确定系数即可．
解：∵3x2﹣4x﹣2＝0，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是3，﹣4，﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般式ax2+bx+c＝0（a≠0）及其系数，熟练掌握基本概念是解题的关键．
4．下列命题正确的是（ ）
A．等腰三角形是轴对称图形
B．直角三角形是中心对称图形
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．一组邻边相等的四边形是菱形
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的概念，平行四边形，菱形的判定逐项判断．
解：等腰三角形是轴对称图形，故A正确，符合题意；
直角三角形不一定是中心对称图形，故B不正确，不符合题意；
平行四边形的对角线互相平分，故C不正确，不符合题意；
一组邻边相等的平行四边形是菱形，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的概念及平行四边形，菱形的判定．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．OA＝OB
【分析】根据矩形的性质推出即可．
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC＝BD，OA＝OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D正确，选项C错误；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质的应用，注意：矩形的对边平行且相等，矩形的对角线互相平分且相等．
6．某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】该顾客获奖的概率，即阴影部分与整个圆面的面积之比．
解：因为＝，所以顾客获奖的概率为．
故选：D．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
7．已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】△MNP是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．
解：第三个图与△MNP三角对应相等，所以两个三角形相似．故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定方法．
8．如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100
B．32x+20x﹣x2＝100
C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100
D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
【分析】设道路的宽x米，小路的面积+x2＝一个长32宽x的矩形面积+一个长20宽x的矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设道路的宽x米，
则32x+20x＝100+x2．
32x+20x﹣x2＝100．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（4分/题）
9．已知方程x2﹣x﹣1＝0有一根为m，则m2﹣m﹣2023＝ ﹣2022 ．
【分析】根据方程根的定义，可得出m2﹣m＝1，再把m2﹣m＝1代入m2﹣m﹣2023，计算求值即可．
解：∵方程x2﹣x﹣1＝0有一根为m，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m﹣2023＝1﹣2023＝﹣2022，
故答案为：﹣2022．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把方程的根代入，得出m2﹣m的值，整体思想的运用是解题的必经之路．
10．一个事件经过5000次试验，它的频率是0.32，它的概率估计值是 0.32 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，据此进行解答．
解：大量实验的基础上，频率的值接近概率，
可知，一个事件经过500次的试验，它的频率是0.32，则它的概率估计值是0.32．
故答案为0.32．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
11．已知：如图，BC∥DE，AD＝3，AE＝4，DB＝6，则CE＝ 8 ．
【分析】由BC∥DE，利用平行线分线段成比例，即可求出CE的长．
解：∵BC∥DE，
∴＝，即＝，
∴CE＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．
12．设x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2＝ 3 ．
【分析】直接利用根与系数的关系x1+x2＝﹣求解．
解：∵x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，
∴x1+x2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
13．如图，小刘同学在折叠矩形ABCD中发现，当E是AD边的中点时候，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG，交CD于点F．若连接EF，则△EGF≌△EDF，CF＝7，DF＝9，请你帮她算BC的长 24 ．
【分析】由矩形的性质得AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C＝∠D＝90°，则AE＝DE＝AD＝BC，由折叠得GB＝AB＝CD＝16，GE＝AE，∠BGE＝∠A＝90°，则GE＝DE，∠EGF＝∠D＝90°，即可根据“HL”证明Rt△EGF≌Rt△ED，得GF＝DF＝9，则BF＝16+9＝25，所以BC＝＝24，于是得到问题的答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，E是AD边的中点，CF＝7，DF＝9，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE＝DE＝AD＝BC，
由折叠得GB＝AB＝CD＝7+9＝16，GE＝AE，∠BGE＝∠A＝90°，
∴GE＝DE，∠EGF＝∠D＝90°，
在Rt△EGF和Rt△ED中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴GF＝DF＝9，
∴BF＝16+9＝25，
∴BC＝＝＝24，
故答案为：24．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明Rt△EGF≌Rt△ED是解题的关键．
三、解答题
14．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法求解）；
（2）x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝4，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x（x﹣1）＝2（x﹣1），
x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
15．小汤对九年级学生参与“力学”、“热学”、“光学”、“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学只能选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ 40 ，热学对应的圆心角＝ 36 °．
（2）如图，当小汤随机闭合A、B、C、D这4个开关中任意2个时，请用树状图或列表法求出灯泡亮的概率．
【分析】（1）先求出调查的总人数，再用总人数乘以频数分布表中“力学”对应的频率可求出m；用360°乘以本次调查中“热学”所占的百分比即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及能使灯泡亮的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）调查的人数为20÷0.25＝80（人），
∴m＝80×0.5＝40，
热学对应的圆心角为360°×＝36°．
故答案为：40；36°．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中能使灯泡亮的结果有：AD，BD，CD，DA，DB，DC，共6种，
∴灯泡亮的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图，能够理解频数（率）分布表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
16．如图，我校小辰同学在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆FC测量学校教学楼的高度．若标杆FC＝2.5米，小辰同学眼高离地面AB＝1.5米测得DC＝23米，BC＝1米，请你帮他求出学校体育馆ED的高度．
【分析】作AH⊥ED交FC于点G，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH＝BD，AG＝BC，
∵AB＝1.5米，FC＝2.5米，DC＝23米，BC＝1米，
∴FG＝2.5﹣1.5＝1（米），BD＝24米，
∵FG∥EH，
∴，，
解得：EH＝24米，
∴ED＝24+1.5＝25.5（米），
答：学校体育馆ED的高度是25.5米．
【点评】本题考查相似三角形的应用；通过构造相似三角形利用相似三角形对应边成比例是解决问题的关键．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证AD＝CD，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AE＝BE＝CE＝2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC，AC的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
18．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm．如果点P由B出发治BA方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ平行于BC；
（2）是否存在某时刻，使线段PQ恰好把△ABC的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
【分析】（1）可求得BC＝6，且PB＝AQ＝2t，AP＝10﹣2t，当PQ∥BC时，可得＝，代入可得到关于t的方程，可求得t；
（2）周长相等，即AP+AQ＝PB+BC+CQ，代入可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）分PQ⊥AC和PQ⊥AB，再利用相似得到对应线段的比相等，可得到关于t的方程，代入分别求得t即可．
解：∵∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，
∴BC＝＝＝6（cm），
∵P、Q的运动速度为2cm/s，
∴PB＝AQ＝2t cm，
∴AP＝AB﹣PB＝（10﹣2t） cm，
（1）当PQ∥BC时，则＝，
即＝，
解得t＝，
即当t为时，PQ∥BC；
（2）不存在．理由如下：
当线段PQ恰好把△ABC的周长平分时，则有AP+AQ＝PB+BC+CQ，
即10﹣2t+2t＝2t+6+8﹣2t，
整理得10＝14，
显然不成立，
∴不存在使PQ把△ABC周长平分的t；
（3）∵△ABC为直角三角形，
∴当△APQ和△ABC相似时，必有一个角为直角，
当∠AQP＝90°时，则PQ∥BC，由（1）可知t＝，
当∠APQ＝90°时，则＝，
即＝，
解得t＝，
∴当t为或时，△APQ和△ABC相似．
【点评】本题是三角形综合题，考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用时间和速度表示出线段的长度，结合条件得到关于t的方程是解决这类问题的解题思路，即化动为静．在（3）中注意只有相似但没有对应需要分情况讨论．
一、填空题（4分/题）
19．关于x的方程x2+2（k+1）x+k2＝0有两个实根，则k的取值范围是 k≥﹣ ．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝4（k+1）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝4（k+1）2﹣4k2≥0，
解得k≥﹣，
即k的取值范围是k≥﹣．
故答案为：k≥﹣．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．如图，在正方形ABCD中，分别以四个顶点为圆心，以边长的一半为半径画圆弧，若随机向正方形ABCD内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．
【分析】将图中阴影面积除以正方形面积即可求出米粒落在图中阴影部分的概率．
解：设正方形的边长为2a，则4个扇形的半径为a，
，
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率，掌握几何概率的计算方法，以及扇形面积和正方形面积的计算方法是解题的关键．
21．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 4 ．
【分析】连接OA、OD，证明△OAM≌△ODN，得阴影部分的面积等于△OAD的面积，再由△OAD的面积与正方形ABCD的面积的关系求得结果．
解：如图，连接OA、OD，则∠AOD＝∠GOE＝90°，
∴∠AOM＝∠DON，
∵ABCD是正方形，O为正方形ABCD的中心，
∴OA＝OD，∠OAM＝∠ODN＝45°，
在△OAM和△ODN中，
，
∴△OAM≌△ODN（ASA），
∴S△OAM＝S△ODN，
∴S阴影＝S△ODM+S△ODN＝S△OAM+S△ODM＝S△OAD，
＝S正方形ABCD＝×42＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是构造全等三角形得到阴影部分的面积等于△OAD的面积．
22．如图，菱形ABCD的边长为2.5cm，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，BD上的动点，且CE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．
【分析】如图，连接AC，过点C作CT⊥CA，使得 CT＝AD＝2.5，连接AT．证明△ADF≌△ECT（SAS），推出AF＝ET，推出AE+AF＝AE+ET≥AT，求出AT即可解决问题．
解：如图，连接AC，过点C作CT⊥CA，使得CT＝AD＝2.5，连接AT．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝2.5cm，
∵AC⊥CT，
∴∠ECT＝30°，
∴∠ADF＝∠ECT，
∵CE＝DF，CT＝DA，
∴△ADF≌△ECT（SAS），
∴AF＝ET，
∴AE+AF＝AE+ET≥AT，
∵∠ACT＝90°，AC＝CT＝2.5cm，
∴，
∴，
∴AE+AF的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 5 ；第n个正方形的面积为 5×（）2n﹣2 ．
【分析】根据相似三角形的判定原理，得出△AA1B∽△A1A2B1，继而得知∠BAA1＝∠B1A1A2；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算第一个正方形的面积，从中找出规律，进而可求出第n个正方形的面积．
解：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，
根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，
∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2x（同位角相等）．
∵∠ADO+∠DAO＝90°，∠DAO+∠BAA1＝90°，
∴∠ADO＝∠BAA1，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD＝，tan∠ADO＝＝，
∵tan∠BAA1＝＝tan∠ADO，
∴BA1＝AB＝，
∴CA1＝+，
同理，得：C1A2＝（+）×（1+），
由正方形的面积公式，得：S1＝（）2＝5，
S2＝（）2×（1+）2，
S3＝（）2×（1+）4＝5×（）4，
由此，可得Sn＝（）2×（1+）2（n﹣1）＝5×（）2n﹣2．
故答案为：5；5×（）2n﹣2．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
二、解答题
24．利用假期期间，我校小晴同学和小彬同学进购了某种卡片，进价为每张2元，当商品售价为5元时，第一天销售256张．第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到400张．设第二、三天平均增长率不变．
（1）求第二、三天的平均增长率；
（2）按此增长，第四天这一天她们的利润会达到多少元？
【分析】（1）设第二、三天的平均增长率为x，利用第三天的销售量＝第一天的销售量×（1+第二、三天的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用总利润＝每张的销售利润×第四天的销售量，即可求出结论．
解：（1）设第二、三天的平均增长率为x，
根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：第二、三天的平均增长率为25%；
（2）根据题意得：（5﹣2）×400×（1+25%）
＝3×400×1.25
＝1500（元）．
答：按此增长，第四天这一天她们的利润会达到1500元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
25．如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，∠AEP＝90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P．
（1）求证：∠BAE＝∠CEP；
（2）求证：AE＝EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先证∠BAE+∠BEA＝90°，再证∠BEA+∠CEP＝90，最后得∠BAE＝∠CEP；
（2）在AB上取BN＝BE，连接EH，根据已知及正方形的性质利用SAS判定△HEM≌△ECP，从而得到AE＝EP；
（3）先证△DAM≌△ABE，进而可得四边形DMEP是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵∠AEP＝90°，
∴∠BEA+∠CEP＝90°，
∴∠BAE＝∠CEP；
（2）证明：如图，在AB上截取BN＝BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴AN＝EC，∠1﹣∠2＝45°，
∴∠4＝135°，
∵CP为正方形ABCD的外角平分线，
∴∠PCE＝135°，
∴∠PCE＝∠4，
∵∠AEP＝90°，
∴∠BEA+∠3＝90°．
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠3＝∠BAE，
在△ANE和△ECP中，
，
∴△ANE≌△ECP （ASA）．
∴AE＝EP；
（3）解：存在点M使得四边形DMEP是平行四边形，
理由如下：
过点D作DM∥PE，交AE于点 K，交AB于点M，连接ME、DP，
∴∠AKD＝∠AEP＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADM+∠AMD＝90°，∠MAK+∠AMD＝90°，
∴∠ADM＝∠MAK，
在△AMD和△BEA中，
∴△AMD≌△BEA（ASA），
∴DM＝AE，
∴DM＝PE，
∴四边形DMEP是平行四边形．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．
26．教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰△ABC中，S△ABC＝S△APB+S△APC，即AB*DC＝AB*MP+AC*PN，∵AB＝AC，∴DC＝MP+PN，MP+PN是个固定值．
（1）如图1，在矩形ABCD中，AC与DB交于O，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值为 ．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处．点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM＝13，CN＝5，▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC 的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE+PF﹣PD＝3，请直接写出△ABC的面积 3 ．
【分析】（1）由矩形的性质得出S矩形ABCD＝12，OA＝OC＝OB＝OD，S△ABD＝S△BCD，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，再由勾股定理得AC＝5，则S△AOD＝3，OA＝OD＝，然后由三角形面积即可得出结论；
（2）先求DM＝BM＝BN＝13，则AD＝BC＝18，再由勾股定理得AB＝12，然后由三角形面积求出PE+PF＝12，即可解决问题；
（3）由S△ABC＝S△ABP+S△BCP﹣S△ACP，可求AB的长，从而求出S△ABC．
解：（1）如图1，设AC与BD的交点为O，连接PO，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，AD＝4，
∴S矩形ABCD＝AB•AD＝3×4＝12，OA＝OC＝OB＝OD，S△ABD＝S△BCD，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
∴AC＝＝5，S△AOD＝S△ABO＝S△BOC＝S△COD，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝×12＝3，OA＝OD＝AC＝，
∵PE⊥OA，PF⊥OD，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝3，
解得：PE+PF＝，
故答案为：；
（2）▱PEQF的周长是定值24，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠DMN＝∠BNM，
连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，
∴MH＝AB，
由折叠的性质得：DM＝BM，∠DMN＝∠BMN，
∴∠BNM＝∠BMN，
∴DM＝BM＝BN＝13，
∵CN＝5，
∴AD＝BC＝BN+CN＝13+5＝18，
∴AM＝AD﹣DM＝18﹣13＝5，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB＝＝＝12，
∴MH＝12，
∵S△BMN＝S△PBM+S△PBN，PE⊥BM，PF⊥BN，
∴BN•MH＝BM•PE+BN•PF，
∵BM＝BN，
∴PE+PF＝MH＝12，
∴▱PEGF的周长＝2（PE+PF）＝2×12＝24，
∴▱PEQF的周长是定值24；
（3）如图3，连接AP，BP，CP，
∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP﹣S△ACP，△ABC是等边三角形，
∴AB2＝AB•PE+BC•PF﹣AC•PD，
∴AB＝PE+PF﹣PD，
∵PE+PF﹣PD＝3，
∴AB＝2，
∴S△ABC＝AB2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查四边形的综合应用，掌握矩形的性质和判定，折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积等知识是解题的关键．
类别
频数（人数）
频率
力学
m
0.5
热学
8
光学
20
0.25
电学
12
类别
频数（人数）
频率
力学
m
0.5
热学
8
光学
20
0.25
电学
12