甘肃省陇南市武都区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份甘肃省陇南市武都区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项）
1．下面图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定门框，使其不变形，这种做法的根据是（ ）

A．两点之间线段最短B．垂线段最短
C．两直线平行，同旁内角互补D．三角形的稳定性
4．如图，点A、C为∠FBE边上的两点，AD∥BE，AC平分∠BAD，若∠FAD＝45°，则∠ACE＝（ ）
A．45°B．67.5°C．112.5°D．135°
5．如图，在等腰中，，．线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，、、分别是中线、角平分线和高，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，已知两个三角形全等，图中字母a，b，c表示三角形的边长，则的度数为（ ）
A．50°B．58°C．60°D．62°
8．如图，中，为边中线，若的周长为8，则的周长是（ ）

A．8B．9C．10D．12
9．如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，，则中边上的高是（ ）
A．3B．6C．12D．1．5
10．如图，已知与均为等腰直角三角形，点E在边上，连接，的延长线交于点F，且平分；则下列结论中：①，②；③，④平分，正确的个数有( )

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，点为上任意一点，且于点，于点，，若，则 ．

12．一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是 ．
13．小华用三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为10cm和2cm，第三根木棒的长度为偶数，则第三根的长度是 cm．
14．如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠BPC=118°时，则∠A的度数为 ．
15．如图，点，，，在一条直线上，，，，，，则的长为 ．

16．如图，在中，的垂直平分线交于点，且，若，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，交于点O，． 求证：．
18．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．求证：DF＝2DC．
19．直线MN和的位置如图所示，请利用尺规作图法在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
20．已知：如图点O在射线AP上，∠1=∠2=15°，AB=AC,∠B=40°.
（1）求证：△ABO≌△ACO
（2）求∠POC的度数
21．已知a，b，c是的三边长，
（1）若a，b，c满足，试判断的形状；
（2）若a，b，c满足，试判断的形状．
22．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，交AC于D，EF⊥BC于点F．
（1）若∠CDE=152°，求∠DEF的度数；
（2）若点D是AC的中点，求证：．
四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE，
求证：△ACE是直角三角形．
24．如图，已知，
(1)画出关于x轴对称的图形，并写出各顶点坐标；
(2)画出关于y轴对称的图形，并写出各顶点坐标；
(3)求的面积；
(4)在y轴上找到一点P，使点P到点B、点C距离最短，画出图形，写出点P坐标．
25．如图，在四边形中，，．
(1)当时，求的度数．
(2)的平分线交于点E，当时，求的度数．
26．如图，于E，于D，．
(1)求证：．
(2)求的长．
27．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
2．D
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点关于x轴的对称点的坐标是，进而求出即可．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故选D．
【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
3．D
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：加上后，原不稳定的四边形中具有了稳定的，故这种做法的根据是三角形的稳定性．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形稳定性的实际应用，理解并掌握三角形稳定性的知识是解题关键．
4．C
【分析】先根据平角的定义求出∠BAD，根据角平分线的性质求出∠DAC，再利用平行线的性质，得到∠ACB的度数．最后通过平角求出∠ACE．
【详解】解：∵∠FAD＝45°，
∴∠BAD＝180°-45°＝135°．
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝＝67.5°．
∵AD∥BE，
∴∠ACB＝∠DAC＝67.5°．
∴∠ACE＝180°-67.5°＝112.5°．
故选：C．
【点睛】本题考查平行的性质和角平分线的性质，解题关键是运用题目中的条件去求解角的度数，能够从角平分线和平行这两个条件想到图中存在等腰三角形．
5．C
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识．根据等腰三角形的性质可求出与都等于．根据垂直平分线的性质，得到与相等，计算即可．
【详解】解：，，
，
是的垂直平分线，
，
，
．
故选C．
6．A
【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线和高，三角形的面积和直角三角形两锐角互余，掌握中线、角平分线和高的定义是解答本题的关键．根据中线、角平分线和高的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．∵是角平分线，∴，故A错误，符合题意；
B．∵是中线，∴，∴，故B正确，不符合题意；
C．是中线，∴，故C正确，不符合题意；
D． ∵是高线，∴，∴，故D正确，不符合题意；
故选A．
7．C
【分析】根据三角形内角和定理计算出∠β的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得∠α=∠β，即可求出结果．
【详解】解：根据三角形内角和可得∠β=180°-58°-62°=60°，
因为两个全等三角形，
所以∠α=∠β=60°，
故选：C．
【点睛】题本主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
8．B
【分析】根据的周长为8且，可得，再根据三角形中线的定义和三角形的周长公式解答即可.
【详解】解：∵的周长为8，，
∴，
∴，
∵为边中线，
∴，
∵
∴的周长是；
故选：B.
【点睛】本题考查了三角形的中线和三角形的周长，明确三角形中线的定义是关键.
9．A
【分析】本题主要考查中线的性质，利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案．
【详解】解：过点E作交于点F，如下图，
∵为的中线，为的中线，
∴，，
∴，
∵的面积为30，，
∴，
解得，
故中边上的高为3．
故选A．
10．D
【分析】根据证明与全等，进而证明，，再利用全等三角形的性质判断即可．
【详解】解：∵与均为等腰直角三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分，故④正确；
故选：D
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等解答．
11．
【分析】根据角平分线的判定定理解答即可．
【详解】∵于点，于点，，
∴是的平分线，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
12．360
【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：多边形的边数是：，
故答案为：360．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是360°是解题关键．
13．10
【分析】首先根据三角形的三边关系求得第三根木棒的取值范围，再进一步根据偶数这一条件分析．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得
10-2＜第三根木棒＜10+2，
即8＜第三根木棒＜12．
又∵第三根木棒的长选取偶数，
∴第三根木棒的长度只能为10cm．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及偶数的定义，难度适中．
14．56°．
【分析】据三角形的内角和等于180°，求出∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的定义，求得∠ABC+∠ACB．在△ABC中，根据三角形内角和定理，即可求出∠BAC的度数．
【详解】解：在△PBC中，∵∠BPC=118°，
∴∠PBC+∠PCB=180°﹣118°=62°．
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=2×62°=124°，
在△ABC中，∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．
故答案为56°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理, 角平分线的定义.
15．4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．根据证明，进而可求出的长．
【详解】∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故答案是4．
16．35°
【分析】根据等腰三角形的性质算出∠BAD，再由垂直平分线的性质得出△ADC为等腰三角形，则有∠C=∠DAC从而算出∠C.
【详解】解：∵，∠B=40°，
∴∠BAD=∠BDA=（180°-40°）×=70°，
∵的垂直平分线交于点，
∴∠DAC=∠C，
∴∠C==35°.
故答案为：35°.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，解题的关键是善于发现图中的等腰三角形，利用等边对等角得出结果.
17．证明见解析
【分析】只需要利用证明即可证明．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等．
18．见解析
【分析】根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理求得△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDC=30°，
∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=2CD．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
19．见解析
【分析】利用尺规作图法画出的角平分线，与直线的交点即为点．
【详解】解：如图，点即为所求（依据是角平分线的性质定理）．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的尺规作图法是解题关键．
20．（1）见解析；（2）55°．
【分析】（1）利用SAS即可证出△ABO≌△ACO；
（2）由△ABO≌△ACO可得∠B=∠C=40°，根据三角形外角的性质即可求出∠POC的度数．
【详解】（1）证明：在△ABO和△ACO中，
∴△ABO≌△ACO；
（2）解：∵△ABO≌△ACO，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠COP=∠C+∠2=40°+15°=55°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
21．（1）等边三角形；（2）等腰三角形．
【分析】（1）根据绝对值的非负性可得且，继而得出，即可判定三角形为等边三角形；
（2）根据几个数的积为0，其中至少有一个因数为0，可得或，从而可得或，由此判定三角形为等腰三角形．
【详解】解：（1）∵，
∴且，
∴．
∴为等边三角形．
（2）∵
∴或．
∴或．
∴为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和等边三角形的判定；关键是根据已知式子得出a，b，c三边关系．
22．（1）56°；（2）证明见解析
【分析】（1）求得∠A的度数后，可得∠C的度数，再利用四边形的内角和定理求得结论即可；
（2）连接DB，根据AB＝BC，且点D是AC的中点，得到BD⊥AC，∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，证得∠ADE＝∠ABD后即可证得．
【详解】解：（1）∵∠CDE=152°，
∴∠ADE=28°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠DEA=∠EFB=90°，
在Rt△DEA中，
∴∠A=90°-28°=62°，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=62°，
∴∠DEF=360°-62°-152°-90°=56°
（2）连接BD
∵AB=BC，且点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，
∴∠ADE+∠EDB=90°，
∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD，
∴∠ABC=2∠ADE．
【点睛】本题考查了四边形的内角和、三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题的关键是准确作出辅助线，合理转化角与角之间的关系．
23．见解析
【分析】先根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据“HL”判断Rt△ABC≌Rt△CDE，得到∠1=∠3，由于∠2+∠3=90°，所以∠1+∠2=90°，则可利用平角的定义得到∠ACE=90°，于是可判断△ACE是直角三角形．
【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△CDE中
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴∠1=∠3，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠ACE=90°，
∴△ACE是直角三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24．(1)见解析，，，
(2)见解析，，，
(3)
(4)画出图形见解析，
【分析】（1）根据题意画出原图形关于x对称的图形即可；
（2）根据题意画出原图形关于y对称的图形即可；
（3）根据题意求的面积即可；
（4）连接点、C，与y轴的交点即是点P，再求出点P坐标即可；
【详解】（1）是所求的三角形，，，
（2）是所求的三角形，，
（3）
（4）如图
【点睛】本题主要考查坐标与图形，根据题意正确画出图形是解题的关键．
25．(1)
(2)
【分析】（1）根据四边形的内角和是，可得，再由即可求出结果；
（2）根据可得，，再利用平分，可求，最后根据三角形的内角和即可求出结果．
【详解】（1）解：，，
，
∵四边形的内角和是，
，
又，
，
．
（2）解：平分，
，
又，，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、四边形和三角形的内角和及角平分线的定义，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解决问题的关键．
26．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）由垂直得，求出，然后利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，，根据求出即可得到的长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，，
∴；
（2）解： 由（1）知，，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．
27．（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析
【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论．
【详解】（1）证明：平分
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB，
；
②，
平分
（2）
理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE，
，∠DBC=∠ABC，
又
又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，
∴．
【点睛】本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键．