人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-1第2课时函数的最大(小)值课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-1第2课时函数的最大(小)值课时学案，共15页。

第2课时　函数的最大(小)值1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(数学抽象、直观想象)2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(逻辑推理、数学运算)3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(数学建模)科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图说说气温的变化情况．问题：(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？(2)设该天某时刻的气温为f (x)，则f (x)在哪个范围内变化？(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？知识点　函数最大值与最小值函数f (x)在其定义域(某个区间)内的最大(小)值的几何意义是其图象上最高(低)点的纵坐标．在函数的最大值定义的两个条件中，能否去掉其中的一个？[提示]　不能．若只有(1)，则M不一定是最大值，如f (x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f (x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于零的任意实数都是最大值．而最大值的核心就是不等式f (x)≤M，故也不能只有(2)．函数y＝f (x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．－1　2　[由题图可知，f (x)的最大值为f (1)＝2，f (x)的最小值为f (－2)＝－1．] 类型1　图象法求函数的最值(值域)【例1】　已知函数f (x)＝3-x2，x∈-1，2，x-3，x∈2，5． (1)在直角坐标系内画出f (x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．[解]　(1)图象如图所示：(2)由图可知f (x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3]．　图象法求最值的基本步骤[跟进训练]1．若x∈R，f (x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f (x)的最大值为(　　)A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．无最大值B　[f (x)的图象如图中实线所示，f (x)的最大值是1，故选B．] 类型2　单调性法求函数的最值(值域)【例2】　已知函数f (x)＝32x-1．(1)证明：函数f (x)在12，+∞上单调递减；(2)求函数f (x)在[1，5]上的最值．[解]　(1)证明：∀x1，x2∈12，+∞，且x2>x1>12，有f (x1)－f (x2)＝32x1-1－32x2-1＝6x2-x12x1-12x2-1．由于x2>x1>12，所以x2－x1>0，且(2x1－1)(2x2－1)>0，所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，所以函数f (x)＝32x-1在区间12，+∞上单调递减．(2)由(1)知，函数f (x)在[1，5]上单调递减，因此，函数f (x)＝32x-1在区间[1，5]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即最大值为f (1)＝3，最小值为f (5)＝13．　函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f (x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b)．(2)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f (x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)与f (c)中较小(大)的一个．提醒：不判断单调性而直接将区间的两端点值代入是求函数最值时最容易出现的错误．[跟进训练]2．已知函数f (x)＝2x+1x+1．(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．[解]　(1)f (x)在(－1，＋∞)上单调递增，证明如下：∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x10，x2＋1>0，x1－x2<0，所以f (x1)－f (x2)<0⇒f (x1)20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？思路导引：分x≤20和x>20两类　分别提取信息　建立y与x的函数关系式　数学运算　求函数最值[解]　(1)当020时，y＝260－100－x＝160－x．故y＝-x2+32x-100，020　　　　　　　(x∈N*)．(2)当020时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．　解实际应用题的4个步骤[跟进训练]3．某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满．已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？[解]　设每间房单价提高x个20元时，每天客房的租金总收入为y元．因为此时每间房单价为200＋20x元，而客房出租数将减少10x间，即为160－10x间，因此y＝(200＋20x)(160－10x)＝200(10＋x)(16－x)＝200(－x2＋6x＋160)＝200[－(x－3)2＋169]＝－200(x－3)2＋33 800．从而可知，当x＝3时，y的最大值为33 800．因此每间房单价提到200＋20×3＝260元时，每天客房的租金总收入最高．1．设函数f (x)＝2x－1(x<0)，则f (x)(　　)A．有最大值B．有最小值C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值D　[∵f (x)在(－∞，0)上单调递增，∴f (x)0时，此函数的最大值为1，最小值为2a＋1D．当a>0时，此函数的最大值为2a＋1，最小值为1AD　[当a>0时，y＝ax＋1在[0，2]上单调递增，∴当x＝0时，ymin＝1，当x＝2时，ymax＝2a＋1；当a<0时，y＝ax＋1在[0，2]上单调递减，∴当x＝0时，ymax＝1，当x＝2时，ymin＝2a＋1．故选AD．]二、填空题6．已知集合A＝{x|y＝x+2}，若函数f (x)＝－x，x∈A，则函数f (x)的值域是________．(－∞，2]　[∵A＝{x|y＝x+2}＝{x|x≥－2}，∴－x≤2，即函数f (x)的值域是(－∞，2]．]7．已知函数f (x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值为________．1　[函数f (x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0，1]，且函数有最小值－2．故当x＝0时，函数有最小值，当x＝1时，函数有最大值．∵当x＝0时，f (0)＝a＝－2，∴f (x)最大值＝f (1)＝－1＋4－2＝1．]8．函数f (x)＝6-x－3x在区间[2，4]上的最大值为________．－4　[∵y＝6-x在区间[2，4]上单调递减，y＝－3x在区间[2，4]上单调递减，∴函数f (x)＝6-x－3x在区间[2，4]上单调递减，∴f (x)最大值＝f (2)＝6-2－3×2＝－4．]三、解答题9．(2022·广东铁一中学月考)已知f (x)＝x+1x-1，讨论f (x)的单调性，并求f (x)在区间[2，4]上的最大值和最小值．[解]　f (x)＝x+1x-1＝x-1+2x-1＝1＋2x-1的定义域为xx≠1}，所以f (x)在(1，＋∞)，(－∞，1)上单调递减．证明：设∀x1，x2∈(1，＋∞)且x10, x2－1>0，x2－x1>0，所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，所以f (x)在(1，＋∞)上单调递减，同理可证f (x)在(－∞，1)上单调递减；因为f (x)在[2，4]上单调递减，所以f (x)max＝f (2)＝3，f (x)min＝f (4)＝53．10．函数f (x)＝－x＋1x在-2，-13上的最大值是(　　)A．32 B．－83 C．－2 D．2A　[∵f (x)＝－x＋1x在-2，-13上单调递减，∴f (x)最大值＝f (－2)＝2－12＝32．故选A．]11．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f (x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f (x)的最大值为(　　)A．4 B．5 C．6 D．10C　[在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f (x)的图象应为图中的实线部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4，6)．所以f (x)＝x+2，0≤x≤4，10-x，x>4， 其最大值为交点的纵坐标，所以f (x)的最大值为6．]12．(多选)已知函数f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])，下列结论正确的是(　　)A．∀x∈[－2，2]，f (x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3B．∃x∈[－2，2]，f (x)>a，则实数a的取值范围是a<－3C．∃x∈[0，3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3D．∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f (x)＝g(t)AC　[在A中，因为f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f (x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1，3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中，∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f (x)＝g(t)等价于f (x)的值域是g(t) 的值域的子集，而f (x)的值域是[－3，5]，g(t) 的值域是[－1，3]，D错误．故选AC．]13．已知函数f (x)＝x2-x0≤x≤2，2x-1(x＞2)， 则函数f (x)的最大值为________，最小值为________．2　－14　[作出f (x)的图象如图．由图象可知，当x＝2时，f (x)取最大值为2；当x＝12时，f (x)取最小值为－14．所以f (x)的最大值为2，最小值为－14．]14．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f (x)(注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？[解]　(1)因为f (x)是一次函数，设f (x)＝ax＋b，由表格得方程组45a+b=27，50a+b=12，解得a=-3，b=162，所以y＝f (x)＝－3x＋162．又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]．(2)由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]．当x＝42时，最大的日销售利润P＝432(元)，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．15．已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，且当x>0时，f (x)<0，f (1)＝－23．(1)求证：f (x)是R上的减函数；(2)求f (x)在[－3，3]上的最大值和最小值．[解]　(1)证明：任取x1，x2∈R且x10时，f (x)<0，且x2－x1>0，∴f (x2－x1)<0，则f (x2)－f (x1)<0，即f (x1)>f (x2)，所以f (x)是R上的减函数．(2)由(1)知f (x)min＝f (3)，f (x)max＝f (－3)，且f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝－2，f (x)＋f (y)＝f (x＋y)中令x＝y＝0得f (0)＝0，令y＝－x得f (x)＋f (－x)＝f (0)＝0，即f (－x)＝－f (x)，∴f (－3)＝－f (3)＝2，∴f (x)min＝－2，f (x)max＝2．即f (x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2．最值最大值最小值条件一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有f (x)≤Mf (x)≥M∃x0∈D，使得f (x0)＝M结论M是函数y＝f (x)的最大值M是函数y＝f (x)的最小值几何意义f (x)图象上最高点的纵坐标f (x)图象上最低点的纵坐标x4550y2712