初中数学人教版九年级下册27.1 图形的相似课堂检测

这是一份初中数学人教版九年级下册27.1 图形的相似课堂检测，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）如图，，与相交于点G．若则的长为（ ）
A．B．C．12D．20
2．（2022秋·湖北鄂州·九年级期末）如图，在中，点D、E、F分别在边上，连接，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·湖北武汉·九年级期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（精确到0.01．参考数据：，，）
A．B．C．D．
4．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）如图，已知，，，那么的长等于（ ）
A．2B．4C．4.8D．7.2
6．（2022秋·湖北武汉·九年级期末）如图1，线段长为2，点是线段上一动点（不与端点重合），设长为，如图2，在同一直角坐标系中甲表示的值随的变化情况，乙表示的值随的变化情况，则点所对应的值为（ ）
A．B．1C．D．
7．（2022秋·湖北武汉·九年级期末）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为，那么它的下部应设计的高度为（ ）．
A．B．C．D．
8．（2022秋·湖北宜昌·九年级期末）如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·湖北恩施·九年级期末）图中，有三个矩形，其中相似的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．没有相似的矩形
10．（2022秋·湖北宜昌·九年级期末）把矩形对折，折痕为，且矩形与矩形相似，则矩形的长与宽的比为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）若，则 ．
12．（2022·湖北孝感·九年级期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=AD，CE交AB于点F．若AF=1.2cm，则AB=
13．（2022秋·湖北武汉·九年级期末）人们把这个数叫做黄金分割数，如果把一条线段分为两部分，使其中较长一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数，如图，线段的长为2，C为线段的黄金分割点，D为线段的黄金分割点，E为线段的黄金分割点，即，则ED的长为
14．（2022秋·湖北武汉·九年级期末）如图，要设计一本书的封面，封面长，宽正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果使四周的边衬所占面积是封面面积的五分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，上下边衬的宽度为 ，左右边村的宽度为
15．（2022秋·湖北恩施·九年级期末）已知点是线段的黄金分割点，且，若．则 ．
三、解答题
16．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．
过点作交于点，则，（依据），
∴，
∴，即．
情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
(1)情况①中的依据指： ；
(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
(3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么
17．（2022秋·湖北省天门市·九年级期末）如图，线段AB的两个端点都在正方形格点上，按要求作图:
①仅用一把无刻度直尺; ②保留能够体现你画法的作图痕迹.
(1)在图1中画出线段AB的二等分点C．
(2)在图2中画出线段AB的一个三等分点D．

18．（2022秋·湖天门市·九年级期末）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
19．（2022秋·湖北武汉·九年级期末）问题提出
在等腰直角中，，，点分别在边，上（不同时在点），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，探究与的位置关系．
问题探究
(1)先将问题特殊化，如图1，点，分别与点，重合，直接写出与的位置关系；
(2)再探讨一般情形，如图2，证明（1）中的结论仍然成立．
(3)如图3，在等腰直角中，，，为的中点，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点是点关于直线的对称点，若点，，在一条直线上，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】利用平行线分线段成比例解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识点，能够熟练运用比例关系是解题关键．
2．C
【分析】利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行判断即可．
【详解】解：、，
∴，故选项A正确；
、∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，故选项B正确；
、∵，
∴，
∵与的大小关系不能确定，
∴，故选项C错误；
、∵，
∴，
∴，故选项D正确，
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，正确应用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
3．B
【分析】设雕像的下部高为xm，根据题意可得，求解即可；
【详解】设雕像的下部高为xm，则上部长为，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，高度为，
∴，
∴，
解得：（舍）或，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了比例线段的知识点和一元二次方程的计算，准确列出比例方程是解题的关键．
4．C
【分析】根据得到．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，正确理解平行线分线段的对应比例关系是解题的关键．
5．D
【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出BC．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，即，
解得：BC＝7.2；
故选：D
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．
6．C
【分析】由图像与图像交于点，得到，即，则点刚好是黄金比例点，求得，即可求得答案．
【详解】解：图像与图像交于点，
，
，
对图1来讲，点刚好是黄金比例点，
，
，
，
，
点所对应的值为．
故选：C．
【点睛】此题考查了黄金分割点、函数图象的交点坐标等知识，熟练掌握黄金分割点是解题的关键．
7．A
【分析】设雕像的下部应设计的高度为，由黄金分割的定义得，即可求解．
【详解】解：设雕像的下部应设计的高度为，
∵使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，
∴，解得：，
即雕像的下部应设计的高度为，
故选：A
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和黄金比值是解题的关键．
8．B
【分析】由，得，进而即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，，
∴，即：，
∴AE=4，
故选B．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键．
9．B
【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．
【详解】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2.5＝3：5，1：1.5＝2：3，
∴甲和丙相似，
故选B．
【点睛】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例．
10．D
【分析】设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
【详解】设矩形ABCD的长AD=x,宽AB=y,则
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似,
∴,即
即
∴
故选:D.
【点睛】考查相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边成比例是解题的关键.
11．
【分析】根据，设，，把，代入，即可求出答案．
【详解】解：根据，
设，，
所以
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质和求分式的值，解题的关键是能选择适当的方法求解．
12．6cm
【分析】作DG∥CF于G，根据平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理可得到AG，FG的长，从而也就求得了AB的长．
【详解】作DG∥CF于G，
∵AD是△ABC的中线，根据平行线等分线段定理，得BG=FG，
根据平行线分线段成比例定理，得： ，
∵AF=1.2cm，AE=AD
∴AG=3.6cm，则FG=2.4cm，
∴BG=FG=2.4cm
∴AB= AG + BG =3.6 +2.4= 6cm
故答案为6cm
【点睛】本题考查的是平行线等分线段定理以及平行线分线段成比例定理，能正确的运用平行线等分线段定理以及平行线分线段成比例定理添加辅助线是关键．
13．/
【分析】根据黄金分割点的定义进行计算分别求得即可求解．
【详解】解：∵线段的长为2，C为线段的黄金分割点，
∴
∴
∵D为线段的黄金分割点，
∴
∴
∵E为线段的黄金分割点，
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了黄金分割点，解题的关键掌握黄金分割数，．
14．
【分析】由条件知道中间矩形的长宽比是，设中间的矩形的长为，宽为．根据封面的面积关系建立方程求出其解即可．
【详解】解：∵封面长，宽，
∴封面的长宽比为．
设中间的矩形的长为，宽为，由题意得：
，
解得：，
∵不符合题意，舍去，
∴．
∴上下边衬为：．
左右边衬为：
故答案为：①，②
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际运用，相似多边形的性质，一元二次方程的解法的运用，解答时根据矩形的面积公式建立方程是关键．
15．2
【分析】根据黄金分割的定义可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
16．(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
(2)证明过程见详解
(3)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
（2）如图2中，作交于，模仿情况①的方法解决问题即可；
（3）利用梅氏定理即可解决问题．
【详解】（1）解：情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）证明：如图2中，作交于，
则有，
∴，
∴，则，变形得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）通过构造全等三角形进行作图；
（2）利用平行线分线段成比例定理进行作图．
【详解】解：（1）如图，点C即为所求；
（2）如图，点D1、D2即为所求.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）135°.
【分析】试题（1）由DE∥BC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC；
（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；
（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，再简单计算即可．
【详解】（1）∵DE∥BC，
∴，
∵AB=AC，
∴DB=EC，
故答案为=，
（2）成立．
证明：由①易知AD=AE，
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
又∵AD=AE，AB=AC
∴△DAB≌△EAC，
∴DB=CE，
（3）如图，
将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，
∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，
在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，
∵PE2+AE2=AP2，
∴△PEA是直角三角形
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°．
【点睛】考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比例.
19．(1)，理由见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）分析说明此时四边形为正方形即可；
（2）要证明，只要证明，而要证明可以通过添加辅助线构造全等三角形即可；
（3）由点为的中点及第（1）结论可知四边形是正方形，过作于点，延长交于点，从而构造全等三角形，利用全等三角形的性质及平行线分线段成比例定理即可得出结果．
【详解】（1）解：，理由如下：
由旋转的性质得：，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）证明：如图2，过作交的延长线于点，
则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
即，
（SAS），
，
，
；
（3）解：如图3，连接、，过作于点，延长交于点，
则，
由（1）可知，，
，，
为的中点，
，
（AAS），
，
点是点关于直线的对称点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
（AAS），
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题综合考查了旋转变换及等腰直角三角形性质，关键是添加辅助线构建全等三角形，找到证明思路的技巧是使用分析法即：执果索因法．