2023届福建省连城县第一中学高三上学期8月暑期月考数学试卷含答案

连城第一高级中学2022-2023学年高三上学期8月暑期月考

数学试卷

 满分：150分  考试时间：120分钟

第Ⅰ卷（非选择题  共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1、若集合，且,则的值为(    )

A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0

2、下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是　　

A． B． C． D．

3、已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（    )

A． B．2 C．1 D．

4、用模型拟合一组数据时，设，将其变换后得到回归方程为，则（   ）

A.-1                 B.1                 C.-2               D.2

5、如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，分别为和的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）     

   A． B． C． D．

6、若，则（  ）

7、已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为(    )

A.  B.  C.  D.

8、已知函数，设，，，则(     )

A.     B.     C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9、下列命题为真命题的是（  ）

A.若，则

B.若，则

C.若关于的不等式的解集为，则

D.，则“”是的必要不充分条件

10、已知不等式的解集是，则   

A. b    B. abc     C. c    D. ab

11、某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（    ）

A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元

B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元

C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用

D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km

12、为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中 k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这 k 份核酸全为阴性，因而这 k 份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这 k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这 k 份核酸再逐份检测，此时，这 k 份核酸的检测次数总共为k +1 次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若k=10 ，运用概率统计的知识判断下列哪些值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（   ）

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13、已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.

14.已知随机变量 X 服从正态分布值为，则的最小值为_____.

15、函数与的最小值分别为m和n，则m与n的大小关系为______．

16、已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为____________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知集合，．

(1)若，求m的取值范围；

(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围．

18、（本题共12分）已知函数

（1）当时,求函数的零点;

（2）若函数有零点,求实数的取值范围.

19、（本题共12分）如图（一）四边形ABCD是等腰梯形，，，，，过D点作，垂足为E点，将沿DE折到位置如图（二），且．

(1)证明：平面平面EBCD；

(2)已知点P在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值.

20、（本题共12分）为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：

(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；

(2)求关于的线性回归方程，并预测 2025 年该市新能源汽车充电站的数量．

参考数据：，

参考公式：相关系数，线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，

21、（本题共12分）已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求实数和的值；

（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；

（3）若对上，都有成立，求实数的取值范围.

22、（本题共12分）已知函数

(1)求证：；

(2)设函数，若在上存在最大值，求实数a的取值范围．

连城第一高级中学2022-2023学年高三上学期8月暑期月考

数学试卷答案

一、选择题单选  1. D  2.B  3. C  4. D  5.  A  6. C  7. A  8.B

二、选择题多选  9．BC 10． BCD.  11． BCD.  12．CD

三、填空题   13.    14. 25    15.   16.

17.解：(1)，解得：，故，

因为，所以，故，解得：，

所以m的取值范围是.

(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，

则是的真子集，

当时，，解得：，

当时，需要满足：或，解得：

综上：m的取值范围是

18.解　（1） 时, ,令 即

解得或 (舍去)

所以. 所以函数的零点为

（2）若有零点,则方程有解.

于是

因为,所以,即

19解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，，∴，∴………………………1分

，，，∴，，

在中，知，∵，∵，

∴∴，………………………2分

又EC，面EBCD，，∴面EBCD………………………3分

∵面，∴面面EBCD………………………4分

(2)由（1）知面EBCD，

∴以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系………………………5分

∴，，，

设∵，∴，∴，∴………………………6分

设是面CEP的法向量，

∴，∴，令，

∴，，………………………8分

设是面DEP的法向量，

∴，∴，∴

令，∴，。………………………10分

设平面与平面夹角为，则………………………11分

∴平面与平面夹角的余弦值为………………………12分

20【详解】(1)根据表格中的数据，可得，

，

，

，，

所以，

因为y与x的相关系数近似为，接近1，说明y与x的线性相关程度相当高，所以可以用线性回归模型拟合y与x的关系．

(2)由（1）可得，

所以，所以所求线性回归方程为，

将2025年对应的年份编号代入线性回归方程得，

故预测2025年该市新能源汽车充电站的数量为个.

21【解析】（1）因为，函数是定义在上的奇函数 ，

所以得，又因为，所以，

（2）由（1）可知，设

所以

=

因为，所以，

所以，，即，

所以，函数在上是增函数

（3）由（2）可知函数在上是增函数，且是奇函数

要使“对上，都有成立”

即

则 不等式组对恒成立，

所以对恒成立，所以

因为，所以，，所以，

，所以，

所以，所以实数的取值范围是.

22.解：(1)要证明，只要证明

设，………………………1分

则，………………………2分

令，则；令，则，

所以在上单调递减，在单调递增，………………………3分

所以，即，

即，即．………………………4分

(2)由题可得，

令，则，………………………5分

①当时，，在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，无最大值，不符合题意，………………………6分

②当时，在上单调递减，所以，

所以在上单调递减，无最大值，不符合题意．………………………7分

③当时，由，可得，

∴，在上单调递增，，在上单调递减；………………………8分

由（1）知：．

所以当时，．

取，则，且．………………………9分

又，所以由零点存在性定理，存在，使得，所以当时，，即，当时，，即，……………10分

所以在上单调递增，在上单调递减，在上存在最大值，符合题意．………………………11分

综上，实数a的取值范围为．………………………12分