初中第一章 直角三角形的边角关系3 三角函数的计算优秀同步测试题

这是一份初中第一章 直角三角形的边角关系3 三角函数的计算优秀同步测试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为( )
A. 35B. 45C. 55D. 2 55
2.在Rt△ABC中，∠C=90∘，a:b=3:4，运用计算器计算，∠A的度数为(精确到1∘) ( )
A. 30∘B. 37∘C. 38∘D. 39∘
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4.下列四个选项，正确的是( )
A. tanB=0.75B. sinB=0.6C. sinB=0.8D. csB=0.8
4.某款国产手机上有科学计算器，依次按键：
，显示的结果在哪两个相邻整数之间( )
A. 2～3B. 3～4C. 4～5D. 5～6
5.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是
( )
A.
B.
C.
D.
6.用计算器验证，下列不等式中成立的是( )
A. sin37∘24′>cs37∘24′+cs3∘10′B. cs45∘32′>sin45∘−sin1∘12′
C. sin63∘47′7.如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC=12m，上弦AB=BC，∠BAC=25°.若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是( )
A. B.
C. D.
8.已知sinA=0.1782，则锐角A的度数大约为( )
A. 8∘B. 9∘C. 10∘D. 11∘
9.用计算器求tan26∘，cs27∘，sin28∘的值，它们的大小关系是( )
A. tan26∘C. sin28∘10.已知csA=0.5592，运用科学计算器在开机状态下求锐角A时，按下的第一个键是( )
A. B. C. D.
11.在△ABC中，∠C=90°，∠B=26°，BC=4，若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是( )
A. B.
C. D.
12.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.比较大小：8cs31∘ 35(填“>”“<”或“=”)．
14.已知锐角A满足2csA=1，那么在利用计算器求∠A时，计算器上显示的结果是 ．
15.用计算器比较tan25∘，sin27∘，cs26∘的大小关系是 .(用“<”连接)
16.已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为 (结果精确到1∘).
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
已知sinθ=0.82904，求锐角θ的度数．
18.(本小题8分)
利用计算器回答下列问题.(结果精确到1′)
(1)已知sinA=0.75，求∠A的度数．
(2)已知csB=0.8889，求∠B的度数．
(3)已知tanC=45.43，求∠C的度数．
19.(本小题8分)
(1)用计算器求sin 40°与2sin 20°cs 20°的值，你能否发现sin 40°与2sin 20°cs 20°的大小关系？
(2)请你写出类似的等式，并用计算器验证，一般地，你能得到怎样的等式？请用符号语言和文字语言叙述你的结论．
(3)根据你的结论解答：若sin16°=a，cs 16°=b.求sin 32°的值．
20.(本小题8分)
如图，物华大厦离小伟家60m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角①(angle f elevatin)是45°，而大厦底部的俯角②(angle f depressin)是37°，求该大厦的高度(可以使用计算器，结果精确到0.1m)．
21.(本小题8分)
如图，河两岸AB，CD互相平行，小明和小慧要测量河的宽度，小明在A点测得对岸河边的树G正好在他的正北方向，小慧站在小明正东方向的B点，测得∠ABG=70°.A，B两点之间的距离是5m.根据上述测量数据，你能求出河的宽度吗(精确到0.1m)？
22.(本小题8分)
如图，要焊接一个高为3.5m，底角为32°的人字形钢架(等腰三角形)，约需多长的钢材？(精确到0.01m)
23.(本小题8分)
为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，图(1)所示的是一辆自行车的实物图．图(2)是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45 cm和60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm.点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°.(参考数据：sin 75°≈0.966，cs 75°≈0.259，tan 75°≈3.732)
(1)求车架档AD的长；
(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1 cm)．
24.(本小题8分)
用三根长度分别为80cm，60cm，60cm的木条做成一个等腰三角形(如图)，这个等腰三角形各个内角的大小分别为多少(精确到1″)？
25.(本小题8分)
如图，在Rt△ACB中，∠ACB=Rt∠，D是AB的中点，tan∠ACD=13，求∠A，∠B的度数(精确到1′)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数定义等知识，利用勾股定理求出BB′长是解题的关键．
在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC=AC′=6，BC=B′C′=8，∠C=∠AC′B′=90°，在Rt△BB′C′中，由勾股定理求得BB′的长，即可求解．
【解答】
解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2= 36+64=10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′=6，BC=B′C′=8，∠C=∠AC′B′=90°，
∴BC′=AB−AC′=10−6=4，
∴B′B= BC′2+B′C′2= 16+64=4 5，
∴sin∠BB′C′=BC′BB′=44 5= 55，
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查在直角三角形中解题，根据角的正弦值求出三角形的角度.根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后求出∠A．
【解答】
解：∵a:b=3:4，
∴可设a=3x，b=4x，x>0，
由勾股定理得c=5x，
∴sinA=ac=3x5x=0.6，
利用计算器可求得∠A≈37∘．
故选B
3.【答案】C
【解析】【分析】
根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义求值即可得出答案．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【解答】
解：如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC= AB2−AC2= 52−42=3，
A选项，原式=ACBC=43，故该选项不符合题意；
B选项，原式=ACAB=45=0.8，故该选项不符合题意；
C选项，原式=ACAB=45=0.8，故该选项符合题意；
D选项，原式=BCAB=35=0.6，故该选项不符合题意；
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查计算器的使用，正确地操作和计算是得出正确答案的前提．
用计算器计算得3.464101615……得出答案．
【解答】
解：使用计算器计算得，
4sin60°≈3.464101615，
故选：B．
5.【答案】D
【解析】略
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用计算器求锐角三角函数值．此题要求同学们能熟练应用计算器，利用计算器求锐角三角函数值．
【解答】
解：使用计算器分别对各选项进行计算，
只有B正确．
故选B．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，也考查了等腰三角形的性质．
过B点作BD⊥AC于D，根据等腰三角形的性质得到AD=CD=6米，在Rt△ADB中，利用∠BAC的余弦进行计算即可得到AB，再得到正确的按键顺序．
【解答】
解：过B点作BD⊥AC于D，
∵AB=BC，BD⊥AC，AC=12米，
∴AD=CD=6米，
在Rt△ADB中，∠BAC=25°，
∴AB=ADcs25∘=6cs25∘，
即按键顺序正确的是．
故选：B．
8.【答案】C
【解析】∵sinA=0.1782，∴∠A≈10∘．
9.【答案】C
【解析】∵tan26∘≈0.488，cs27∘≈0.891，sin28∘≈0.469，∴sin28∘10.【答案】A
【解析】解：根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按2ndf键，
故选：A．
根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按2ndf键．
本题主要考查计算器按键的作用，解题关键是熟练掌握计算器功能键的作用，
11.【答案】D
【解析】解：由tan∠B=ACBC，得：
AC=BC⋅tanB=4×tan26°．
故选：D．
根据正切函数的定义，可得tan∠B=ACBC，根据计算器的应用，可得答案．
本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键．
12.【答案】D
【解析】解：采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是D选项中的顺序，
故选：D．
根据用计算器算三角函数的方法：先按键“sin”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果．
本题考查的是利用计算器求三角函数值，灵活使用计算器是解题的关键．
13.【答案】>
【解析】略
14.【答案】60
【解析】∵2csA=1，∴csA=12=0.5，根据计算器功能键，先按键，再依次按键，计算器上显示的结果是60．
15.【答案】sin27∘【解析】先利用计算器分别求出tan25∘，sin27∘，cs26∘的值，再进行大小比较．
16.【答案】37∘
【解析】略
17.【答案】解：∵sinθ=0.82904，
∴锐角θ≈56°．
【解析】先启用科学计算器上sin−1功能，再按对应的正弦值，最后按等于即可得．
本题主要考查计算器−三角函数，解题的关键是掌握科学计算器上计算三角函数值功能的使用．
18.【答案】【小题1】
∵sinA=0.75，∴由计算器计算得∠A≈48∘35′．
【小题2】
∵csB=0.8889，∴由计算器计算得∠B≈27∘16′．
【小题3】
∵tanC=45.43，∴由计算器计算得∠C≈88∘44′．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
3. 见答案
19.【答案】解：(1)用计算器求得sin40°≈°cs20°≈0.642787609，
∴sin40°=2sin20°cs20°．
(2)答案不唯一，如：类似的等式有sin30°=2sin15°cs15°，sin56°=2sin28°cs28°等，
∵sin30°=0.5，2sin15°cs15°=2×0.258819045×0.965925826=0.5，
∴sin30°=2sin15°cs15°；
同法可验证sin56°=2sin28°cs28°．
一般地，对于任意角α，都有sin 2α=2sin αcs α.用文字语言叙述为：一个角的正弦与这个角的余弦的积的2倍，等于这个角的2倍角的正弦．
(3)sin32°=2sin16°cs16°=2ab．
【解析】本题考查了用计算器求三角函数值，以及根据计算结果总结规律，并用发现的规律解决问题，解题关键是找出规律．
(1)直接用计算器求解，然后比较结果的大小关系即可；
(2)列举两个类似的等式，并用计算器进行验证，然后用文字把得出的规律叙述出来即可；
(3)根据(2)中总结的规律解题即可．
20.【答案】解：过点A作AE⊥CD于E，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴四边形ABCE是矩形，
∵BC=60m，
∴AE=BC=60m，
∴在Rt△AEC中，EC=AE⋅tan∠EAC=60×tan37°≈45.2(m)，
在Rt△ADE中，∵∠DAE=45°，
∴DE=AE=60(m)，
∴BC=DE+CE=60+45.2=105.2(m)．
答：该大厦的高度约为105.2m．
【解析】过点A作AE⊥CD于E，可得四边形ABCE是矩形，即可得BC=AE=60m，分别在Rt△ACE中，EC=AE⋅tan∠EAC与在Rt△ADE中，DE=AE，继而求得大厦的高度．
本题考查了仰角与俯角的知识．注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
21.【答案】解：根据题意得：∠GAB=90°，AB=5m，∠ABG=70°，
∴在Rt△ABG中，tan∠ABG=AGAB
AG=AB⋅tan∠ABG≈5×2.747≈13.7m．
∴A、G两点之间的距离为13.7m，
即河的宽度为13.7m．
【解析】由题意可知∠GAB=90°，AB=5m，∠ABG=70°，然后在Rt△ABG中，利用∠ABG正切函数，即可求得A、G两点之间的距离即河的宽度．
此题考查三角函数定义．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
22.【答案】解：如图所示：DC=3.5，∠A=∠B=32°，
故sin32°=CDAC，
∴AC=DC÷sin32°≈6.605(m)，
tan32°=CDAD，
故AD=CD÷tan32°≈5.601(m)，
则AB=11.202m，
故AC+BC+CD+AB=11.202+13.21+3.5≈27.91(m)．
答：约需27.91m的钢材．
【解析】利用锐角三角函数关系分别得出AC，AD的长，进而求出即可．
此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵在Rt△ACD中，AC=45cm，DC=60cm
∴AD= 452+602=75(cm)，
∴车架档AD的长是75cm；
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵AE=AC+CE=45+20=65cm，
在Rt△EFA中，
EF=AE×sin75°≈65×0.966=62.79≈63(cm)，
∴车座点E到车架档AB的距离约是63cm．
【解析】此题主要考查了勾股定理与解直角三角形的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
(1)在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可．
(2)过点E作EF⊥AB，在RT△EFA中，利用三角函数求EF=AE×sin75°，即可得到答案．
24.【答案】解：如图，AB=AC=60cm，BC=80cm，作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠C，BD=CD=12BC=40，
在Rt△ABD中，∵csB=BDAB=4060=23，
∴∠B=48°11′23″，
∴∠C=48°11′23″，
∴∠BAC=180°−2∠B=83°37′14″．
即三角形三个内角的度数分别为48°11′23″，48°11′23″，83°37′14″．
【解析】如图，AB=AC=60cm，BC=80cm，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，BD=CD=12BC=40，在Rt△ABD中，计算出csB=23，则可得到∠B=48°11′22″，于是得到∠C的度数，然后根据三角形内角和定理计算∠BAC的度数．
本题考查了锐角三角函数定义．解决本题的关键的灵活运用锐角三角函数的定义．
25.【答案】解：∵tan∠ACD=13，
∴∠ACD≈18°24′，
∵D是斜边AB的中点，
∴DA=DC，
∴∠A=∠ACD≈18°24′，
∴∠B=90°−∠A=90°−18°24′≈71°36′．
【解析】先利用∠ACD的正切值得到∠ACD=18°24′，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到DA=DC，则利用等腰三角形的性质得∠A=∠ACD=18°24′，然后利用互余计算∠B的度数．
本题考查了三角函数定义．解决本题的关键的灵活运用锐角三角函数的定义．