中职数学高教版（2021）拓展模块二 下册6.4.1 三角形面积公式练习题课件ppt

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ΔABC中,常用∠A、∠B、∠C 表示三个角，用 a、b、c分别表示这三个角的对边．根据已知条件求三角形的边和角的过程称为解三角形.
在生产实践和科学研究中,经常会遇到解三角形的问题．余弦定理和正弦定理反映了任意三角形中边和角之间的数量关系，是解三角形的重要工具.
6.4.1 三角形面积公式
为迎接国庆节,某职业学校对校园重新进行修整．园林工人计划利用一夹角成60°的墙角修建一个三角形花圃(如图). 若墙角的两面墙的长度分别为4m和6m, 问所建花圃的面积是多少平方米(不考虑其他因素)？
用ΔABC表示所建花圃，其中，b=4, c=6. 以ΔABC的顶点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.于是,点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(c,0).
由三角函数的定义，可以得到
同理可得，
这就是说，三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半.
例1 在ΔABC中，∠C=60°，b=6，a=4，求S△ABC的值.
1. 根据下列条件求S△ABC的值. (1) c=8，∠A=135° ； (2)
2. 在ΔABC中，b=8，c= ，S△ABC=2，求∠A.
3.在ΔABC中， ，求S△ABC的值.
4.在⏥ABCD中，AB=10，AD=20，∠A=60°，S△ABC=2，求这个平行四边形的面积.
6.4.2 正弦定理
无线电测向运动是利用无线电信号迅速、准确地测定出隐蔽电台方位，并寻找出隐蔽电台的一种体育竞技运动，也称无线电“猎狐”.如图所示,运动员在A、B两点使用测向机分别测得隐蔽电台的方向，这两个方向的交点C就是目标所在的位置，即隐蔽电 台的位置. 
若测得 AB=100m，∠A=45°, ∠B=60°，怎样计算AC 和BC的长度呢？（精确到0.01m)
于是，我们得到三角形中边角关系的一个重要定理. 正弦定理 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等.即， 在任意都有
容易看出，利用正弦定理可以解决下列两类问题：  (1) 已知三角形的两边和其中一边所对的角,求其他两角和另一条边； (2) 已知三角形的两个角和任意一边,求其他两边和另一个角.
例3 在ΔABC中, ∠B=45°，∠C=15°，a=5，求b. 
例4 （1） 若∠A=30°，求∠C.
例4 （2） 若∠B=135°，求∠C.
例5 设ΔABC的内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，且a=2bsinA，求∠B.
已知三角形中两边和其中一边的对角时，三角形的解是否唯一？
6.4.3 余弦定理
在6.4.1的“情境与问题”中，园林工人在修建花圃的过程中,需在墙角的对面建造一道篱笆墙，问所建篱笆墙的长度为多少(不考虑其他因素)？
如图所示，以ΔABC的顶点A为坐标原点、射线AB的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，则点A、B的坐标分别为 A(0,0)，B(c,0).由6.4.1 可知，点C的坐标为 C(bcs A,bsin A).
根据两点间距离公式可得，
即 a²=b²+c²-2bccsA.
同理可得，b²=a²+c²-2accsB, c²=a²+b²-2abcsC.
于是，我们得到三角形中边角关系的又一个重要定理. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍.
上述公式也可以变形为：
特别地，当∠C=90°时，有c²=a²+b².因此，勾股定理是余弦定理的特例.
可以看出，利用余弦定理能解决下列两类问题：  （1）己知三角形的两边及其夹角,求第三边和其他两角；  （2）己知三角形的三边，求三个角.
在任意ΔABC中，都有 a²= b²+c²-2bccsA，b²= a²+c²-2accsA ，c²= a²+b²-2abcsC
已知三角形的两边和其中一边的对角，能否利用余弦定理解三角形？
例7 在ΔABC中，a=4，b=6，∠C=60°，求c.
通过本题的计算可知，本节的“情境与问题”中需建篱笆墙的长度约为 5.29 m.
1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.