江苏省宿迁市宿豫区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含答案解析）

这是一份江苏省宿迁市宿豫区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含答案解析），共19页。

1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案，注意不要答错位置，也不要超界．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．样本数据2、、3、4的平均数是3，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．如图，四边形是的内接四边形，是它的一个外角．若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
4．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．甲、乙、丙三人站成一排拍照，则甲站在中间的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．若样本的方差为2，则样本的方差是（ ）
A．2B．4C．7D．8
7．如图，等腰直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点是量角器上刻度线的外端点，连接交于点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．一元二次方程x2＝2x的解为 ．
10．现有某种产品100件，其中5件次品，从中随意抽出1件，恰好抽到次品的概率是 ．
11．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
12．如图，是的直径，点在上，且点为的中点，若，则 ．

13．某校九年级1班50名学生的年龄情况如下（单位：岁）：
这个班学生年龄的中位数是 岁．
14．如图，在中，，垂足为是上一点，过、三点的圆交于点，若，则 ．
15．如图，转盘中阴影部分扇形的面积为，转盘所在圆的半径为2，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．

16．一个圆锥的高为，底面圆的半径为2，则这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为 ．
17．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心13为半径画圆，直线与交于两点，则弦长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解方程：2x2+5x=3．
20．如图，是的直径，是弦的延长线上一点，且的延长线交于点．若，请求出的度数．

21．某单位要招聘名英语翻译，甲、乙两人报名参加了听、说、读、写等项素质测试，甲的成绩分别为：分、分、分、分；乙的成绩分别为：分、分、分、分．如果把听、说、读、写的成绩按计算素质测试平均成绩，那么谁会被录用？
22．某射击队在一次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表：
(1)经计算甲和乙的平均成绩都是8环，则表中的______；
(2)甲射击成绩的中位数是多少？
(3)若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
23．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作：

(1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______；
(2)求出扇形的面积．
24．甲、乙两盒中各有3张卡片，卡片上分别标有数字和，这些卡片除数字外都相同．把卡片洗匀后，从甲、乙两盒中各任意抽取1张，并把抽取得卡片上的数字分别作为平面直角坐标系中的一个点的横坐标、纵坐标．
(1)列出这样的点所有可能的坐标（用画树状图或列表法求解）；
(2)计算这些点落在直线上的概率．
25．如图，已知．

(1)作一个圆，使圆心在上，且与所在直线相切（不写做法，保留作图痕迹）；
(2)若，在（1）中所作的上有一动点，请求出线段的最小值．
26．如图，已知是的直径，点在上，为外一点，且，．
(1)试说明：直线为的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
27．十一国庆期间，某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下：
某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，设这批员工共有人．
(1)当时，该公司应支付购票费用多少元？
(2)若该公司观看此场演出超过30人，共支付1200元的购票费用，该公司观看此场演出的员工多少人？
28．如图，已知是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过三点作圆，交于点，连接．设运动时间为，其中．
(1)求的值；
(2)当时，求出内切圆的半径；
(3)求四边形的面积．
含答案与解析
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．有两个未知数，是二元方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．C
【分析】根据平均数的公式计算出的值即可．本题考查了算术平均数，正确理解算术平均数的意义是解题的关键．
【详解】解：2、、3、4的平均数是3，
，
，
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平角的定义，根据平角的定义求出，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选A．
4．C
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟记判别式与一元二次方程根的关系，先求出判别式，再确定符号判断即可得到答案，掌握不等式的解法是解决问题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一般式为，
，解得，
故选：C．
5．B
【详解】试题分析：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中甲站在中间的结果数为2，所以甲站在中间的概率==．故选B．
考点：列表法与树状图法．
6．D
【分析】本题考查了方差．根据方差的变化规律当数据都加上一个数时，方差不变，当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，即可得出答案．
【详解】解：∵样本的方差为2，
∴样本的方差是；
故：D．
7．B
【分析】本题考查圆中求角度，涉及量角器测角、圆周角定理和三角形内角和定理等知识，连结，读出量角器角度，结合圆周角定理求出，再由三角形内角和定理即可得到答案，掌握圆周角定理是解决问题的关键．
【详解】解：连结，如图所示：
由题意可知，则，
等腰直角三角板的斜边与量角器的直径重合，
是的直径，，
在中，，则，
在中，，，则，
故选：B．
8．D
【分析】连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出经过的路程长．
【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：
，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
在中，，则，
的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧，则
当与重合时，；当与重合时，与重合；
走过的路程为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轨迹长度的求解，涉及矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定的轨迹是本题解题的关键．
9．x1＝0，x2＝2
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0，
解得x=0或x=2．
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
10．
【分析】求出所有等可能的结果数及抽出次品的可能结果数，由概率公式即可求得．
【详解】解：所有可能的结果数为100，随意抽出1件为次品的结果数为5，
恰好抽到次品的概率是= = ；
故答案：．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，掌握概率公式是关键．
11．
【分析】将代入原方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，直接开平方法解一元二次方程，将代入原方程是解题的关键．
12．##50度
【分析】本题考查了圆周角定理．连接，先求得，再利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接，

∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．15.5
【分析】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的求法是解题的关键；由表格可知这个班学生年龄的中位数取第25和第26位同学的年龄的平均数，所以此题得解．
【详解】解：由题意可知这个班学生年龄的中位数为；
故答案为：15.5．
14．##35度
【分析】本题考查圆中求角度，涉及直角三角形性质、圆周角定理等知识，首先根据，，得到，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案，灵活运用圆周角定理是解决问题的关键．
【详解】解：在中，，，
，
，
，
在中，，则，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了几何概率，先求出圆的面积，再利用几何概率计算方法即可求解，熟练掌握几何概率计算方法是解题的关键．
【详解】解：圆的面积为：，
则指针落在阴影部分的概率为：，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是：先根据勾股定理求出母线长为6，设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是，利用弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：母线长为，
设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是，
根据题意得，
解得，
即圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是．
故答案为：．
17．x（x+12）=864
【分析】利用长乘以宽=864，列出方程即可得出答案．
【详解】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）=864．
故答案为：x（x+12）=864．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．
18．24
【分析】本题考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，易知直线过定点，运用勾股定理可求出，由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．运用过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短这个经验是解决该题的关键．
【详解】解：对于直线，
当时，，
故直线恒经过点，记为点D，
过点D作轴于点H，
则有，
，
由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短，
连接，
，
因此运用垂径定理及勾股定理可得：
的最小值为，
故答案为：24．

19．.
【详解】试题分析：化为一般式后应用公式法求解.
试题解析：原方程可化为，
，，
∴.
∴原方程的解为.
考点：应用公式法解一元二次方程.
20．
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，由是的直径得到，即，进一步证明垂直平分，则，由等边对等角和圆周角定理得到，再根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：连接，

是的直径，
，即，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
．
21．乙
【分析】本题考查的是加权平均数的求法，根据加权平均数的定义列式计算即可求解，要注意各部分的权重与相应的数据的关系，熟记运算方法是解题的关键．
【详解】甲的得分
乙的得分
乙会被录用．
22．(1)8
(2)8
(3)甲成绩更为稳定
【分析】本题考查了方差、中位数，方差是反映一组数据的波动大小的量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
（1）根据平均数的定义列出关于的方程，解之即可；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）先计算出乙成绩的方差，再根据方程的意义判断即可．
【详解】（1）解：甲和乙的平均成绩都是8环，
，
解得：，
故答案为：8；
（2）解：甲成绩排序后最中间的两个数据为8和8，
甲成绩的中位数是；
（3）解：乙成绩的方差为：
，
，
甲和乙的平均成绩都是8环，而甲成绩的方差小于乙成绩的方差，
甲成绩更为稳定．
23．(1)见解析，
(2)
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，理解垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．
（1）根据网格和正方形的性质，分别作出、的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，进而写成点的坐标；
（2）利用网格以及勾股定理和逆定理得出以及半径的平方，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：根据网格作，的中垂线，这两条中垂线相交于点，连接，，，则点，

故答案为：；
（2）解：由（1）图可知：
，
，
为直角三角形，，
即的半径为，的度数为，
∴．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）运用列表法即可确定所有的坐标，正确列表成为解答本题的关键；
（2）先确定落在直线上的点的个数，然后运用概率公式求解即可；掌握概率公式是解答本题的关键．
【详解】（1）解：由题意可列表如下：

所以共9种等可能的结果．
（2）解：“落在直线上”记为事件A，它的发生有1种可能，即，所以件发生的概率，
即落在直线上的概率是．
25．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查作角的平分线，作圆，切线的判定定理，勾股定理，角平分线的性质定理：
（1）作的平分线，与边交于点O，以点O为圆心，为半径作圆，此时与所在直线相切；
（2）利用勾股定理求出 的长度，减去的半径即可得到线段的最小值．
【详解】（1）解：就是所求作的圆．

过点O作于点E，
∵平分，，
∴，
∴是的切线，
∴与所在直线相切；
（2）如图，设与相切于点，连接，，
由作图可知，，
在Rt中，，
，
设的半径为，
在Rt中，
即，解得，，
在Rt中，
，
线段的最小值为．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明：连接，由，，得，则，所以，即可证明直线为的切线．
（2）连接，则，所以是等边三角形，则，所以，，则，，，即可由求得阴影部分的面积是．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
，
，
，
．
，
，
，
即，又是的半径，
直线为的切线．
（2）如图，连接，作，垂足为，则，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，即的半径为4，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题重点考查平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
27．(1)1452元
(2)40人
【分析】（1）由“超过30人，每增加1人，每张票的单价减少2元”，可得出每张票价，然后再求出支付购票费用即可；理解题意、列式求得每张票的单价是解题的关键；
（2）根据“总价=单价×人数”列出一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据超过30人，单价不低于28元即可解答．根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：，
元，
该公司应支付1452元的购票费用．
（2）解：由题意得：，
整理得：，解得或，
当时，不符合题意；
当时，，符合题意．
答：该公司观看此场演出的员工40人．
28．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意分别表示出，用含的式子表示出来相加即可求解；
（2）如图，作内切圆，切点分别为，连接，求解，证明四边形是正方形，，可得，从而可得结论；
（3）根据圆周角定理可得，是等腰直角三角形．进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，，
．
（2）当时，，
，

如图，作内切圆，切点分别为，连接，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
即内切圆的半径为1．
（3），
是圆的直径．
．
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
在中，．
四边形的面积，
．
四边形的面积为．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解三角形的内切圆的半径，切线长定理的应用，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的利用圆的基础知识与切线长定理求解是解本题的关键．
年龄
14
15
16
17
人数
3
22
24
1
射击次序（次）
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
甲的成绩（环）
8
9
7
9
8
6
7
10
8
乙的成绩（环）
6
7
9
7
9
10
8
7
7
10
购票人数
收费标准
不超过30人
50元/人
超过30人
每增加1人，每张票的单价减少2元，但单价不低于28元．