江苏省宿迁市泗阳县2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份江苏省宿迁市泗阳县2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2-x-2B. x2-y+2=0
C. x2-1x+2=0D. (a2+1)x2+3x+2=0(a为常数)
2.已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A. 相交B. 相切 ​ C. 相离 ​ D. 无法判断
3.设a，b是一元二次方程x2+2x-99=0的两个实数根，则ab的值为( )
A. 2B. 99C. -99D. -2
4.下列方程中，没有实数根的是( )
A. x2=xB. x2+1=0C. x2+2x+1=0D. x2+2x-1=0
5.如图，点A、B、C都在半径为2的⊙O上，∠C=30°，则弦AB长为( )
A. 1
B. 2
C. 2.2
D. 2.5
6.如图，点Ⅰ为△ABC的内心，若∠A为50°，则∠BIC的度数为( )
A. 105°
B. 100°
C. 115°
D. 130°
7.用配方法解方程x2-4x+3=0，下列变形正确的是( )
A. (x-2)2=-7B. (x+2)2=1C. (x+2)2=-1D. (x-2)2=1
8.有下列几个命题：①长度相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤90°的圆周角所对的弦是直径，其中正确的命题个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是( )
A. 120°B. 135°C. 150°D. 165°
10.如图，⊙O的半径为5，弦BD的长为6，延长BD至点A，使得点D为AB的中点，在⊙O上任取一点C，连接AC、BC，则AC2+BC2的最大值为( )
A. 290B. 272C. 252D. 244
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O外，则OP的长度可以是______ cm.(写出一个即可)
12.已知直角三角形两直角边长分别是3和4，则其外接圆的半径长是______．
13.有一个圆心角为120°，半径为3cm的扇形，若将此扇形卷成一个圆锥，则此圆锥的侧面积是______ ．
14.若关于x的一元二次方程(m-2)x2-2x+m2-4=0有一个根是0，则m的值为______ ．
15.王华同学在手工制作中，把一个边长为10cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为______ cm．
16.我们知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1，x2=-3，现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0，它的解是______．
17.如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边.若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE、CE，弦EC是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为______ ．
18.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2,0)，点B的坐标是(6,0)，点C的坐标为(0,8)，点D为平面上一动点，CD的长度为a，点Q为BD的中点，当点D运动时，所有这样的点Q组成的图形与线段AB有且只有一个公共点，则a的取值应满足的条件是______ ．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解方程：
(1)(x-2)2=2(x-2)；
(2)x2+5x-6=0．
20.(本小题8分)
关于x的方程2x2+(m+2)x+m=0．
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根．
21.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DCB=30°，求∠ABD的度数．
22.(本小题8分)
如图，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？请说明理由．
23.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于点C．
(1)尺规作图：求作BC的中点D.(保留作图痕迹)
(2)过点D画DE⊥AC，垂足为E.求证：DE是⊙O的切线．
24.(本小题10分)
抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵，是国家级的非物质文化遗产之一，可见于全国各地，天津、北京、辽宁、吉林、黑龙江等地尤为盛行.在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳AC，BD分别与空竹⊙O相切于点C，D，连接左右两个绳柄A，B，AB经过圆心O，交⊙O于点E，F，AE=BF．
(1)求证：AC=BD．
(2)若AE=4，AC=8，求两个绳柄之间的距离AB．
25.(本小题10分)
某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双240元，如果一次购买超过10双，那么每多买1双，所购买运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于150元．
(1)当小王买这种运动鞋12双时，则运动鞋的单价为______ 元.
(2)如果一位顾客购买这种运动鞋支付了3600元，这位顾客买了多少双运动鞋？
26.(本小题10分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D．
(1)求证：BE=CF；
(2)若∠ABC=∠EAC，AC=4，求阴影部分的面积．
27.(本小题12分)
阅读下列材料：在苏教版九年级数学上册P15页中，我们通过探索知道：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0时，这个方程的实数根就可以表示为x=-b± b2-4ac2a，其中b2-4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用△表示，即Δ=b2-4ac，通过观察公式，我们可以发现，如果△的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，△的值一定是一个完全平方数．
例：方程2x2-x-1=0，Δ=b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=9=32，△的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x=1，x2=-12，不都为整数；方程x2-6x+8=0的两根x1=2，x2=4，都为整数，此时Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×8=4=22，Δ的值是一个完全平方数.我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为“全整根方程”，代数式4ac-b24a的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Q(a,b,c)表示，即Q(a,b,c)=4ac-b24a；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)也为“全整根方程”，其“最值码”记为Q(p,q,r)，当满足Q(a,b,c)-Q(p,q,r)=c时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的“全整根伴侣方程”．
(1)关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m=0是一个“全整根方程”．
①当m=2时，该全整根方程的“最值码”是______ ．
②若该全整根方程的“最值码”是-1，则m的值为______ ．
(2)关于x的一元二次方程x2-(2m-3)x+m2-4m-5=0(m为整数，且4(3)若关于x的一元二次方程x2+(1-m)x+m+4=0是x2+(n-1)x-n=0(m,n均为正整数)的“全整根伴侣方程”，求m-n的值(直接写出答案)．
28.(本小题12分)
如图1，点E是⊙O直径AB上一点，AE=2，BE=8，过点E作弦CD⊥AB，点G在BD上运动，连接CG．
(1)求CD的长．
(2)如图2，连接AG，作∠DCG的角平分线交AG于点F，在点G运动的过程中，AF的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．
(3)如图3，过点B作BH⊥CG于H，连接DH，求DH的最小值．
答案和解析
1.答案：D
解析：解：A.x2-x-2不是方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.x2-y+2=0是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.x2-1x+2=0是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.(a2+1)x2+3x+2=0是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义(只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)是解此题的关键．
2.答案：B
解析：解：∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
∵点O到直线l的距离d=2，
∴d=r
∴l与⊙O的位置关系相切．
故选：B．
根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d>r，直线与圆相离，当d=r，直线与圆相切，当dr，进而l与⊙O的位置关系．
此题主要考查了直线与圆的位置关系，解决问题的关键是判断出圆的半径与圆心到直线的距离，再根据判定方法得出位置关系．
3.答案：C
解析：解：∵a，b是一元二次方程x2+2x-99=0的两个实数根，
∴ab=-99．
故选：C．
根据x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1x2=ca计算即可．
本题考查了根与系数的关系，根据性质正确计算是解题的关键．
4.答案：B
解析：解：A、方程整理得x2-x=0，
则Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×0=1>0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不合题意；
B、x2+1=0，
则Δ=b2-4ac=02-4×1×1=-4<0，方程没有实数根，所以B选项符合题意；
C、x2+2x+1=0，
则Δ=b2-4ac=22-4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项不合题意；
D、x2+2x-1=0，
则Δ=b2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项不合题意．
故选：B．
分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2-4ac<0时，方程无实数根．
5.答案：B
解析：解：∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA，
∵半径OA=2，
∴AB=2，
故选：B．
根据圆周角定理求出∠AOB=2∠ACB=60°，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出即可．
本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理，能根据圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=60°是解此题的关键．
6.答案：C
解析：解：∵点I为三角形的内心，
∴∠CBI=12∠ABC，∠BCI=12∠ACB，
∴∠CBI+∠BCI=12(∠ABC+∠ACB)，
∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∴∠CBI+∠BCI=12(∠ABC+∠ACB)=65°，
∴∠BIC=180°-(∠CBI+∠BCI)=115°．
故选：C．
根据点I为三角形的内心，可得∠CBI+∠BCI=12(∠ABC+∠ACB)，再由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，从而得到∠CBI+∠BCI=12(∠ABC+∠ACB)=65°，再由三角形内角和定理，即可得到∠BIC的度数，进而得到问题选项．
本题主要考查了三角形的内心及性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，难度不大，熟悉三角形基本性质是解答关键．
7.答案：D
解析：解：x2-4x+3=0，
x2-4x=-3，
x2-4x+4=-3+4，
(x-2)2=1，
故选：D．
利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键．
8.答案：B
解析：解：①在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故①不符合题意；
②不共线的三点确定一个圆，故②不符合题意；
③三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确，故③符合题意；
④平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，故④不符合题意；
⑤90°的圆周角所对的弦是直径，正确，⑤符合题意．
∴其中正确的命题个数有2个．
故选：B．
由三角形的外心的性质，确定圆的条件，垂径定理，圆周角定理，等弧的概念，即可判断．
本题考查命题与定理，三角形的外心，确定圆的条件，垂径定理，圆周角定理，圆的认识，关键是掌握以上知识点．
9.答案：C
解析：解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO=12BO，AB//DC，
可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，
则∠BOC=150°，
故BC的度数是150°．
故选：C．
10.答案：B
解析：解：过C作CH⊥AB于H，连接CD，
由勾股定理得：AC2=CH2+AH2=CH2+(AD+DH)2，BC2=CH2+BH2=CH2+(BD-DH)2，
∵AD=BD，
∴AC2=CH2+(BD+DH)2=CH2+DB2+2BD⋅DH+DH2，
∵BC2=CH2+DB2-2BD⋅DH+DH2，
∴AC2+BC2=2CH2+2DB2+2DH2=2(CH2+DH2)+2BD2=2CD2+2BD2，
∵BD=6，
∴当CD最大时，AC2+BC2的值最大，
当CD是圆直径时，CD最大，
∴AC2+BC2的最大值是2×102+2×62=272．
故选：B．
过C作CH⊥AB于H，由勾股定理推出AC2+BC2=2CD2+2BD2，因为BD=6，∴当CD是圆直径时，AC2+BC2的值最大，由圆的半径是5，即可解决问题．
本题考查勾股定理，关键是由勾股定理推出AC2+BC2=2CD2+2BD2．
11.答案：6
解析：解：∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O外，
∴OP>5cm，
∴OP的长度可以是6cm．
故答案为：6.(答案不唯一)
根据d>r时点在圆外解答即可．
本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r； ②点P在圆上⇔d=r； ①点P在圆内⇔d12.答案：2.5
解析：解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长= 32+42=5，
则直角三角形的外接圆的直径为5，
∴其外接圆的半径长是2.5，
故答案为：2.5．
根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
13.答案：3π
解析：解：扇形的弧长=120π×3180=2π，
则圆锥的侧面积=12×2π×3=3π，
故答案为：3π．
根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
14.答案：-2
解析：解：∵方程(m-2)x2-2x+m2-4=0是关于x的一元二次方程，
∴m-2≠0，
解得m≠2，
又∵关于x的一元二次方程(m-2)x2-2x+m2-4=0的一个根为0，
∴m2-4=0，
解得m=-2或m=2(舍去)，
则m的值为-2，
故答案为：-2．
先根据一元二次方程的定义可得m-2≠0，从而可得m≠2，再将x=0代入方程可得一个关于m的一元二次方程，解方程即可得．
本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．
15.答案：103 3
解析：解：由题意画图如下，则△ABC为等边三角形，且内接于⊙O，
∴AB=AC=BC=10cm，∠A=60°．
过点O作OD⊥BC于点D，则BD=CD=12BC=5cm，
连接OB，OC，则OB=OC，
∵OD⊥BC，
∴∠DOB=12∠BOC．
∵∠BOC=2∠A=120°，
∴∠DOB=60°．
在Rt△OBD中，
∵sin∠DOB=DBOB，
∴ 32=5OB．
∴OB=103 3cm．
故答案为：103 3．
依题意画出图形，连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，利用等边三角形的性质和垂径定理得到BD=CD=12BC，∠DOB=12∠BOC=60°，在Rt△OBD中，利用直角三角形的边角关系即可求得OB的长．
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，过点O作OD⊥BC于点D是解题的关键．
16.答案：x1=-1，x2=-3
解析：解：∵1，-3是已知方程x2+2x-3=0的解，
由于另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0与已知方程的形式完全相同
∴2x+3=1或2x+3=-3
解得x1=-1，x2=-3．
故答案为：x1=-1，x2=-3．
把(2x+3)看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以2x+3与已知方程的解也相同．
本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题即可用换元法，也可直接转化．
17.答案：3
解析：解：如图，连接OE，
根据题意可知：
AB⊥CD，AE=AO=EO，
∴∠AOC=90°，∠AOE=60°，
∴∠EOC=30°，
∴EC是该圆内接正12边形的一边，
∴n=12，
∵△COE是顶角为30度的等腰三角形，
作EG⊥OC于点G，
∴EG=12OE=12，
∴正n边形的面积为：12S△COE=12×12OC⋅EG=12×12×1×12=3．
故答案为：3．
连接OE，根据题意可得EC是该圆内接正12边形的一边，得△COE是顶角为30度的等腰三角形，作EG⊥OC于点G，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，进而可得该正n边形的面积．
本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正多边形和圆．
18.答案：a=8或2 17解析：解：因为CD的长度为a，则动点D的运动轨迹为圆形，其圆心为点C，半径为a；
点D的轨迹方程为：x2+(y-8)2=a2，接下来用坐标形式表示；
将式子两边同时除以a2，得：(xa)2+(y-8a)2=1，
因为sin2θ+cs2θ=1，令xa=sinθ，y-8a=csθ，
整理得点D的坐标为：(asinθ,8+acsθ)，其中0≤θ<2π；
因为点Q为BD的中点，则点Q的坐标表示为：
x=3+asinθ2，y=4+acsθ2；
点Q的轨迹方程为：(x-3)2+(y-4)2=(a2)2，是一个圆形，圆心为点(3,4)，半径为a2；
线段AB的方程为：y=0(2≤x≤6)，
令y=0，解得：x=3± a2-644；
若该圆与x轴相切，那么圆的半径为4，a=8，切点为(3,0)；
若该圆与x轴相交，那么：3- a2-644<2，3+ a2-644≤6；解得：2 17综上，a的取值应满足的条件为：a=8，或2 17故答案为：a=8或2 17因为CD的长度为a，则动点D的运动轨迹为圆形，其圆心为点C，半径为a；因为点Q为BD的中点，则点Q的坐标可以表示；将点Q的轨迹方程与线段AB的方程联立，进行求解即可．
本题考查的是坐标与图形性质的有关内容，解题关键在于通过D的轨迹方程，找到Q的轨迹方程，将其与线段AB的方程联立，求公共点．注意：要考虑Q的轨迹圆与x轴存在相切、相交两种情况，不要遗漏．
19.答案：解：(1)(x-2)2=2(x-2)，
(x-2)2-2(x-2)=0，
(x-2)(x-2-2)=0，
x-2=0或x-2-2=0，
解得：x1=2，x2=4；
(2)x2+5x-6=0，
(x+6)(x-1)=0，
x+6=0或x-1=0，
解得：x1=-6，x2=1．
解析：(1)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
(2)先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
20.答案：(1)证明：Δ=(m+2)2-4×2×m=(m-2)2，
无论m取任何实数，(m-2)2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
(2)解：∵方程有两个相等的实数根，
∵Δ=(m-2)2=0，
解得m1=m2=2，
当m=2时，方程为2x2+4x+2=0．
解得x1=x2=-1．
解析：(1)先求出判别式Δ的值，再根据“Δ”的意义证明即可；
(2)根据方程有两个相等的实数根，得Δ=(m-2)2=0，即可求出m的值和方程的根．
本题考查了根的判别式的应用和解一元二次方程，能正确运用性质进行计算是解此题的关键．
21.答案：解：∵∠DCB=30°，
∴∠A=30°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，
∠ABD=90°-30°=60°．
解析：根据同弧所对的圆周角相等，求出∠DCB=∠A=30°，再根据直径所对的圆周角为90°，求出∠ABD的度数．
本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是90°是解题的关键．
22.答案：解：AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切．理由如下：
作PE⊥AB于E，如图，
∵P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，PE⊥AB于E，
∴PE=PD，
∴AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切．
解析：作PE⊥AB于E，如图，先根据角平分线定理得到PE=PD，然后根据切线的判定定理即可得到AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了角平分线定理．
23.答案：(1)解：如图，点D为所作．
(2)证明：连接OD交BC于F，如图，
∵点D为BC的中点，
∴OD⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴AC/​/OD，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
解析：(1)作BC的垂直平分线交⊙O于点D，则点D为BC的中点；
(2)连接OD交BC于F，先利用垂径定理的推论得到OD⊥BC，再根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则AC/​/OD，接着证明DE⊥OD，然后根据切线的性质得到结论．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理、圆周角定理和切线的判定．
24.答案：(1)证明：连接OC，OD，如图所示，

∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
∴∠ACO=∠BDO=90°．
∵AE=BF，
∴AE+OE=BF+OF，即AO=BO，
在Rt△ACO和Rt△BDO中，
∵AO=BOOC=OD，
∴Rt△ACO≌Rt△BDO(HL)．
∴AC=BD；
(2)解：设OE=OC=x，则AO=x+4，
在Rt△ACO中，由勾股定理，得
(x+4)2=x2+82，
解得：x=6．
∴AO=10．
∴AB=20．
解析：(1)连接OC，OD，证明Rt△ACO≌Rt△BDO(HL)即可得出AC=BD；
(2)设OE=OC=x，则AO=x+4，在Rt△ACO中，由勾股定理得出方程，求解方程即可得出答案．
本题主要考查了切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，掌握切线的性质是解题的关键．
25.答案：228
解析：解：(1)240-(12-10)×6=228(元)．
故答案为：228；
(2)设这名顾客买了x双鞋，根据题意可得：
∵240×10=2400(元)，
∴这名顾客买的鞋数超过了10双，
[240-6(x-10)]x=3600，
解得：x1=20，x2=30，
当x=30时，240-6×(30-10)=120<150，故不合题意舍去．
答：这名顾客买了20双鞋．
(1)根据题意直接计算可得；
(2)根据每双运动鞋的单价×双数=3600元列出关于x的方程求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键．
26.答案：(1)证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
又∵∠BEA=∠ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴BE=CF，
∴BE=CF；
(2)解：如图，连接OC，EC，

∵AC=EC，
∴∠ABC=∠AEC，
又∵∠ABC=∠EAC，
∴∠AEC=∠EAC，
∴EC=AC=4，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠AEC=∠EAC=45°，AE= 42+42=4 2，
∴∠AOC=2∠AEC=90°，OC=OA=12AE=2 2，
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=14π×(2 2)2-12×2 2×2 2=2π-4．
解析：(1)由圆周角定理得出∠ABE=90°，得出∠BAE+∠BEA=90°，由AF⊥BC得出∠ACD+∠CAD=90°，由圆周角定理得出∠BEA=∠ACD，即可得出结论；
(2)连接OC，EC，可证明∠AEC=∠EAC，∠ACE=90°，得到EC=AC=4，利用勾股定理可求得OC=OA=2 2，再由分割法可求得阴影部分的面积．
本题考查了圆周角定理、勾股定理及弓形面积计算，熟练掌握圆周角定理及分割法计算弧形面积是解题的关键．
27.答案：-14 -1或3
解析：解：(1)①当m=2时，方程为x2-3x+2=0，
则4ac-b24a=4×1×2-(-3)24×1=-14，
∴该全整根方程的“最值码”是-14，
故答案为：-14；
②4ac-b24a=4×1×m-[-(m+1)]24×1=-m2+2m-14，
由题意得：-m2+2m-14=-1，
整理得：m2-2m-3=0，
解得：m1=-1，m2=3，
则当m=-1或3时，若该全整根方程的“最值码”是-1，
故答案为：-1或3；
(2)∵x2-(2m-3)x+m2-4m-5=0，
∴b2-4ac=[-(2m-3)]2-4×1×(m2-4m-5)=4m+29，
∵4∴45<4m+29<89，
其中完全平方数有49、64和81，
4m+29=49时，m=5，
4m+29=64时，m=354(不合题意)，
4m+29=81时，m=13，
当m=5时，原方程为：x2-7x=0，
则Q(a,b,c)=4ac-b24a=-494，
当m=13时，原方程为：x2-23x+112=0，
则Q(a,b,c)=4ac-b24a=4×1×112-2324×1=-814，
综上所述：该方程的“最值码”为-494或-814；
(3)方程x2+(1-m)x+m+4=0的“最值码”Q(a,b,c)=4×1×(m+4)-(1-m)24×1=-m2+6m+154，
方程x2+(n-1)x-n=0的“最值码”Q(p,q,r)=4×1×(-n)-(n-1)24×1=-n2-2n-14，
由题意得：-m2+6m+154--n2-2n-14=m+4，
整理得：m2-n2-2m-2n=0，
∴(m+n)(m-n)-2(m+n)=0，
∴(m+n)(m-n-2)=0，
∴m+n=0或m-n=2，
∵m，n均为正整数，
∴m+n=0不合题意，
∴m-n=2．
(1)①根据全整根方程的“最值码”的定义计算；
②根据全整根方程的“最值码”的定义列出方程，解方程求出m；
(2)根据“全整根方程”的定义、完全平方数计算；
(3)分别求出两个方程的“全整根方程”的“最值码”，根据题意列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是“全整根方程”、“全整根方程”的“最值码”、“全整根伴侣方程”，正确理解“全整根方程”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键．
28.答案：解：(1)如图1，连接AD、BD，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴∠AED=∠DEB=∠ADB=90°，
∴∠ADE=∠DBE=90°-∠BDE，
∴△AED∽△DEB，
∴AEDE=DEBE，
∵AE=2，BE=8，
∴CE=DE= AE⋅BE= 2×8=4，
∴CD=2CE=8，
∴CD的长是8．
(2)AF的长度不会发生变化，
如图2，连接AC，
∵AD=AC，
∴∠ACD=∠G，
∵AF平分∠DCG，
∴∠FCD=∠FCG，
∴∠ACD+∠FCD=∠G+∠FCG，
∵∠ACF=∠ACD+∠FCD，∠AFC=∠G+∠FCG，
∴∠ACF=∠AFC，
∵∠AEC=90°，AE=2，CE=4，
∴AF=AC= AE2+CE2= 22+42=2 5，
∴AF的长度不会发生变化，AF的值为2 5．
(3)如图3，连接BC，取BC的中点Q，连接HQ、DQ，
∵∠BEC=90°，BE=8，CE=4，
∴BC= BE2+CE2= 82+42=4 5，
∵BH⊥CG于H，
∴∠BHC=90°，
∴QH=QC=QB=12BC=2 5，
连接DB、DQ，作DR⊥BC于点R，则∠CRD=∠QRD=90°，
∵12BC⋅DR=12CD⋅BE=S△BCD，
∴12×4 5DR=12×8×8，
解得DR=16 55，
∴CR= CD2-DR2= 82-(16 55)2=8 55，
∴QR=QC-CR=2 5-8 55=2 55，
∴DQ= QR2+DR2= (2 55)2+(16 55)2=2 13，
∵DH+QH≥DQ，
∴DH+2 5≥2 13，
∴DH≥2 13-2 5，
∴DH的最小值为2 13-2 5．
解析：(1)连接AD、BD，由AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，得∠AED=∠DEB=∠ADB=90°，则∠ADE=∠DBE=90°-∠BDE，可证明△AED∽△DEB，则AEDE=DEBE，而AE=2，BE=8，可求得CE=DE= AE⋅BE=4，则CD=2CE=8；
(2)连接AC，由垂径定理得AD=AC，则∠ACD=∠G，而∠FCD=∠FCG，则∠ACD+∠FCD=∠G+∠FCG，即可证明∠ACF=∠AFC，所以AF=AC= AE2+CE2=2 5，则AF的长度不会发生变化，AF的值为2 5；
(3)连接BC，取BC的中点Q，连接HQ、DQ，可求得BC= BE2+CE2=4 5，则QH=QC=QB=12BC=2 5，连接DB、DQ，作DR⊥BC于点R，由12×4 5DR=12×8×8=S△BCD，求得DR=16 55，则CR= CD2-DR2=8 55，所以QR=QC-CR=2 55，则DQ= QR2+DR2=2 13，则DH+2 5≥2 13，即可求得DH的最小值为2 13-2 5．