宿迁市泗阳县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含答案解析）

这是一份宿迁市泗阳县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含答案解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．下列方程是一元二次方程的是（）
A．B．
C．D．（为常数）
2．已知⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2，则直线m与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
3．设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（）
AB．C．D．
4．下列方程中，没有实数根的是（）
A．B．C．D．
5．如图，点、、都在半径为2的上，，则弦的长为（）
A2B．1C．4D．
6．如图，点为的内心，若为，则的度数为（）
A．B．C．D．
7．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．有下列几个命题：①长度相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤的圆周角所对的弦是直径，其中正确的命题个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
10．如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（）
A．290B．272C．252D．244
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．已知的半径为，点在外，则的长度可以是_____．（写出一个即可）
12．直角三角形的两直角边分别3，4；则它的外接圆半径R=___________．
13．有一个圆心角为，半径为扇形，若将此扇形卷成一个圆锥，则此圆锥的侧面积是_____．
14．若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为______．
15．王华同学在手工制作中，把一个边长为等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为_____．
16．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是_____．
17．如图所示，的半径为，作两条互相垂直的直径，，弦是的内接正四边形的一条边若以为圆心，以为半径画弧，交于点，，连接，，弦是该圆一个内接正多边形的一边，则该正多边形的面积为____________．
18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标为，点为平面上一动点，的长度为，点为的中点，当点运动时，所有这样的点组成的图形与线段有且只有一个公共点，则的取值应满足的条件是_____．
三、解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明．）
19．解方程：
（1）；（2）．
20．关于x的方程．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根．
21．如图，AB是的直径，CD是的弦，如果，求的度数．
22．如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由．
23．如图，是的直径，射线交于点C．
（1）尺规作图：求作的中点D．（保留作图痕迹）
（2）过点D画垂足为E．求证：是的切线．
24．抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵，是国家级的非物质文化遗产之一，可见于全国各地，天津、北京、辽宁、吉林、黑龙江等地尤为盛行．在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳，分别与空竹相切于点，，连接左右两个绳柄，，经过圆心，交于点，，．
（1）求证：．
（2）若，，求两个绳柄之间的距离．
25．某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双元，如果一次购买超过双，那么每多买双，所购买运动鞋的单价降低元，但单价不能低于元．
（1）当小王买这种运动鞋双时，则运动鞋的单价为______元．
（2）如果一位顾客购买这种运动鞋支付了元，这位顾客买了多少双运动鞋？
26．如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
27．阅读下列材料：在苏教版九年级数学上册页中，我们通过探索知道：关于的一元二次方程，如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）关于的一元二次方程是一个“全整根方程”
当时，该全整根方程的“最值码”是__________．
若该全整根方程的“最值码”是，则的值为__________．
（2）关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”．
（3）若关于的一元二次方程是（，均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）．
28．如图1，点直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．
（1）求的长．
（2）如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．
（3）如图，过点作于，连接，求的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．D
【解析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，进行判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义．
【详解】是代数式，不是一元二次方程，不符合题意；
是二元二次方程，不符合题意；
是分式方程，不符合题意；
（为常数）是一元二次方程，符合题意；
故选：．
2．B
【解析】圆心到直线的距离与圆的半径满足则直线是圆的切线，根据原理直接可得答案．
【详解】解：⊙O的直径为4，点O到直线m的距离为2，
的半径点O到直线m的距离
与直线相切，故选：
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握圆心到直线的距离与圆的半径的关系是解题的关键．
3．C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系即可直接得出，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，∴，故选：．
4．B
【解析】逐项解方程或求出根的判别式，根据判别式的符号即可得到结论．
【详解】解：A．∵，
∴，
∴，
∴方程解为，故本选项不合题意；
B．∵，
∴，
∴此方程没有实数根，故本选项符合题意；
C．，
∵，
∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意；
D．，
∵，∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不合题意．故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系．
5．A
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据圆周角定理可得，从而得是等边三角形，进而即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，故选：A．
6．C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内心及性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，根据点为三角形的内心，可得，再由三角形内角和定理可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解，熟悉三角形基本性质是解题的关键．
【详解】∵点为三角形的内心，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
7．D
【解析】
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8．B
【解析】
【分析】此题考查圆的知识，正确理解等弧的定义，确定圆的条件，垂径定理，圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：①在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧，故原命题错误；
②任意不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
③三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故原命题正确；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误；
⑤的圆周角所对的弦是直径，故原命题正确．
综上，正确的有③⑤，共2个，
故选：B．
9．C
【解析】
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
【详解】如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，
故的度数是150°．
10．B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，圆内最长弦是直径，过点C作于点N，连接，根据勾股定理可得，，利用弦最长等于直径即可得出答案．
详解】解：过点C作于点N，连接，
点为的中点，，
，
，
，
，
，
当最大时，最大，
在中，
，
当最大时，最大，
的半径为5，
弦最长等于直径是10，
，
．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵的半径为，点在外，
∴，
∴的长可以是，
故答案为：．
12．2.5
【解析】
【分析】利用勾股定理易得直角三角形的斜边，它外接圆的半径为斜边的一半
【详解】∵直角三角形的两直角边分别为3和4，
∴斜边长=5，
∴它的外接圆半径为5÷2=2.5
故答案为：2.5
【点睛】本题考查了求直角三角形外接圆的半径；用到的知识点为：直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半
13．
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，先求出扇形的弧长，再根据扇形的面积公式计算即可，掌握扇形的面积公式和弧长公式是解题的关键．
【详解】扇形的弧长，
则圆锥的侧面积，
故答案为：．
14．
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：将代入，得，
解得，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
15．##
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆，等边三角形的性质及余弦的定义，延长交于，连接，如图，利用等边三角形的性质得，，再证明垂直平分，所以平分，，从而得到，然后在中利用余弦的定义即可求出，解题的关键是利用等边三角形的性质得到垂直平分．
【详解】解：如图，延长交于，连接，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴垂直平分，即，
∴平分，，
∴，
∵，
，
∴，
在中，，
∴，
∴的半径为，
故答案为：．
16．x1=﹣1，x2=﹣3．
【解析】
【分析】换元法即可求解,见详解.
【详解】令2x+3=t,则方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0化为t2+2t﹣3=0,
解得：t=1或-3,即2x+3=1或2x+3=-3
解得：x1=﹣1，x2=﹣3．
【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键.
17．3
【解析】
【分析】如图所示，连接，作于点，由题意可得三角形是等边三角形，进而可得，可得是该圆内接正十二边形的一边，然后根据该正多边形的面积计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，作于点．
根据题意可知，，，
∴三角形是等边三角形，，
∴，
∴，
是该圆内接正十二边形的一边．
是顶角为的等腰三角形，
．
该正多边形的面积为．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握相关知识是解题的关键．
18．
【解析】
【分析】得，点组成的图形为为半径的圆，进而分类讨论，分别经过点时，求得的值，即可求解．
【详解】解：∵点的坐标是，点的坐标是，点的坐标为
∴，，
依题意，点组成的图形为为半径的圆，当此圆经过点时，
∵,，当点在上时，取得最小值，即取得最小值，如图所示
过点作轴于点，过点作轴于点，
∵是的中点，
∴
∵
∴
∴，
∴
∴
∴
即
∴，
∴
∴，则，
∵
∴
∴
∴
在中，
∴
解得：（负值舍去）
同理可得当在的延长线上时，取得最大值时，如图所示，
则
即的最大值为
综上所述，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，相似三角形的性质与判定，垂径定理，找到最大值与最小值点的位置是解题的关键．
三、解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明．）
19．（1），；（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是解一元二次方程．
（1）移项，提取公因式，利用因式分解即可得到答案；
（2）利用因式分解即可得到答案．
【小问1详解】
解：移项得，
，
因式分解得，
，
∴或，
解得：，，
∴原方程的解是：，；
【小问2详解】
解：
，
∴或，
解得：，
∴原方程的解是：．
20．（1）见解析（2），
【解析】
【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式，即可证得；
(2)首先根据一元二次方程根的判别式，即可求得m的值，再解方程，即可求解．
【小问1详解】
证明：，
∵无论m取何值时，恒大于或等于0，
∴原方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵原方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
将代入原方程得，
得，
解得，
∴原方程的根为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解法是解决本题的关键．
21．
【解析】
【分析】根据圆周角定理“在同圆或等圆中，同弧所或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”得，根据圆周角定理推论“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”得，根据三角形内角和定理即可得．
【详解】解：∵，
∴，
又∵AB是直径，
∴，
则．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，三角形内角和定理，解题的关键是掌握圆周角定理及其推论．
22．相切，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查切线的判定定理，过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，即可推出与相切，熟练掌握切线的判定方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径是解题的关键．
【详解】解：相切，理由如下，
过点P作于点E，
∵点是平分线上一点，
∴，
即为的半径，
∴与相切．
23．（1）图见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，则点D为的中点；
（2）连接连接交于F，先利用垂径定理的推论得到，再根据圆周角定理得到，则，接着证明，然后根据切线的性质得到结论．
【小问1详解】
如图，点D为所作，
【小问2详解】
证明：连接交于F，如图，
∵点D为的中点，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图、垂径定理、圆周角定理和切线的判定，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
24．（1）见解析（2）两个绳柄之间的距离为20
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识．
（1）连接，，证明即可得出；
（2）设，则，在中，由勾股定理得出方程，求解方程即可得出答案．
【小问1详解】
证明：连接，，如图所示，
∵，分别与相切于点C，D，
∴．
∵，
∴，即，
和中，
∵，
∴．
∴；
【小问2详解】
解：设，则，
在中，由勾股定理，得
，
解得：．
∴．
∴．
25．（1）；（2）这位顾客买了双．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，（1）根据题意直接计算可得；（2）根据每双运动鞋的单价双数元列出关于的方程，解方程即可求解；根据题意表示出鞋的单价是解题关键．
【小问1详解】
解：（元），
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴购买运动鞋的双数大于，
设这位顾客买了双，则运动鞋的单价为元/双，
根据题意可得，，
解得，，
当时，运动鞋的单价为，符合题意；
当时，运动鞋的单价为，不符合题意，舍去；
∴，
答：这位顾客买了双．
26．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及弓形面积计算，
()由圆周角定理得出，得出，由得出，由圆周角定理得出，即可得出结论；
()连接，，可证明，，得到，利用勾股定理可求得，再由分割法可求得阴影部分的面积；
熟练掌握圆周角定理及分割法计算弓形面积是解题的关键．
【小问1详解】
证明:∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，连接，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
，
．
27．（1）；或；（2）或；（3）．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，()把代入方程得到方程，根据“最值码”的定义即可求解；根据“最值码”的定义可得方程，解方程可求得的值；（）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“最值码”定义求解即可；（）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：当时，代入得，
，
∴，即，
故答案为：；
由题意得，，
整理得，，
解得，，
故答案为：或；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是“全整根方程”，
∴是完全平方数，
即是完全平方数，
∴或或，
解得或或，
∵为整数，
∴不合，舍去，
∴或，
当时，方程化为
，
∴；
当时，方程化为
，
∴，
∴方程的“最值码”为或；
【小问3详解】
解：方程的“最值码”为
，
方程的“最值码”为
，
∵是的“全整根伴侣方程”，
∴，
即，
整理得，，
∴，
即，
∵，均为正整数，
∴，
∴，
∴．
28．（1）8 （2）的长度不发生变化；（3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据，，确定圆的半径为5，结合，根据垂径定理，得到，得．
（2）连接，根据垂径定理，得到，利用三角形外角性质，圆周角定理，证明即可．
（3）根据题意，点H的运动轨迹是以为直径的上的，当D、H、N三点共线时，取得最小值，计算即可．
【小问1详解】
如图，连接，
∵，，
∴，
∴圆的半径为5，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
的长度不发生变化；．理由如下：
如图，连接，
∵直径，，，弦，，
∴，
∴，
∵的角平分线交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故的长度不发生变化；．
【小问3详解】
如图，连接，
∵，
∴点H的运动轨迹是以为直径的上的，
当D、H、N三点共线时，取得最小值，
连接，交于点M，
故当H与M重合时，取得最小值，
∵，，，
∴，
∴，
过点N作于点F，
则，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
故最小值为．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形外角性质，直角所对的弦是直径，点圆最值，中位线定理，熟练掌握垂径定理，圆的最值性质是解题的关键。