255，江苏省镇江市丹徒区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份255，江苏省镇江市丹徒区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共25页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（本试卷共6页，共26题；全卷满分120分，考试时间100分钟．）
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________．
【答案】x=±2
【解析】
【详解】移项得x2=4，
∴x=±2．
故答案是：x=±2．
2. 已知关于的一元二次方程的一个根为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】把代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
3. 已知的半径为，如果点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是________（选填“圆内”、“圆外”、或“圆上”）．
【答案】圆外
【解析】
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外；点在园内，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
点与的位置关系是点在圆外，
故答案为：圆外．
4. 用配方法解方程，可以将其变形为（为常数）的形式，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方形式，即可得出的值．
【详解】解：，
，
，即，
，
故答案为：．
5. 圆锥的底面半径为4，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：该圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算．掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，是解题的关键．
6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________．
【答案】且
【解析】
【分析】由方程有两个不相等的实数根，则有且，然后求它们的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得，且，
即，
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了一元一次不等式的解法．
7. 如图，扇形的半径为2，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长____________．（结果保留）

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．由等腰三角形的性质求出的度数，由弧长公式即可计算．
【详解】解：由作图知∶垂直平分，
扇形的半径是2，
故答案为∶．
8. 如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝26°，则∠CAB＝____．
【答案】32°##32度
【解析】
【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PCO=90°，则利用互余计算出∠POC=64°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算即可求解．
【详解】解：连接OC，如图
因为PC为切线，
∴ OC⊥PC，
∴∠PCO = 90°
∴∠POC= 90°-∠P= 90°- 26°= 64°
OA= OC，
∴∠A=∠OCA，
而∠POC=∠A +∠OCA，
∠A=°=32°
故答案为：32°
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，一般要连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
9. 镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，则可列方程________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每次降价的百分率为，根据经过两次降价后的价格原价（每次降价的百分率）2，即可得出关于的一元二次方程，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
10. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是__________尺．
【答案】8
【解析】
【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，
∴，
解得：或（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键．
11. 如图，在中，直径与弦交于点，，连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形外角的定义及性质，连接，由切线的性质得出，从而得出，由圆周角定理得出，再求出，得到，最后由三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
是的切线，是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12. 如图，是的内接三角形，，点为线段的中点，连接，则的最大值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，连接，，，，则是等腰直角三角形，得出，由等腰三角形的性质得出，从而得出点在以为直径的圆上运动，以为直径作，连接，，当为的延长线与的交点时，的长取最大值，此时，由勾股定理计算出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，，，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
点为线段的中点，，
，
，
点在以为直径的圆上运动，
以为直径作，连接，，当为的延长线与的交点时，的长取最大值，此时，
，
，
的最大值为，
故答案为：．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）
13. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. 2x﹣3＝xB. 2x+3y＝5C. 2x﹣x2＝1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意；
B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意；
C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意；
D、方程x+＝7是分式方程，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
14. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得．
【详解】解：一元二次方程中的，
则这个方程根的判别式为，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
15. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. 2B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．
【详解】解：是一元二次方程两个根，
，
故选：B．
16. 如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理，由题意得出，，求出长即可得出答案，熟练掌握切线长定理是解此题的关键．
【详解】解：是的切线，切点分别是，
，，
，
，
故选：B．
17. 如图，点、、、为一个正多边形顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A. 5B. 10C. 12D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，
∴，
∴这个正多边形的边数为=10．
故选：B．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
18. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性质，仿照题目中的运算方法，进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
，
四个矩形的长为，宽为，
大正方形的面积可以表示为，中间小正方形的面积为，
，
大正方形的面积还可以表示为，
，
，
综上所述，，
故选：D．
三、解答题（本大题共有8小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），
（2），
（3），
（4），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
或，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
，
，即，
，
解得：，；
【小问3详解】
解：，
，
，
或，
解得：，；
【小问4详解】
解：，
，
，
或，
解得：，．
20. 关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数值时，求方程的两个根．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则Δ=>0，求解即可；
（2）根据（1）确定的k的取值范围，得出k取最大整数值，代入方程，再用公式法求解方程即可．
【小问1详解】
解：由方程可知：
Δ=
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=即：，
∴
∴当时，方程有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：∵，
∴k的最大整数值为0，
把，代入方程可得方程，
解这个方程得，．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：Δ>0，方程有两不相等实数根，Δ=0，方程有两相等实数根，Δ<0，方程没有等实数根，有用公式法求解一元二次方程是解题的关键．
21. 如图，在的内接四边形中，，点在上．
（1） ；
（2）求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案；
（2）连接，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，再由圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：在的内接四边形中，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
．
22. “圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为．
（1）在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键．
（1）在拱门上找任意一点C，连接、，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置；
（2）连接，设点E为的中点，根据垂径定理，构造直角三角形，然后根据勾股定理解答即可；
【小问1详解】
解：如图，点O即为所求，
【小问2详解】
连接，
，
设点E为的中点，
点O为圆心，连接并延长交圆于点D，
点D即为拱门为最高点，
，
，，
，，
在中，
，
点D到地面的距离为．
23. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出2100件；销售定价每上涨1元，销售量就减少30件．
（1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出________件文化衫，销售利润是________元；
（2）若每件文化衫的售价上涨x元（）．
①平均每天售出________件文化衫（用含x的代数式表示）；
②若每天的销售利润恰好为元，且获利不超过，求x的值．
【答案】（1）；
（2）①；②
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用日销售量每件文化衫的售价上涨的钱数，可求出日销售量，再利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，即可求出每天的销售利润；
（2）①利用日销售量每件文化衫的售价上涨的钱数，可用含x的代数式表示出日销售量；②利用每天的销售利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意得：当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出：（件）文化衫，
销售利润是（元）．
故答案为：；；
【小问2详解】
解：①根据题意得：平均每天售出件文化衫．
故答案为：；
②根据题意得：，
整理得：，解得：，
又∵获利不超过，
∴，
∴．
答：x的值为10．
24. 如图，在中，，在上取一点D，以为直径作，与相交于点E，作线段的垂直平分线交于点N，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为1，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）＝
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，再根据线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余可得，最后用平角的定义得到即可证明结论；
（2）如图：连接，利用线段中垂线的性质可得，设，然后利用勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的中垂线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：如图：连接，
∵是的中垂线，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴，即，解得．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、线段的中垂线、直角三角形的边角关系等知识点，掌握切线的判定方法、线段中垂线的性质是正确解答的关键．
25. 我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”．
请解决下列问题：
（1）方程 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”；
（2）求证：关于x的“勾氏方程”必有实数根；
（3）如图2，的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，．若关于x的方程是“勾氏方程”，连接AD，求的度数．
【答案】（1）是 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“勾氏方程”定义即可判断；
（2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题；
（3）如图，连接，，作于E，作的延长线交于F，利用勾股定理求出，在利用全等三角形的判断与性质推导出即可解决问题．
【小问1详解】
解：是 “勾氏方程”，理由如下：
∵中，，
∴，
∴，能构成直角三角形，
∴方程是“勾氏方程”；
【小问2详解】
解：∵关于的方程是“勾氏方程”，
∴构成直角三角形，c是斜边，
∴，
∵，
∴，
∴关于的“勾氏方程”必有实数根．
【小问3详解】
解：连接，，作于E，作的延长线交于F，如下图：

∵关于x的方程是“勾氏方程”，
∴，10构成直角三角形，10是斜边，
∴
∵，，
∴，，
∴，，
∴，即，
又，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等．
26. 如图1，在矩形中，边长，其中分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为t秒．
（1） ；
（2）如图2，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，t为 ，此时，的值为 ；
（3）如图3，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于Q，当半圆O与的边有两个交点时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）5 （2），
（3）或
【解析】
【分析】（1）先解一元二次方程，得到根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解；
（2）由折叠的性质得到，即，，当点O在运动过程中，的长度和的长度是固定不变的，由此可以得到当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，再根据正弦的定义即可求解，此时，过点P作垂足为点，证明，利用相似三角形的性质求出，再利用勾股定理即可求的值；
（3）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到t的取值范围．
【小问1详解】
解：，即，
解得：，
边长，其中分别是方程的两个根，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
故答案为：5；
【小问2详解】
解：由折叠的性质得：，
，，
点O在运动过程中，
的长度和的长度是固定不变的，如图，
，
当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，
如图，过点P作垂足为点，
此时，，
由（1）知，
，
，，
，
此时，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：如图1，当半圆O与相切时，此时半圆O与边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接，

，，
，
，
此时，，
如图2，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点，
此时，为半圆O的直径，
，
，
当时，半圆O与有2个交点，
即半圆O与的边有2个交点；
如图3，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点，
如图4，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O相切点为M，连接，
，
，
当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点，
即半圆O与的边有2个交点；
如图5，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点；连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图6，当点O与点B重合时，此时点O停止运动，
，
，
当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点，
即半圆O与的边有2个交点；
综上，半圆O与的边有两个交点时，或．
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论．