专题14 图形初步的核心知识点精讲（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点全预测（全国通用）

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1.了解线段、射线、直线的区别与联系．掌握它们的表示方法．
2. 掌握“两点确定一条直线”的性质，了解“两条直线相交只有一个交点”．
3. 理解线段的和与差的概念，会比较线段的大小，理解“两点之间线段最短”的性质．
4. 理解线段的中点和两点间距离的概念．
5. 会用尺规作图作一条线段等于已知线段．
6. 理解角的概念，理解平角、直角、周角、锐角、钝角的概念．
7. 掌握度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分．
8. 掌握角的平分线的概念，会画角的平分线．
9. 会解决有关余角、补角的计算问题；会用“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”进行推理．
10. 灵活运用对顶角和垂线的性质；
11. 掌握并灵活运用平行线的性质和判定进行有关的推理和计算；
12. 理解和识别方向角
考点1：直线、射线与线段的概念

注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。
考点2 ：基本事实
1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
考点3： 基本概念
1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
考点4：双中点模型
C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
考点5：角及其平分线
1.度量角的大小：可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。
2，余角：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°.
3.补角：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°.
性质：同角(等角)的余角相等．同角（等角）的补角相等．
4. 角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
5.角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
考点6：相交线
1.对顶角：如图1所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
2.邻补角：如图2所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。

图1 图2
3.三线八角
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
（1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
（2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。
（3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。

4．垂线的性质
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
5.垂直平分线的性质
（1）定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（2）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
考点7：平行线
1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
2.平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。
3.平行线的判定：
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）同旁内角互补，两直线平行。
4.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理
考点8：命题
【题型1 线与角概念和基本性质】
【典例1】（2023•临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（ ）
A．50°B．80°C．130°D．150°
【答案】C
【解答】解：根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．
故选：C．
1.（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【解答】解：根据题意可得，
从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．
故选：B．
2．（2021•包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1B．3C．1或3D．2或3
【答案】C
【解答】解：根据题意分两种情况，
①如图1，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝2，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝＝；
②如图2，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB+BC＝6，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝＝×6＝3．
∴线段AD的长为1或3．
故选：C．
【题型2：平行线的性质和判定】
【典例2】（2023•大连）如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝20°，则∠E的度数为（ ）
A．20°B．25°C．35°D．45°
【答案】B
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DFE，
∵∠A＝45°，
∴∠DFE＝45°，
∵∠DFE是△CEF的一个外角，
∴∠DFE＝∠C+∠E，
∵∠C＝20°，
∴45°＝20°+∠E，
∴∠E＝25°，
故选：B．
1．（2023•深圳）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝（ ）
A．70°B．65°C．60°D．50°
【答案】A
【解答】解：∵DE∥AB，∠ABD＝50°，
∴∠D＝∠ABD＝50°，
∵∠DEF＝120°，且∠DEF是△DCE的外角，
∴∠DCE＝∠DEF﹣∠D＝70°，
∴∠ACB＝∠DCE＝70°．
故选：A．
2．（2023•达州）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（ ）
A．52°B．50°C．45°D．25°
【答案】B
【解答】解：∵AE∥CD，∠2＝35°，
∴∠1＝∠2＝35°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠1＝70°，
∵∠D＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠D﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
故选：B．
3．（2023•陕西）如图，直线l1∥l2，点A在l2上，AB⊥l3，垂足为B．若∠1＝138°，则∠2的度数为（ ）
A．32°B．38°C．42°D．48°
【答案】D
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠3＝∠1＝138°，
∵AB⊥l3，
∴∠ABC＝90°，
∵∠3＝∠2+∠ABC，
∴∠2＝48°．
故选：D．
【题型3：度、分、秒的计算】
【典例3】（2021•兴安盟）74°19′30″＝ 74.325 °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：30×（）′＝0.5′，
19′+0.5′＝19.5′，
19.5×（）°＝0.325°，
74°+0.325°＝74.325°，
故答案为：74.325．
1．（2020•通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是 126°42′32″ ．
【答案】126°42′32″．
【解答】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝53°17′28″，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣53°17′28″＝126°42′32″，
故答案为：126°42′32″．
【题型4：三角板放置产生的角度计算】
【典例4】（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【答案】D
【解答】解：延长AB交直线n于点D，
∵m∥n，∠1＝50°，
∴∠1＝∠BDC＝50°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，
故选：D．
1．（2023•济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．45°
【答案】A
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝70°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
故选：A．
2．（2023•盐城）小华将一副三角板（∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
【答案】C
【解答】解：设AB与DF交于点O，
由题意得，∠F＝45°，∠A＝60°，
∵AB∥EF，
∴∠AOF＝∠F＝45°，
∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠AOF＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故选：C．
3．（2023•襄阳）将含有45°角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2度数（ ）
A．30°B．20°C．15°D．10°
【答案】C
【解答】解：如图所示：
依题意得：AB∥CD，∠EFH＝45°，
∴∠1＝∠EFG，
又∵∠1＝30°，
∴∠EFG＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠EFH﹣∠EFG＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．
【题型5：命题】
【典例5】（2023•达州）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
【答案】C
【解答】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、在△ABC中，当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，△ABC不是直角三角形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
1．（2023•内蒙古）下列命题正确的是（ ）
A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
B．3.14精确到十分位
C．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3）
D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，则甲成绩比乙的稳定
【答案】C
【解答】解：A、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，故本选项命题错误，不符合题意；
B、3.14精确到百分位，故本选项命题错误，不符合题意；
C、点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3），命题正确，符合题意；
D、甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，则乙成绩比甲的稳定，故本选项命题错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2023•无锡）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解答】解：（1）各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题；
（2）正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；
（3）正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；
（4）根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题．
故选：C．
3．（2023•岳阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．菱形的四条边相等
C．正五边形是中心对称图形
D．单项式5ab2的次数是4
【答案】B
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、菱形的四条边相等，正确，是真命题，符合题意；
C、正五边形不是中心对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、单项式5ab2的次数是3，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
一．选择题（共13小题）
1．下列四个图形中，经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：棱柱的两个底面展开后在侧面展开图相对的两边上，所以A、D选项错误；
当底面为三角形时，则棱柱有三个侧面，所以B选项错误，C选项正确．
故选：C．
2．下列图形中，∠1和∠2互为余角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：根据余角的定义，两角之和为90°，这两个角互余．
D中∠1和∠2之和为90°，互为余角．
故选：D．
3．下列叙述正确的是（ ）
A．线段AB可表示为线段BA
B．射线CD可表示为射线DC
C．直线可以比较长短
D．射线可以比较长短
【答案】A
【解答】解：A．线段AB可表示为线段BA，故说法正确，符合题意；
B．射线CD不可表示为射线DC，故说法错误，不合题意；
C．直线不可以比较长短，故说法错误，不合题意；
D．射线不可以比较长短，故说法错误，不合题意；
故选：A．
4．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若AP＝PB，则这条绳子的原长为（ ）
A．100cmB．150cm
C．100cm或150cmD．120cm或150cm
【答案】C
【解答】解：当PB的2倍最长时，得
PB＝30cm，
AP＝PB＝20cm，
AB＝AP+PB＝50cm，
这条绳子的原长为2AB＝100cm；
当AP的2倍最长时，得
AP＝30cm，AP＝PB，
PB＝AP＝45cm，
AB＝AP+PB＝75cm，
这条绳子的原长为2AB＝150cm．
故选：C．
5．如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（ ）
A．圆B．长方形C．三角形D．梯形
【答案】B
【解答】解：由水平面与圆柱的底面垂直，得水面的形状是长方形．
故选：B．
6．如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠AOB＝90°，则OB的方向角是（ ）
A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°
【答案】B
【解答】解：如图所示：∵OA是北偏东30°方向的一条射线，∠AOB＝90°，
∴∠1＝90°﹣30°＝60°，
∴OB的方向角是北偏西60°．
故选：B．
7．如图，AB⊥AC，AD⊥BC垂足分别为A，D，图中互余的角共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC于D，
∴∠B+∠C＝90°，
∠B+∠BAD＝90°，
∠BAD+∠CAD＝90°，
∠CAD+∠C＝90°，
则互余的角共有4个．
故选：C．
8．如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ）
A．平行线间的距离相等B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短D．两点确定一条直线
【答案】B
【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：B．
9．如图，直线a，b相交于点O，射线c⊥a，垂足为点O，若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．50°B．120°C．130°D．140°
【答案】C
【解答】解：∵c⊥a，
∴∠AOB＝90°，
∵∠1＝40°，
∴∠AOC＝90°+40°＝130°，
∵∠2＝∠AOC，
∴∠2＝130°．
故选：C．
10．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝60°，则∠2的度数是（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【答案】D
【解答】解：在△DEF中，∠1＝60°，∠DEF＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠DEF﹣∠1＝30°．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠D＝30°．
故选：D．
11．下列作图能表示点A到BC的距离的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：A、BD表示点B到AC的距离，故此选项错误；
B、AD表示点A到BC的距离，故此选项正确；
C、AD表示点D到AB的距离，故此选项错误；
D、CD表示点C到AB的距离，故此选项错误；
故选：B．
12．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠A＝∠3B．∠A+∠2＝180°
C．∠1＝∠4D．∠1＝∠A
【答案】D
【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．
C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．
D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．
故选：D．
13．将一把直尺和一块含有30°的直角三角板按如图所示的位置摆放，若∠1＝33°，则∠2为（ ）
A．63°B．107°C．117°D．120°
【答案】C
【解答】解：∵EF∥GH，
∴∠1＝∠DAB，
∵∠1＝33°，
∴∠DAB＝33°，
∵∠C＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠C+∠DAB）＝117°，
∴∠2＝∠ADC＝117°，
故选C．
二．填空题（共4小题）
14．把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，则∠MCN＝ 127.5° ．
【答案】127.5°．
【解答】解：∵CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，∠ACB＝45°，∠DCE＝60°，
∴∠MCB＝＝22.5°，∠DCN＝DCE＝30°，
∴∠MCN＝180°﹣∠MCB﹣∠DCN＝180°﹣22.5°﹣30°＝127.5°．
故答案为：127.5°
15．如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“等”字一面相对的面上的字是 我 ．
【答案】我．
【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可得，和“等”字一面相对的面上的字是“我”，
故答案为：我．
16．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若∠AOC＝115°，则∠BOD＝ 65° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠AOC＝115°，
∴∠BOD＝∠COD+∠AOB﹣∠AOC＝90°+90°﹣115°＝65°．
故答案为：65°．
17．如图，m∥n，AB⊥m，∠1＝43˚，则∠2＝ 133 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过B作直线BD∥n，则BD∥m∥n，
∵AB⊥m，∠1＝43˚，
∴∠ABD＝90°，∠DBC＝∠1＝43°
∴∠2＝∠ADB+∠1＝90°+43°＝133°．
故填133．
三．解答题（共3小题）
18．如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点．
（1）若AB＝16cm，CD＝6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；
（2）如果AB＝m，CD＝n，用含m，n的式子表示MN的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝16cm，CD＝6cm，
∴AC+BD＝AB﹣CD＝10cm，
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝AB﹣（AC+BD）＝16﹣5＝11（cm）；
（2）∵AB＝m，CD＝n，
∴AC+BD＝AB﹣CD＝m﹣n，
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝AB﹣（AC+BD）＝m﹣（m﹣n）＝．
19．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，
∴∠3＝25°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝25°．
20．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．
（1）求证：EF∥AD；
（2）求证：∠BAC+∠AGD＝180°．
【答案】（1）证明见解答过程；（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（垂直的定义），
∴∠EFB＝∠ADB（等量代换），
∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）；
（2）∵EF∥AD，
∴∠1＝∠BAD（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠BAD（等量代换），
∴DG∥BA（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
一．选择题（共10小题）
1．将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠CBD等于（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【解答】解：由题意可知：∠ABE＝∠EBA'，∠A'BD＝∠DBC，
∵∠ABE＝20°，
∴∠CBD＝∠A'BC＝（180°﹣∠ABA'）＝×（180°﹣2∠ABE）＝×（180°﹣2×20°）＝70°，
故选：C．
2．如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是（ ）
A．④B．③C．②D．①
【答案】A
【解答】解：由题意知，剪掉小正方形①或②或③阴影部分能折叠成一个正方体，剪掉小正方形④阴影部分不能折叠成一个正方体，
故选：A．
3．如图①所示的是一个正方体的表面展开图，将对应的正方体从如图②所示的位置依次翻过第1格、第2格，到第3格时正方体朝上的一面上的字是（ ）
A．世B．真C．精D．彩
【答案】B
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“世”与“彩”相对，
“界”与“真”相对，
“杯”与“精”相对，
翻过第1格时，“世”在下面，“界”在右面，“杯”在前面，
翻过第2格时，“世”在后面，“界”在右面，“杯”在下面，
翻过第3格时，“界”在下面，因此“真”在上面，
故选：B．
4．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，李约瑟称它是“东方最古老的消遣品之一”，图1是边长为4的大正方形，图2是王林同学将其分割制作的七巧板摆拼而成的“奔跑者”图，则图2中阴影部分的面积为（ ）
A．4B．4+C．6D．4+
【答案】C
【解答】解：将图1都分割成最小的三角形，发现一共可以分成16个．
又图2中的阴影部分可以分割成6个这样的小三角形，
所以阴影部分的面积占正方形面积的＝．
又正方形的边长为4，则面积为16．
所以阴影部分的面积为：．
故选：C．
5．将如图所示的圆锥的侧面展开，则点A和点B在展开图中的相对位置正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：点B在圆锥的母线上，将圆锥侧面展开后，点B应在扇形的半径上，且A，B间距离为扇面的一半，
故选：C．
6．如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是（ ）立方分米．
A．105πB．54πC．36πD．18π
【答案】B
【解答】解：∵近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米，
∴圆柱体的半径为：36÷2÷6＝3（分米），
∴圆柱的体积为：π×32×6＝54π（立方分米），
故选：B．
7．将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝25°，则∠3的度数为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
【答案】B
【解答】解：如图，
由题意可知a∥b，
∴∠2＝∠4．
∵∠2＝∠1+30°＝25°+30°＝55°，
∴∠4＝55°．
又∵∠3+∠4＝180°
∴∠3＝180°﹣∠4＝125°．
故选：B．
8．如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
【答案】B
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF；
∴∠B＝∠BCF，∠FCD+∠D＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠D+∠B＝180°﹣130°+20°＝70°．
故选：B．
9．如图，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，给出下列结论：①；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵AB//CD，
∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣α，
∴∠ABO＝∠BOD＝α，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴，
∴，
即OF平分∠BOD，
∵OP⊥CD，
∴∠POC＝90°，
∴，
∴∠POE＝∠BOF∠POB＝90°﹣∠BOD＝90°﹣α，，
所以④错误；
故答案为：C．
10．如图，将木条a、b和c用螺丝钉在一起，且∠1＝70°，∠2＝50°，若木条b、c位置不动，将木条a绕固定点顺时针旋转，使得a∥b，则旋转的角度可以是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．50°
【答案】B
【解答】解：根据题意，当木条a绕固定点顺时针旋转，使得a∥b时，∠1′＝∠2，
∵未旋转前，∠1＝70°，∠2＝50°，
∴旋转后，∠1′＝∠2＝50°，即木条a绕固定点顺时针旋转，使得a∥b，则旋转的角度可以是∠1﹣∠1′＝70°﹣50°＝20°，
故选：B．
二．填空题（共1小题）
11．如图，将边长为2cm的正方形纸片沿AE，AF，EF折叠，折成一个三棱锥A﹣CEF，则折痕EF的长度为 cm．
【答案】．
【解答】解：根据折叠知CF＝DF＝1cm，BE＝CE＝1cm，
在Rt△EFC中，EF2＝CF2+CE2，
即EF2＝12+12＝2，
∴EF＝（舍去负值），
故答案为：．
三．解答题（共1小题）
12．如图，已知AB∥CD，连接BC．点E，F是直线AB上不重合的两点，G是CD上一点，连接ED交BC于点N，连接FG交BC于点M．若∠ENC+∠CMG＝180°．
（1）求证：∠2＝∠3；
（2）若∠A＝∠1+60°，∠ACB＝50°，求∠B的度数．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）35°．
【解答】（1）证明：∵∠CMG＝∠FMN，
又∵∠ENC+∠CMG＝180°，
∴∠ENC+∠FMN＝180°，
∵ED∥FG，
∴∠2＝∠D（两直线平行，同位角相等），
又∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝∠D（两直线平行，内错角相等），
∴∠2＝∠3 （等量代换）；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
又∵∠A＝∠1+60°且∠ACB＝50°，
∴∠1+60°+∠1+50°＝180°，
∴∠1＝35°，
∴∠B＝∠1＝35°．
1．（2023•绵阳）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝122°，∠2的度数为（ ）
A．32°B．58°C．68°D．78°
【答案】B
【解答】解：∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．
∵水中的两条光线平行，
∴∠2＝∠3＝58°．
故选：B．
2．（2023•湖北）如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
【答案】C
【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，
∴∠ABC＝∠1＝55°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝35°．
故选：C．
3．（2023•山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥OF，
∴∠1+∠OFB＝180°，
∵∠1＝155°，
∴∠OFB＝25°，
∵∠POF＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．
故选：C．
4．（2023•重庆）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠1＝180°，
∵∠1＝55°，
∴∠BAC＝125°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝35°，
故选：A．
5.（2023•内蒙古）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥FC，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
又∵∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC，
∴∠CBD＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
6．（2023•广西）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是（ ）
A．160°B．150°C．140°D．130°
【答案】D
【解答】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，
∴AC∥BD，
∴∠B＝∠A＝130°．
故选：D．
7．（2023•枣庄）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为（ ）
A．14°B．16°C．24°D．26°
【答案】B
【解答】解：如图，
∵太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，
∴∠BCD＝360°÷6＝60°，EF∥BD，∠ABC＝120°，
∴∠BDC＝∠1＝44°，
∵∠3是△BCD的外角，
∴∠3＝∠BDC+∠BCD＝104°，
∴∠2＝∠ABC﹣∠3＝16°．
故选：B．
8．（2023•江西）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【答案】C
【解答】解：∵∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°，
∵PD⊥CD，
∴∠ODB＝90°，
∴∠OBD＝180°﹣90°﹣35°＝55°．
故选：C．
9．（2022•上海）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【解答】解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，
B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
10．（2023•宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．110°B．70°C．40°D．30°
【答案】C
【解答】解：如图，由题意得，∠4＝30°，b∥c，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵∠3＝∠4+∠5＝70°，
∴∠5＝40°，
∴∠2＝∠5＝40°，
故选：C．
11.（2023•金昌）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（ ）
A．60°B．70°C．80°D．85°
【答案】B
【解答】解：如图，
∵BM⊥CD，
∴∠CBM＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∵∠ABE＝∠FBM，
∴∠ABE＝∠FBM＝20°，
∴∠EBC＝20°+50°＝70°．
故选：B．
12．（2023•德阳）如图，直线AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点M，N，∠BMN的平分线MF交CD于点F，∠MNF＝40°，则∠DFM＝（ ）
A．70°B．110°C．120°D．140°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BMN+∠MNF＝180°，∠BMF+∠DFM＝180°，
∵∠MNF＝40°，
∴∠BMN＝140°，
∵MF平分∠BMN，
∴∠BMF＝70°，
∴∠DFM＝110°．
故选：B．
13.（2022•桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ 4 cm．
【答案】4．
【解答】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，
故答案为：4．
14．（2023•通辽）将一副三角尺如图所示放置，其中AB∥DE，则∠CDF＝ 105 度．
【答案】105．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠BDE＝∠B＝30°．
∴∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠BDE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故答案为：105．
内容
定义
能判断一件事情的语句，叫做命题。
组成
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项
表达形式
通常可以写成“如果,那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
分类
题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题
题设成立，结论不成立，这样的命题叫做假命题。