2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区教育科学研究院附属实验学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区教育科学研究院附属实验学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数的解析式中，一定为二次函数的是( )
A. y=x+12−x2B. S=−3t2+t+2
C. y= x2−1D. y=ax2+bx+c
2.抛物线y=2(x−1)2+2的顶点坐标是
( )
A. (−1,−2)B. (−1,2)C. (1,−2)D. (1,2)
3.下表是一组二次函数y=x2+3x−5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2+3x−5=0的一个近似根是
( )
A. 1B. 1.1C. 1.2D. 1.3
4.已知函数y=3x2−6x+k(k为常数)的图象经过点A0.8,y1，B1.1,y2，C( 2,y3)，则有
．( )
A. y1y2>y3C. y3>y1>y2D. y1>y3>y2
5.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为
( )
A. B.
C. D.
6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是
( )
A. m≥−2B. m≥5C. m≥0D. m>4
7.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=−112x2+23x+53，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A. 6mB. 12mC. 8mD. 10m
8.如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A−3,y1，B1,y2两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是
( )
A. x≤−3或x≥1B. x≤−1或x≥3C. −3≤x≤1D. −1≤x≤3
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9.若函数y=(a+2)xa2−2是关于x的二次函数，则a的值为 ．
10.抛物线y=x2−2在x轴上截得的线段长度是 ．
11.将抛物线y=x2−2x−3向左平移2个单位，向上平移1个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．
12.已知函数y=−x2+2x+1，当−1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是 ．
13.已知抛物线y=x2−8x+c的顶点在x轴上，则c= ．
14.如图4所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为y=x2−4x+5表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，则左面钢缆的表达式为 ．
15.关于x的一元二次方程x2+a+4x+3a+3=0有一个大于−2的非正数根，那么实数a的取值范围是 ．
16.已知抛物线y=x2+bx+c过A−1,0，Bm,0两点．若20；②c<0；③点Mx1,y1，Nx2,y2在抛物线上，若x1y2；④关于x的一元二次方程x2+bx+c+2=0必有两个不相等的实数根．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−4x−5=0
(2)3x2−10x+6=0
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．

(1)求顶点D的坐标；
(2)求▵ABC的面积．
19.(本小题8分)
已知直线y=x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x=−2．
(1)抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为_ _；
(2)试确定抛物线的解析式；
(3)在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象(请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗)，观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围_ ．
20.(本小题8分)
已知二次函数y=x2−2mx+m2+3(m是常数)
(1)求证，不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图像沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？
21.(本小题8分)
某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件，假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系．
(1)试求y与x之间的函数关系式；
(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
22.(本小题8分)
若两个二次函数图像的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2−4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+2m2+5，其中y1的图像经过点A1,1，y3=y1+y2，若y3与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
23.(本小题8分)
一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2)，
(1)求抛物线的解析式．求支柱EF的长度．
(2)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．
24.(本小题8分)
已知，如图，抛物线y=ax2−2ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为(−1,0)，OC=3OA
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值；
(3)若抛物线上有一点M，使∠ACM=45°，求M点坐标．
25.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，E是AB上一点，BE=2，F是BC上的动点，连接EF，H是CF上一点且HFCF=k(k为常数，k≠0)，分别过点F，H作EF，BC的垂线，交点为G.设BF的长为x，GH的长为y．

(1)若x=4，y=6，则k的值是________．
(2)若k=1时，求y的最大值．
(3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G，求此时k的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解．熟练掌握其定义：“一般地，形如y=ax2+bx+c(a≠0，其中a、b、c为常数)的函数是二次函数”是解题的关键．
【详解】解：A、y=x+12−x2=2x+1，则不是二次函数，故不符合题意；
B、S=−3t2+t+2是二次函数，故符合题意；
C、根据二次函数的定义：y= x2−1不是二次函数，故不符合题意；
D、当a=0时，原函数为：y=bx+c，则不是二次函数，故不符合题意，
故选B．
2.【答案】D
【解析】【分析】根据抛物线的顶点式解答即可．
【详解】解：抛物线y=2(x−1)2+2的顶点坐标是(1,2)．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的性质，属于基础题型，熟知抛物线的顶点式是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】【详解】解：观察表格得：方程x2+3x−5=0的一个近似根为1.2，
故选：C
【点睛】考点：图象法求一元二次方程的近似根．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向上，由于A(0.8,y1)在对称轴的左侧，根据二次函数图象的对称性可知，对称点为(1.2,y1)，在y轴的右边y随x的增大而增大，可判断y2【详解】解：∵函数y=3x2−6x+k(k为常数)，
∴对称轴为x=1，图象开口向上，
∴A(0.8,y1)在对称轴的左侧，根据二次函数图象的对称性可知，对称点为(1.2,y1)，在y轴的右边y随x的增大而增大，
因为1.1<1.2< 2，于是y2故选C．
【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象的性质．
5.【答案】A
【解析】【分析】先由二次函数y=ax2+bx图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，a>0，x=−b2a>0，得b<0，由直线可知，a>0，b<0，正确；
B、由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，错误；
C、由抛物线可知，a<0，x=−b2a>0，得b>0，由直线可知，a<0，b<0，错误；
D、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a>0，错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据题意，利用图象直接得出m的取值范围即可．
【详解】解：一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，可以理解为y=ax2+bx+c和y=m有交点，
由图可得m≥−2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了利用图象观察方程的解，正确利用数形结合是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x的正数值．
【详解】
解：把y=0代入y=−112x2+23x+53得：
0=−112x2+23x+53，
解之得：x1=10,x2=−2．
又x>0，解得x=10．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】根据抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A−3,y1，B1,y2两点，可得直线y=−kx+m与抛物线y=ax2+c交于点A13,y1，B1−1,y2两点，根据图像即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A−3,y1，B1,y2两点，
∴y=−kx+m与抛物线y=ax2+c交于点A13,y1，B1−1,y2两点，
图像如图所示，
由图像可知，
当−1≤x≤3时，ax2+c≥−kx+m，
∴ax2+kx+c≥m的解集是−1≤x≤3，
故选D．
【点睛】本题考查利用函数图像解一元二次不等式及根据对称性求交点，解题关键是找到y=−kx+m与抛物线y=ax2+c交于点．
9.【答案】2
【解析】【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)，可得a2−2=2且a+2≠0，然后进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题意得：a2−2=2且a+2≠0，
解得：a=−2或a=2且a≠−2，
∴a=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
10.【答案】2 2
【解析】【分析】要求二次函数在x轴上截得线段的长度，先将二次函数与x轴的两个交点横坐标分别求出，再计算截得线段长度即可．
【详解】解：当y=0，x2−2=0
解得：x1=− 2,x2= 2
∴所以截得线段长度为 2−− 2=2 2，
故答案为：2 2．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】y=x+12−3
【解析】【分析】先将原函数化为：y=(x−1)2−4，再根据二次函数图象平移的规律即可求解．
【详解】解：原函数化为：y=(x−1)2−4，
则将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位后，得：y=x+12−3，
故答案为：y=x+12−3．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键．
12.【答案】a≥1
【解析】【分析】结合函数y=−x2+2x+1的图象和性质，及已知中当−1≤x≤a时函数的最大值是2，可得实数a的取值范围．
【详解】解：函数y=−(x−1)2+2的图象是开口向下，且以x=1为对称轴的抛物线，
当且仅当x=1时，函数取最大值2，
∵函数y=−x2+2x+1，当−1≤x≤a时，函数的最大值是2，
∴a≥1，
故答案为a≥1．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
13.【答案】16
【解析】【分析】顶点在x轴上，所以顶点的纵坐标是0.据此作答．
【详解】根据题意，该抛物线与x轴只有一个交点，得Δ=64−4c=0，
解得c=16．
【点睛】待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
14.【答案】y=x2+4x+5
【解析】【分析】由于两个函数图象都交于y轴上的同一点，则c的值相等；两条抛物线的形状及开口方向相同，则a值相等；由于两条抛物线关于y轴对称，则两个函数的b值互为相反数，由此即可得到答案．
【详解】解：把y=x2−4x+5中的一次项系数−4变成相反数得到y=x2+4x+5，
故答案为：y=x2+4x+5．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的两条抛物线的特征，熟练掌握关于y轴对称的两条抛物线的二次项系数、常数项不变，一次项系数互为相反数，是解此题的关键．
15.【答案】−1≤a<1
【解析】【分析】先计算Δ≥0，再利用因式分解法解方程得x1=−3，x2=−a−1，再根据题意得到−2<−a−1≤0，然后解不等式组即可．
【详解】解：根据题意，Δ=a+42−43a+3=a−22≥0，
解方程x2+a+4x+3a+3=x+3x+a+1=0得x1=−3，x2=−a−1，
∵该方程有一个大于−2的非正数根，−3<−2，
∴−2<−a−1≤0，解得−1≤a<1，
故答案为：−1≤a<1．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程、解一元一次不等式组，理解一元二次方程的解，正确得到关于a的不等式组是解答的关键．
16.【答案】②③④
【解析】【分析】根据抛物线y=x2+bx+c过A−1,0，Bm,0两点，可得抛物线的对称轴为直线x=−b2=−1+m2，再由2y2，故③正确；然后根据−b2=−1+m2，b=c+1，可得b=1−m,c=−m，再利用一元二次方程根的判别式，可得关于x的一元二次方程x2+bx+c+2=0必有两个不相等的实数根，故④正确．
【详解】解∶∵抛物线y=x2+bx+c过A−1,0，Bm,0两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2=−1+m2，
∵2∴−1+m>1，
∴b<0，故①错误；
∵抛物线y=x2+bx+c过A−1,0，
∴1−b+c=0，
∴b=c+1<0，
∴c<0，故②正确；
∵2∴1<−1+m<2，
∴12<−1+m2<1，
即抛物线的对称轴位于直线x=12和x=1之间，
若点Mx1,y1，Nx2,y2都在对称轴左侧，
∵开口向上，
∴在对称轴左侧，y随着x的增大而减小，
∵x1∴y1>y2，
若点Mx1,y1在对称轴左侧，Nx2,y2在对称轴右侧，
∵x1∴点Mx1,y1距离对称轴更远，
∵抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，
∴y1>y2，故③正确；
∵−b2=−1+m2，b=c+1，
∴b=1−m,c=−m，
∵x2+bx+c+2=0，
∴Δ=b2−4c+2=1−m2−4−m+2=m+12−8
∵2∴9∴1即Δ>0，
关于x的一元二次方程x2+bx+c+2=0必有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：②③④
【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】(1)x2−4x−5=0
x−5x+1=0
x−5=0或x+1=0
∴x1=5,x2=−1；
(2)3x2−10x+6=0，
a=3，b=−10，c=6，
△=(−10)2−4×3×6=28>0，
x=−b± b2−4ac2a=10±2 72×3=5± 73，
∴x1=5− 73，x2=5+ 73；

【解析】【分析】(1)利用因式分解法解方程；
(2)先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法及公式法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和解分式方程．
18.【答案】(1)解：∵y=x2−2x−3=x−12−4，
∴抛物线的顶点D坐标为1,−4；
(2)令x=0，则y=−3，
∴C0,−3，
令y=0，则x2−2x−3=0，
∴x−3x+1=0，
解得：x1=3，x2=−1，
∴A−1,0，B3,0，
∴S▵ABC=12AB⋅OC=12×3+1×3=6；

【解析】【分析】(1)先把抛物线化为顶点式，再根据顶点式可得顶点坐标；
(2)先求解A，B，C的坐标，再求解三角形的面积即可．
【点睛】本题考查的是把抛物线化为顶点式，抛物线与纵坐标的交点坐标，坐标与图形面积，掌握以上基础知识是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)∵直线y=x+3分别交x轴和y轴于点A和B，
∴点A(−3,0)，点B(0,3)，
∵抛物线的对称轴为直线x=−2.抛物线与x轴的另一个交点为C，
∴点C(−1,0)，
故答案为(−1,0)；
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0)，B(0,3)，点C(−1,0)，
∴c=30=9a−3b+c0=a−b+c，解得：a=1b=4c=3,
∴二次函数的解析式为：y=x2+4x+3；
(3)如图所示：
当−3故答案为：−3
【解析】【分析】(1)先求出点B，点A坐标，由对称性可求点C坐标；
(2)利用待定系数法可求解析式；
(3)由图象可求解．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求解析式，求出抛物线的解析式是本题的关键．
20.【答案】(1)解：当y=0时，x2−2mx+m2+3=0
∵Δ=−2m2−4×1×m2+3=4m2−4m2−12=−12<0，
∴方程x2−2mx+m2+3=0没有实数解．
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
(2)∵y=x2−2mx+m2+3=x−m2+3，
∴把函数y=x2−2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，
得到函数y=x−m2的图象，它的顶点坐标是m,0．
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点．
∴把函数y=x2−2mx+m2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．

【解析】【分析】(1)当y=0时，得出一元二次方程，求出根的判别式，即可得出答案．
(2)先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
【点睛】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．
21.【答案】(1)由题意，可设y=kx+b，把(5,300),(6,200)代入得：
300=5k+b200=6k+b,解得：k=−100b=800,
所以y与x之间的关系式为：y=−100x+800；
(2)设利润为W，则W=(x−4)(−100x+800)
=−100(x−4)(x−8)
=−100(x2−12x+32)
=−100[(x−6)2−4]
=−100(x−6)2+400
因为a=−1<0，所以当x=6时，W最大为400元．
答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为400元．

【解析】【分析】(1)设出解析式，把(5,300),(6,200)代入求出系数即可；
(2)根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式和二次函数的应用，正确运用待定系数法、掌握二次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】(1)∵两个二次函数图像的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
∴y=2x2与y=x2是“同簇二次函数”．
(2)把点A1,1代入y1=2x2−4mx+2m2+1，得
1=2−4m+2+1，
解得m=1，
∴y1=2x2−4x+3=2x−12+1，y2=ax2+bx+7，
∴y1的开口向上，抛物线的顶点坐标为A1,1
∵y3=y1+y2，
∴y3=a+2x2+b−4x+10，
∵y3与y1为“同簇二次函数”，
∴y3的开口向上，抛物线的顶点坐标为A1,1
∴a+2>0，−b−42a+2=14a+2×10−b−424a+2=1,
解得a=7b=−14,
∴函数y2的表达式为y2=7x2−14x+7或y2=7x−12，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵0≤x≤3，且d0−1=1−0=1,d3−1=3−1=2，
根据抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大性质，得到
∴当x=3时，y2取得最大值，且为y2=7×3−12=28．

【解析】【分析】(1)根据新定义条件写出即可．
(2)把点A1,1代入y1的解析式，确定m=1，得到y1=2x2−4x+3=2x−12+1，y2=ax2+bx+7，计算y3=y1+y2，利用新定义，确定y2的解析式，根据开口方向，界点与对称轴的距离，判定最值界点，代入计算即可．
【点睛】本题考查了抛物线的新定义计算，抛物线的对称性，增减性，熟练掌握定义，灵活应用性质是解题的关键．
23.【答案】(1)解：根据题目条件A，B，C的坐标分别是(−10,0)，(10,0)，(0,6)，
设抛物线的解析式为y=ax2+c，
将B，C的坐标代入y=ax2+c，得c=6100a+c=0,
解得a=−350c=6,
所以抛物线的表达式y=−350x2+6．
当x=5时，y=−350×25+6=4.5,
从而支柱EF的长度是10−4.5=5.5米．
(2)如图，
设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则G点坐标是(7,0)．
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，
则yH=−350×72+6=3.06>3．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．

【解析】【分析】(1)根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．再把x=5代入抛物线的解析式求解y,可求出支柱MN的长度．
(2)设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．
【点睛】本题考查的是待定系数法求抛物线的解析式、点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解本题的关键．
24.【答案】(1)∵OC=3OA，A(−1,0)，
∴C(0,−3)．
把点A，C的坐标代入y=ax2−2ax+c得
a+2a+c=0c=−3
解得：a=1c=−3
∴抛物线的解析式y=x2−2x−3；
(2)令y=0，则x2−2x−3=0，解得：x1=3,x2=−1，
∴B(3,0)，
设直线BC的解析式为y=px+q，
由B(3,0)，C(0,−3)在直线BC上得：
3p+q=0q=−3，解得：p=1q=−3
得直线BC的解析式为y=x−3，
如图1，过点D作DM//y轴分别交线段BC和x轴于点M，N．
设M(m,m−3)，则D(m,m2−2m−3)，
DM=m−3−m2−2m−3=−m2+3m=−m−322+94，
∴−1<0，
∴当x=32时，DM有最大值94，
∴SABDC=S▵ABC+S▵BCD=12×4×3+12×3×DM，
此时四边形ABDC面积有最大值为6+32×94=758；
(3)如图1，过A作AK⊥AC交CM于点K，作KH⊥x轴于点H，
∵∠ACM=45°，
∴AC=AK，
∵∠AOC=∠KHA=90°，∠ACO=90°−∠OAC=∠KAH，
∴△OAC≌△HKA(AAS)，
∴AH=CO=3，KH=OA=1，
∴K(2,1)，
设直线CM的解析式为y=kx−3
∴2k−3=1，
∴k=2，
∴直线CM的解析式为y=2x−3，
联立y=x2−2x−3y=2x−3,
解得x=0(舍去)，或x=4，
∴M(4,5)

【解析】【分析】(1)根据OC=3OA，A(−1,0)，求出C点坐标(0,−3)，把点A，C的坐标代入y=ax2−2ax+c，求出a与c的值，即可求出函数解析式；
(2)先求出直线BC的函数关系式，如图1，过点D作DM//y轴分别交线段AC和x轴于点M，N.设M(m,m−3)则D(m,m2−2m−3)，然后表示出DM的长，然后根据SABDC=S▵ABC+S▵BCD，转化为二次函数求最值；
(3)过A作AK⊥AC交CM于点K，作KH⊥x轴于点H，证明△OAC≌△HKA，可得K(2,1)，用待定系数法求出直线CM的解析式，与抛物线联立解交点即可得出M的坐标；．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，三角形的面积公式等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
25.【答案】(1)解：∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，
∴∠EBF=90∘，
∴∠BEF+∠EFB=90∘，
∵FG⊥EF，GH⊥BC，
∴∠FHG=∠EFG=90∘，
∴∠EBF=∠FHG，∠HFG+∠EFB=90∘，
∴∠BEF=∠HFG，
∴▵BEF∽▵HFG，
∴BFBE=HGFH，
∵BE=2，HFCF=k，设BF的长为x，GH的长为y，
∴CF=BC−BF=10−x，HF=k⋅CF=k10−x，
∴x2=yk10−x，
∴y=k2−x2+10x，
∵x=4，y=6，
∴k2×−42+10×4=6，
解得：k=12．
故答案为：12；
(2)由(1)知：y=k2−x2+10x，
当k=1时，y=12−x2+10x=−12x−52+252，
∵−12<0，
∴当x=5时，y有最大值，y的最大值是252．
∴y的最大值是252；
(3)∵在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段AD上存在唯一的一点G，
∴y的最大值是6，
由(1)知：y=k2−x2+10x=−k2x−52+25k2，
当−k2<0时，即k>0，y有最大值，
当x=5时，y的最大值是25k2，
∴25k2=6，
∴k=1225．
∴此时k的值为1225．

【解析】【分析】(1)先证明▵BEF∽▵HFG，由相似三角形的性质得到y=k2−x2+10x，再x与y的值代入得到关于k的方程，求解即可；
(2)由(1)知：y=k2−x2+10x，当k=1时，可得到y=−12x−52+252，再利用二次函数的最值求解即可；
(3)根据题意可得y的最大值是6，再由(1)知：y=−k2x−52+25k2，根据二次函数的最值可得k>0，当x=5时，y的最大值是25k2，从而得到关于k的方程，求解即可．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，二次函数的最值．根据相似三角形的性质建立y与x的函数关系式是解题的关键．
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
−1
−0.49
0.04
0.59
1.16